Файл: Погорелов, А. В. Элементарная геометрия.pdf

Луч ВСз проходит между лучами ВА и ВС, так как пе­ ресекает отрезок АС. Поэтому угол АВС2 меньше угла АВС. Мы пришли к противоречию, так как эти углы равны. Теорема доказана.

Равнобедренный треугольник. Треугольник называется равнобедренным, если у него две стороны равны. Эти рав­ ные стороны называются боковыми сторона­ ми, а третья сторона называется основа­

нием треугольника (рис. 29).

Т е о р е м а 4.2. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Именно, если АС=ВС в треугольнике АВС,

то Z.A—/.B-

Д о к а з а т е л ь с т в о . Треугольник САВ равен треугольнику СВА по первому признаку равенства треугольников. Дей­ ствительно, СА=СВ, СВ—СА, / С —у/С.

треугольнику ВАС по второму признаку равенства треуголь­ ников. Действительно, АВ = В А ,

/_ В = Z.A, Z .A —Z.B- Из равенства треугольников следует, что АС=

—ВС- Теорема доказана.

Теорема 4.3 является обратной теореме 4.2. Утверждение теоремы 4.2 является условием теоремы 4.3, а условие теоремы 4.2 является утверждением теоремы 4.3. Не всякая теорема имеет обратную, т. е. если данная теорема верна, то об­ ратная может быть неверна.

Поясним это на примере теоремы 2.3.Обратная к ней тео­ рема была бы такой. Если прямая, содержащая луч с, исходящий из вершины угла (ab), разделяет стороны угла, то луч с проходит между сторонами угла. Это утверждение

32

треугольников £А ф /_А х., /_В ф /_В \. Отложим от полу­ прямой АВ в полуплоскость, где лежит точка С, угол,

знаку. У них АВ=АхВх по условию теоремы, а /41 С1 = Л С г и /_ В \А xC i= /_ВАСъ по построению. Из равенства тре­ угольников следует, что ВСц—ВхСх.

Треугольники СС2А и Сѫ равнобедренные с общим

на прямой АВ, так как отрезок СС2 не пересекает эту пря­ мую. Отсюда следует, что прямые AD и BD различны.

По теореме 4.4 прямые AD и BD перпендикулярны пря­ мой СС2. Однако по теореме 3.3 через точку D можно про­ вести только одну прямую, перпендикулярную прямой СС2. Мы пришли к противоречию. Теорема доказана.

Вопросы для повторения

1.Какие отрезки называются равными?

2.Какие углы называются равными?

3.Что такое треугольник?

6. Сформулируйте и докажите второй признак равенства тре­ угольников.

7. Какой треугольник называется равнобедренным? Какие стороны равнобедренного треугольника называются боковыми сторонами? Какая

бедренный.

34

10. Объясните, что такое обратная теорема? Приведите пример. Для всякой ли теоремы имеется обратная?

П. Докажите, что в равностороннем треугольнике все углы равны. 12. Докажите, что если в треугольнике все углы равны, то он равно­

сторонний.

13. Объясните, что такое медиана, биссектриса и высота тре­ угольника?

14.Докажите, что в равнобедренном треугольнике медиана, про­ веденная к основанию, является биссектрисой и высотой.

15.Докажите третий признак равенства треугольников.

Упражнения

16.Докажите, что если луч с, исходящий из вершины угла (ab), проходит между его сторонами, то угол (ас) меньше угла (ab).

17.Покажите на примере, что треугольники АВС и / Д б ^ , у ко­

торых А В = А 1В1, ВС=В1С1, , / Л = (/ Л 1, могут быть не равны.

18.Докажите, что в равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, является медианой и высотой.

19.Докажите, что в равнобедренном треугольнике медианы, проведенные к боковым сторонам, равны; биссектрисы, проведенные к бо­ ковым сторонам, равны.

20.Докажите, что середины сторон равнобедренного треугольника являются вершинами другого равнобедренного треугольника.

21.Докажите, что если треугольник АВС равен треугольнику

ВСА, то он равносторонний.

§ 5. СООТНОШЕНИЯ МЕЖДУ УГЛАМИ И СТОРОНАМИ ТРЕУГОЛЬНИКА

Соотношения между углами треугольника. Т е о р е ­ ма 5.1. Сумма любых двух углов треугольника меньше 180°.

Д о к а з а т е л ь с т в о . Пусть АВС — данный тре­ угольник (рис. 34). Докажем, что сумма углов при вер­ шинах А и С меньше 180°. Обозна­ чим через О середину стороны АС.

Отложим на продолжении отрезка ВО отрезок OD, равный ОВ. Тре­ угольники AOD и СОВ равны. У них углы при вершине О равны, как вертикальные, а АО=ОС и OD—OB по построению. Из равенства этих треугольников следует, что /О С В =

=Z.OAD.

Угол BAD равен сумме углов ВАО м. DAO, так как луч АО пересекает отрезок BD с концами на сторонах угла BAD. Так как /O A D —/О С В , то угол BAD равен сумме углов треугольника АВС при вершинах А и С. Угол BAD не

развернутый, так как точка D не лежит на прямой АВ. Поэтому угол BAD меньше 180°. Итак, сумма углов А и С треугольника АВС, равная углу BAD, меньше 180°. Теорема доказана.

Угол, меньший прямого, т. е. меньший 90°, называется острым. Угол, больший 90°, но меньший 180°, называется

тупым.

Из теоремы 5.1 следует, что в каждом треугольнике два угла острые. В самом деле, если бы только один угол был

называется угол, смежный углу треугольника при верши­ не А. Чтобы не путать угол треугольника при вершине А с

угольник. Докажем, что внешний угол при вершине А больше внутреннего угла В. По теореме 5.1 сумма внутрен­ них углов А и В меньше 180°, т. е. /_А-\-/_В меньше 180°.

ВСА, т. е. угла С треугольника АВС.

Углы BCCi и BCiC равны, как углы при основании равнобедренного треугольника CBCi. Угол BCiC является внешним углом для треугольника АСгС при вершине Ci и

36