Файл: Крылов, В. И. Методы приближенного преобразования Фурье и обращения преобразования Лапласа справочная книга.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 22.10.2024
Просмотров: 120
Скачиваний: 0
38 МЕТОДЫ ЧИСЛЕННОГО ОБРАЩЕНИЯ [ГЛЗ
Тогда
1
ak= ^ со (х) cp (х) Pt (“’ Р) {х) dx =
о |
1 |
k |
= ^ “ Iй § а>(х) х‘у {х) dx =
t = 0 |
о |
|
= 2 ] |
“ }*Vi = 2] aik)F(i). |
(3.1.15) |
£ = 0 |
i= 0 |
|
По этой формуле можно вычислять коэффициенты ак раз
ложения (3.1.13), так как числа a f ] известны, |
а значения |
F (I) заданы. |
|
Таким образом, задача нахождения многочлена qn(x), |
|
который приближает функцию ф(х), решена. |
что сходи |
В п. 3.1.1 мы обращали внимание на то, |
|
мость последовательности приближений qn (х) к ф (х) рав носильна возможности разложения ф (х) в ряд по смещен
ным многочленам |
Якоби |
|
|
|
|
|
00 |
|
|
|
|
/ ( о = ф м = |
2 |
P)w = |
|
|
|
|
k = 0 |
= lim |
Sn(x)= 11m |
qn(x). |
(3.1.16) |
|
|
||||
|
|
П - + С О |
f t —► CO |
|
|
Мы приведем |
сейчас |
теорему *), |
дающую |
условия, |
|
достаточные |
для |
возможности такого |
разложения. Сфор |
||
мулируем ее для обычных многочленов Якоби P f р> (х), рассматриваемых на отрезке [ - 1 . 1], но она просто пере носится на разложение (3.1.16) по смещенным многочле нам Якоби.
Сначала приведем |
теорему, дающую связь между ча |
||||
стичными суммами ряда |
по |
многочленам |
Якоби и ряда |
||
Фурье. |
1. Пусть |
на |
отрезке [— 1, |
1] дана изме |
|
Т е о р е м а |
|||||
римая функция |
g{x), |
и |
пусть имеют конечные значения |
||
*) См., например, Г. |
Сег е , Ортогональные многочлены, гл. IX, |
§9.1, теорема 9.1.2, М., |
Физматгиз, 1962. |
§ 3.1] ПРИМЕНЕНИЕ ОРТОГОНАЛЬНЫХ МНОГОЧЛЕНОВ 39
интегралы
1
$ ( l - * ) a (l+ x )P [g (* )|rf* < o o , |
|
|
—I |
(3.1.17) |
|
1 |
||
|
5 (1 - xytz-'H {\ + х)№-'И \ g{x)\dx <оо.
—1
Если Sn(х) означает п-ю частичную сумму ряда по мно гочленам Якоби для функции g(x) и о п(cos 0) означает п-ю частичную сумму ряда Фурье по косинусам для функции
G(0) = |
(1 - cos 6)“/2+ ‘/4 (1 + |
cos 0)Р/2+ 4*g (cos 6), (3.1.18) |
то в промежутке — 1 < х < |
1 верно соотношение |
|
lim |
(Sn(*) - (1 _ * ) - а /2- |
1/4 (! + ^)-Р/2-1/4СТя (*)) = 0. |
П - + ОО |
|
(3.1.19) |
|
|
|
Оно выполняется равномерно относительно х на всяком
отрезке вида •— l - f s s ^ x ^ l |
— е, где 0 < е < |
1. |
|||
Из приведенной теоремы, |
в частности, следует, что |
||||
если при каком-либо значении |
0 (0 < |
0 ■< л) |
ряд Фурье |
||
для |
функции 0(6) сходится |
к |
у [G (0 + |
0) + G (0 — 0)], то |
|
при |
соответствующем значении |
x = cos0 |
частичная сумма |
||
S„(at) будет стремиться к у [g (х + 0) + |
g (х - 0)]. |
||||
Что касается сходимости |
ряда Фурье, то для многих |
||||
случаев является достаточной следующая *) |
|
||||
Т е о р е м а 2. Пусть G(0) |
есть 2п-периодическая функ |
||||
ция, |
интегрируемая с абсолютным значением на [ —л, я], |
||||
и I есть произвольный отрезок на оси х. Если G(6) имеет |
|||||
ограниченное изменение на I, |
то ряд Фурье для G(0) схо |
||||
дится к значению у [G (0 + 0) + |
G(0 — 0)] во всякой точке 0 |
||||
внутри I. Если G (в), кроме |
того, непрерывна на I, то |
||||
ряд Фурье сходится к G(0) |
равномерно относительно 0 |
||||
на каждом отрезке, лежащем внутри I. |
|
|
|||
Функция G (0), определенная равенством (3.1.18), явля ется 2я-периодической и четной. Ряд Фурье для нее будет рядом по косинусам кратныхч дуг. К определению его
*) См., |
например, |
А. З и г м у н д , Тригонометрические ряды, |
т. I, гл. II, |
М,, «Мир», |
1965. |
40 |
МЕТОДЫ ЧИСЛЕННОГО ОБРАЩЕНИЯ |
[ГЛ. 3 |
||||
сходимости |
может |
быть применена только что сформули |
||||
рованная теорема. |
Будем считать, что отрезок |
I лежит |
||||
внутри [ — я, я]. |
|
Так как |
множитель, |
стоящий |
справа |
|
в (3.1.18) |
перед |
g(cos0), |
непрерывен |
на / и принимает |
||
значения, не меньшие положительного числа, то непре рывность G (в) на / равносильна непрерывности там g (cos 0). Кроме того, этот множитель, очевидно, имеет ограничен
ное изменение на /, и поэтому |
ограниченности изменений |
||
G (0) и g (cos 0) равносильны. |
|
||
то |
Если воспользоваться двумя приведенными теоремами, |
||
относительно |
возможности |
разложения функции ср (х) |
|
в |
ряд (3.1.16) |
по смещенным |
многочленам Якоби или, |
что равносильно, относительно сходимости последователь ности приближений qn(x) к ф(х) можно высказать приво димую ниже теорему.
