Файл: Погорелов, А. В. Элементарная геометрия.pdf

Д о к а з а т е л ь с т в о . Точки А а С лежат в разных полуплоскостях относительно прямой Ь, так как отрезок АС пересекается с прямой b (в точке В). Точки А и A t лежат в одной полуплоскости относительно прямой Ь, так как лежат на параллельной прямой. Точно так же точки С и С\ лежат в одной полуплоскости относительно прямой Ь. Следовательно, точки Ах и Сх лежат в разных полуплоско­ стях относительно этой прямой, поэтому отрезок AxCt пересекается с прямой Ь. А единственной точкой, общей для прямых AiC 1 и Ь, является точка By Итак, точка Б, лежит между Ау и Су- Первое утверждение доказано.

Докажем второе утверждение. Проведем через точку Вх прямую параллельную прямой d. Она пересекает пря­ мые а и с в точках D и Е. Треугольники BxAxD и ВхСхЕ

AxDBx и СхЕВх равны как внутренние накрестлежащие при параллельных а и с. Из равенства треугольников следует,

Трапецией называется выпуклый четырехугольник, у которого только две противоположные стороны параллель­ ны. Эти параллельные стороны называются основаниями трапеции. Две другие стороны называются боковыми сто­

60 ■

ную основаниям. По теореме 9.8 она пересекает отрезок CD посередине. Следовательно, это есть средняя линия трапеции, которая параллельна основаниям. Первое утвер­ ждение теоремы доказано.

Проведем через точку Q прямую EF, параллельную сто­ роне АВ. Точки А и В лежат по одну сторону прямой EF. Точки С и D лежат по разные стороны этой прямой. Пусть

Т е о р е м а 9.11. Все три медианы треугольника пере­ секаются в одной точке. Эта точка делит каждую медиану в отношении, 2 : 1 , считая от вершины.

Д о к а з а т е л ь с т в о . Пусть АВС — данный треу­ гольник (рис. 6 6 ). Проведем его медианы ААу и ВВу. Докажем сначала, что две медианы ААу и ВВу пересекаются. Точки С и By лежат в одной полуплоскости относительно

61

прямой А А 1 . Точки С и В лежат в разных полуплоскостях.

Медиана, проведенная из точки С, делит медиану ВВ, в том же отношении. Поэтому и она проходит через точку О. Теорема доказана.

Вопросы для повторения

1.Какой четырехугольник называется выпуклым?

2.Докажите, что диагонали выпуклого четырехугольника пере­ секаются.

3.Докажите, что сумма углов выпуклого четырехугольника равна 360°.

4.Что такое параллелограмм?

5.Докажите, что параллелограмм есть выпуклый четырехуголь­

ник.

6.Докажите, что у параллелограмма противолежащие стороиы равны, противолежащие углы равны.

7.Докажите, что у параллелограмма сумма двух любых не проти­ волежащих углов равна 180°.

■8. Докажите, что диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам.

9.Что такое прямоугольник?

10.Докажите, что прямоугольник есть параллелограмм. Диагонали прямоугольника равны.

11. Докажите, что если у параллелограмма диагонали равны, то он есть прямоугольник.

12.Что такое ромб?

13.Докажите, что диагонали.ромба пересекаются под прямым углом. Диагонали ромба являются биссектрисами соответствующих углов.

14.Что такое квадрат? Перечислите свойства квадрата.

15.Какой четырехугольник называется трапецией?

62

Упражнения

19. Докажите, что если диагонали четырехугольника пересекаются, то он выпуклый.

20.Могут ли быть все углы выпуклого четырехугольника тупыми?

21.Докажите, что если диагонали выпуклого четырехугольника точкой пересечения делятся пополам, то он параллелограмм.

22.Докажите, что если у выпуклого четырехугольника противоле­ жащие углы равны, то он параллелограмм.

23.Докажите, что середины сторон любого выпуклого четырехуголь­ ника являются вершинами параллелограмма.

24.Найти точку, сумма расстояний которой от вершин выпуклого четырехугольника наименьшая.

25.Докажите, что выпуклый четырехугольник, у которого все углы равны, есть прямоугольник.

26. В параллелограмме проведена биссектриса одного из углов. На какие отрезки она разбивает большую сторону параллелограмма, если его стороны 5 см и 6 см.

27.Найти углы ромба, если одна из его диагоналей равна стороне.

28.Докажите, что если диагонали параллелограмма пересекаются под прямым углом, то он является ромбом.

29.Докажите, что точки пересечения биссектрис углов параллело­ грамма являются вершинами квадрата.

30.Докажите, что середины сторон прямоугольника являются вер­ шинами ромба, а середины сторон ромба являются вершинами прямо­ угольника.

31.Докажите, что прямая, соединяющая середины диагоналей тра­ пеции, параллельна основаниям.

32.Треугольник расположен в одной полуплоскости относительно данной прямой. Доказать, что расстояние точки пересечения медиан треугольника от этой прямой равно среднему арифметическому расстоя­ ний вершин.

33.Построить трапецию по четырем сторонам.

34.Доказать, что три прямые, проведенные через вершины тре­ угольника перпендикулярно противолежащим сторонам, пересекаются

водной точке. ( У к а з а н и е . Рассмотреть треугольник, у которого стороны проходят через вершины данного треугольника параллельно противолежащим сторонам.)

§ 10. ДВИЖЕНИЯ. РАВЕНСТВО ФИГУР

Понятие движения. Пусть даны две фигуры F и Fr. Мы будем говорить, что между точками фигур установлено

взаимно однозначное соответствие, если точки фигур объе­ динены в пары (X , Xi) так, что каждая точка X фигуры F

63

и каждая точка Хх фигуры F Lпринадлежит одной и только одной паре. Точки X и Х х фигур будем называть соответ­ ствующими точками. Таким образом, каждая точка X фигуры F имеет вполне определенную соответствующую точ­ ку Х х фигуры Fi и наоборот.

Вместо взаимно однозначного соответствия между точ­ ками фигур F и F! можно говорить о взаимно однозначном отображении фигуры F на фигу­ ру Fх. Взаимно однозначное отоб­ ражение называется так же одно­

однозначным. Приведем пример. Пусть фигура F есть прямая а,

а фигура Fi есть прямая ах. Пусть, далее, b — прямая, пересекающая прямые а я ах (рис. 67). Произ­ вольная прямая, параллельная Ъ,

пересекает прямую а в некоторой точке X, а прямую а1 в некоторой точке Х г. Объединим каждые такие две точки в пару (X, Х г). Это объединение точек в пары есть одно-од- нозначное соответствие между прямыми а и ах.

Взаимно однозначное отображение плоскости на себя называется движением, если оно сохраняет расстояния. Это

жении три точки А, В, С, лежащие на прямой, переходят

ника. Поэтому AxC iO lxBi-t-.BxCx. По определению движе­ ния отсюда следует, что АС < АВ+ ВС . Однако по свойству измерения отрезков АС= АВ+ВС. Мы пришли к проти­ воречию. Первое утверждение теоремы доказано.

Покажем теперь, что точка Вх лежит между Ах и Сх. Допустим, что А г лежит между В г и Сх. Тогда А 1 ДХ+ А 1 С1=

—ВхСх и, следовательно, АВ+АС =ВС . Но это противоре­ чит равенству АВ+ВС =АС . Таким образом, точка А у не может лежать между Вх и Сх. Аналогично доказывается, что точка Сх не может лежать между А х и Вх. Так как из

64