Файл: Крылов, В. И. Методы приближенного преобразования Фурье и обращения преобразования Лапласа справочная книга.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 22.10.2024
Просмотров: 122
Скачиваний: 0
§ 3.1] ПРИМЕНЕНИЕ ОРТОГОНАЛЬНЫХ МНОГОЧЛЕНОВ 47
З а м е ч а н и е . Неравенством Шварца — Буняковского ( Буняков-
ского— Коши) для сходящихся бесконечных рядов называется нера венство
СО СО СО
2 |
(«А)2^ S |
2] |
|
п = 1 |
|
п = \ |
п = 1 |
где ап и Ь„—коэффициенты |
рядов. |
сходящихся интегралов яв |
|
Аналогом того же |
неравенства для |
||
ляется неравенство |
|
|
|
ь |
(Ь |
\ 1/2 /ь |
|
■ \ f ( x ) g ( x ) d x ^ |
J[f(x)]»d* |
$[*(*)]* |
|
а |
\ а |
/ |
\а |
Используя неравенство Шварца —Буняковского, можно показать, что последний ряд сходится абсолютно и равно мерно в полуплоскости Re р 5= 0.
В частности, если р положить равным целому поло жительному числу п, то разложение (3.1.30) примет вид
F (п) = п\ Г (n + a-j- 1) х
X |
Vi |
Г (fe-)-a-|-p4~ 1) |
ak. |
(3.1.31) |
|
L |
( n--kt) \ Г(й + а + 1 ) Г (n-{-a+ $ + k + 2) |
|
|
Полагая в (3.1.31) п = 0, 1 ,2 ,..., получим бесконечную треугольную систему уравнений относительно коэффи циентов ak. (Заметим, что предполагается 01=1.)
Для того чтобы коэффициент при ап в n -м уравнении системы сделать равным 1, систему (3.1.31) перепишем
ввиде
Г(2п-{- та-{-р-f-1) р , ,
nl Г (п+ сх + р+ 1) |
и ; |
|
|
Г (п-\-а + 1) ^ |
(2£+ « + Р + 1)Г(2я + к + р -Н ) |
X |
|
|
|
(n— k)1Г (n-j-a + p + l) |
|
|
|
Г(6 + а + р + 1) |
|
X |
Г (й + а + 1) Г (rt+ a-|-f5-ffe-|-2) ak. |
(3.1.32) |
|
Системой (3.1.32) можно пользоваться для нахождения коэффициентов ak разложения (3.1.16).
В случае разложения по смещенным многочленам Ле жандра в (3.1.32) положим а = р = 0; тогда коэффициенты
48 МЕТОДЫ ЧИСЛЕННОГО ОБРАЩЕНИЯ [ГЛ. 3
ак разложения (3.1.22) вычисляются |
из системы |
||||
Г ( 2 я +1) |
F { |
- |
П |
(2fe+l) Г(2д + 1) |
|
V |
|||||
nl Г ( я + 1) |
v |
> |
Z j |
( n - k ) \ |
Y(n + k + 2) Uk |
(n = 0, 1, 2, ...),
или
n
(3.1.33)
Для разложений (3.1.25) и (3.1.28) по смещенным мно гочленам Чебышева первого и второго рода нельзя полу чить систему для определения ak непосредственно из (3.1.32), так как эти многочлены отличаются от многочле
нов р р ~ 1/2’ _1/2) (х) и 1/2) (х) постоянным множите лем. Но, проделав аналогичные выкладки, можно полу чить треугольные системы уравнений для определения коэффициентов ак разложений (3.1.25) и (3.1.28). Для
разложения (3.1.25) система имеет вид
П
ак (п = 0, 1, 2,...),
(3.1.34)
для разложения (3.1.28) —вид
П
3.1.7. Замечание о приведении полуплоскости регуляр ности изображения к виду R e /> ^ 0 (рфсю). Во всех пре дыдущих пунктах мы рассматривали задачу восстановле ния функции /((), если известно преобразование Лапласа
F (р) функции f (t) с весовым множителем §(/), т. е. функ ции Р (() f (t), причем абсцисса абсолютной сходимости равнялась нулю. Но чаще всего на практике известно преобразование Лапласа F (р) функции /(/) с некоторой абсциссой абсолютной сходимости уа, не обязательно рав ной нулю, а именно известно, что преобразование рас сматривается в условиях
СО
F{p) = ] erPtftydt, R epS=y0> 7 a - |
(3.1.36) |
о |
|
§ 3.1] |
ПРИМЕНЕНИЕ ОРТОГОНАЛЬНЫХ МНОГОЧЛЕНОВ |
49 |
В этом случае поступаем следующим образом. Исполь зуя теоремы подобия и смещения для преобразования Лапласа, соотношение (3.1.36) перепишем в виде
hF (у,, + ph) = е~V»4h f ( ^ j e-ptdt |
(3.1.37) |
о |
|
для любого h > 0. Абсцисса абсолютной сходимости ин теграла (3.1.37) будет равна нулю.
Теперь для того, чтобы получить разложение функции
/ (д ) в классе многочленов, ортогональных с весом р (t),
соотношению (3.1.37) придадим вид
СО |
|
hF (То+ p h )= \ е-Р‘ р (t) ф (t) dt, |
(3.1.38) |
О
где
(3.1.39)
или
Для функции ф (t) получим разложение по многочленам, ортогональным с весом р (t), по схемам, описанным в пре дыдущих пунктах.