Т е о р е м а 3. Пусть для функции ф(х), |
0 ^ x s g ;l , |
выполняются условия: |
|
1) имеют конечное значение интегралы |
|
1 |
|
J х“ (1 — х)р | q> (*) | dx, |
|
о |
|
1 |
|
J х?!2 — (1 — лг)Р/2 —1/4 [ ср (х) | dx; |
|
о |
[0, 1], ф (х) |
2) на отрезке I —[с, d\, лежащем внутри |
имеет ограниченное изменение.
Тогда для всякой точки х, лежащей внутри I, верны равенства
|
|
СО |
|
|
|
|
|
|
|
lim qn (х) = |
У |
|
P t (ot' р) (х) = |
|
|
|
|||
|
|
* = о |
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
— тг [ф (* + °) + Ф (* — 0)]. |
(3.1.20) |
||||
Если, |
кроме |
того, |
ф (х) |
непрерывна |
на |
I, то на всяком |
|||
|
|
|
|
|
|
/ |
|
1 |
\ |
отрезке вида c + 6 s c ;x ^ d — 6 (0 <С б < |
у (d — c)j равно |
||||||||
мерно относительно х |
будет верно равенство |
|
|||||||
|
|
|
|
СО |
|
|
|
|
|
lim qn(x) = |
|
2 |
|
Р) м = |
ф м . |
(3.1.21) |
|||
п |
со |
|
|
|
|
||||
Возвратимся, |
наконец, |
к исходной задаче |
о нахожде |
||||||
нии функции f(t) |
по |
изображению |
F (р), определенному |
||||||
§ з.и ПРИМЕНЕНИЕ ОРТОГОНАЛЬНЫХ МНОГОЧЛЕНОВ 41
равенством |
(3.1.1). |
Для |
этого в |
равенстве |
вида (3.1.3) |
с весовой |
функцией со (х) — х* (1 — х)р заменим перемен |
||||
ную х, положив х — е~(: |
|
|
|
||
|
|
СО |
|
|
|
|
F (р) = |
$ е- pter <*+О<(1 _ e-tf f (t) dt. |
|||
|
о |
|
|
|
|
Такая же замена должна быть сделана в |
интегралах, |
||||
участвующих в условии |
1) теоремы 3. Вычисления опу |
||||
скаем ввиду их простоты. |
|
|
|
||
Теорема |
3 позволяет |
сказать, |
что для интересующей |
||
нас задачи верным является приводимое ниже утверждение.
Пусть по значениям в целых точках i (t = 0, 1, 2 ,...)
изображения F (р) и многочленам Pt (“' Р) по правилам (3.1.15) и (3.1.12) вычислены величины rk и ak и состав лены функции
П
|
|
7п(е |
0 = |
2 |
ak |
|
|
|
|
|
|
rk />:«*• р) (е~ % |
|
||||||
которые принимаются за приближения к f{t). |
|
||||||||
Если выполняются условия: |
|
|
|
||||||
1) имеют конечное значение интегралы |
|
||||||||
|
|
5е-(* + 1)/(1_ |
в-/)Р| f(t)\dt, |
|
|||||
|
|
О |
|
|
|
|
|
|
|
|
00 |
2 (“ + ! ) '( ! |
|
7 |
1/(7); dt, |
||||
|
|
|
|||||||
2) |
на |
отрезке |
[с, d] |
(О <С с < |
rf < со) |
функция f(t) |
|||
имеет ограниченное изменение, |
|
|
|
||||||
то при всяком t, c<t<Zd, верно равенство |
|||||||||
|
|
СО |
|
|
|
|
|
|
|
Пт ,„(«-')= У |
А й » ' и (0 ')= |
|
|
||||||
|
|
А= 0 |
* |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
у [/(* + 0 ) + /( 7 - 0 ) ] . |
||
Если же, кроме того, функция / непрерывна на [с, d], |
|||||||||
то при всяком б ^0 < |
б |
|
(d —с)] |
равномерно относи |
|||||
тельно t |
на |
отрезке |
c - \ - b ^ t ^ d —б |
имеет |
место схо |
||||
димость |
|
|
П т |
qn{e-‘)=f{t). |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
П~*оо |
|
|
|
|
|
|