Тогда разложение для функции / |
получится умно |
|
жением разложения |
для ф (/) на Р (/) |
как видно из |
формулы (3.1.39). |
|
|
Положим h —То > |
То и рассмотрим разложения функции |
|
/= р (t) е^ф (t) по смещенным многочленам Лежандра,
смещенным многочленам Чебышева первого и второго рода. Для многочленов Лежандра Р%(е^) разложение для функции ф(/) имеет вид (3.1.22), весовая функция р (t) =
= ег4, поэтому
;({■ ) = р ( о ( о= ф (о = 2 {2k+ a«Pt («"О- (з- Ь40)
50 |
|
МЕТОДЫ ЧИСЛЕННОГО ОБРАЩЕНИЯ |
[ГЛ. 3 |
||||||
Для многочленов Чебышева первого рода Т%{ег() весо |
|||||||||
вая функция |
р (/) |
имеет вид |
|
|
|
|
|||
|
|
р (*) = е-</*(1 |
- е - ' ) - 1/*, |
|
|||||
а функция f(j^j |
вычисляется |
по формуле |
|
||||||
f ( I ) = |
Р V) е^ср (t) = а'/2 (1 _ |
в - 0 - Ч2ф (t). |
(3.1.41) |
||||||
Если |
перейти |
к |
тригонометрической записи |
многочле- |
|||||
нов Т'п{ег() и сделать замену |
переменной t = —2 In cos у , |
||||||||
то формула |
(3.1.41) |
примет вид |
|
|
|
||||
|
; ( _ |
2 1псо8} ) = |
_ | _ ф ( _ 21 п с°5{ ) . |
||||||
Так как |
разложение функции |
ф (6) имеет вид (3.1.25), то |
|||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
6 \ |
будет следующим; |
|
|
|
|
|
С — у |
In cos у j |
||||
|
|
|
|
2 |
|
|
СО |
|
|
|
In cos- |
|
й0 + |
2 |
akcoskB |
. (3.1.42) |
|||
|
|
л sin 0 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
k = |
i |
|
Для |
многочленов |
Чебышева |
второго рода |
U%(е~0 ве |
|||||
совая функция р (t) |
имеет вид |
|
|
|
|
||||
Р (t) = е~31/2(1 — е~‘У/2,
а функция fij[j вычисляется следующим образом;
/ ( I ) = Р t)( (0 = еm- (1 - е- 0 1/2Ф (0 •
Если перейти к тригонометрической записи многочле нов U%(е_0 и сделать замену переменной такую же, как и в предыдущем случае, то получим
f |
у In cos y j = у sin бф |
2 In cos y j . |
Так как для ф имеет место разложение (3.1.28), то
СО
/ ( - y l n c o s y j = у ^ ak sin {k-\-1)0. (3.1.43) k —0
Коэффициенты ak разложений (3.1.40, 42,43) вычисляются из соответствующих треугольных систем уравнений, при
§ 3.1] |
ПРИМЕНЕНИЕ ОРТОГОНАЛЬНЫХ МНОГОЧЛЕНОВ |
БГ |
|
этом |
в качестве моментов F (k) (см. (3.1.4)) берутся |
числа |
|
|
Hk = hFih (k+ 1)) |
|
|
В разложении (3.1.42) |
множитель 1/sin 0 может ока |
||
зывать сильное влияние на |
погрешности вычислений при |
||
значениях 0, близких к нулю. Поэтому этим разложением |
|||
можно пользоваться, когда требуется вычислить значение
fit) не |
на всей |
оси, а только |
в точке |
t = t0 и ее окрест |
ности. |
В этом |
случае можно выбрать параметр h так, |
||
чтобы замена х = е~ы перевела |
точку / = /0 в х = 1/2, т. е. |
|||
0 = jt/2. |
Тогда |
влияние множителя 1/sin 0 будет сведено |
||
к минимуму. Значение h будет равно |
(In 2)/t0. При этом, |
|||
если абсцисса |
абсолютной сходимости |
интеграла уа=^0, |
||
то на величину t0 не накладывается никаких ограничений;
если же уа> 0, то |
указанным методом можно пользо |
||||
ваться, |
если |
0 < /0 < |
(In 2) |
/ уа, так как h = у0> уа. |
|
Для |
всех |
описанных в этом параграфе |
методов харак |
||
терен |
один |
существенный |
недостаток, |
заключающийся |
|
в следующем. Коэффициенты многочленов Лежандра, Че бышева первого и второго рода и других многочленов Якоби так же, как и коэффициенты треугольных систем линейных алгебраических уравнений относительно искомых
коэффициентов ак, растут очень |
быстро с ростом k. По |
||||||||
этому для того, |
чтобы |
коэффициенты разложения в ряд |
|||||||
были вычислены |
хотя |
бы с |
умеренной точностью, значе |
||||||
ния |
исходных данных |
|
должны быть заданы с большой |
||||||
точностью. |
|
Ряд |
(3.1.43) представляет собой синус- |
||||||
|
З а м е ч а н и е . |
||||||||
ряд |
Фурье |
для |
функции |
/( |
— |
In cos у ) . Может слу |
|||
читься, что |
коэффициенты |
ак этого |
ряда будут убывать |
||||||
недостаточно |
быстро |
и |
ряд |
будет |
сходиться медленно. |
||||
В этом случае можно улучшить сходимость ряда, если функции F ip) и f{t) удовлетворяют некоторым условиям. Из теории рядов Фурье известно, что если функция
достаточное число раз дифференцируема
и обращается в нуль на концах отрезка [0, я], то коэф фициенты разложения этой функции в синус-ряд Фурье имеют порядок (1/А3). Поэтому можно попытаться пред ставить изображение F ip) в виде суммы так, чтобы ори гинал для одного слагаемого вычислялся точно, а для