Файл: Крылов, В. И. Методы приближенного преобразования Фурье и обращения преобразования Лапласа справочная книга.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 22.10.2024
Просмотров: 124
Скачиваний: 0
§3.3] |
ОБОБЩЕННЫЕ МНОГОЧЛЕНЫ ЧЕБЫШЕВА - ЛАГЕРРА |
57 |
где rk вычисляется но формуле (3.3.6), а
СО
bk = $ еЧке~(р~ Х)11 ^ (t) dt.
О
Последнюю формулу преобразуем следующим образом:
00
bk= \e~ pttxL f (t) dt.
и
Отсюда видно, что bk есть преобразование Лапласа функ
ции |
(t), а, |
как |
известно |
(см. [4]), оно |
вычисляется |
|
по формуле |
|
|
|
|
|
|
|
h |
1 /, |
1 \ * Г(М-н-1) |
|
||
Таким |
образом, разложение (3.3.7) принимает вид |
|||||
|
|
|
СО |
|
|
|
|
е - * - " ‘= У |
4 r ( l - - ) * L^ ( 0 - |
(3.3.8) |
|||
|
|
|
мА |
Р>Л1 \ |
Р / |
|
|
|
|
А = 0 |
|
|
|
Интеграл Лапласа (3.3Л) запишем в виде |
|
|||||
|
F (р) = |
ОО |
|
|
|
|
|
jj tle~‘e~ (р~ ’>1g (t) dt. |
(3.3.9) |
||||
|
|
|
о |
|
|
|
Так как функция g(t) разлагается в ряд (3.3.4), а функ ция e~,'p- X)t —в ряд (3.3.8), то, применяя к интегралу (3.3.9) обобщенное равенство Парсеваля, получим
F(p) =
Введя замену |
переменной |
1/р = г, найдем |
|
|
||||
|
|
|
z^+11 F г № |
с о |
|
|
||
|
|
|
< ‘ ■z)k |
|
(3.3.10) |
|||
|
|
|
|
|
k=0 |
|
|
|
Так |
как |
мы |
показали, |
что |
функция F (р) |
аналитична |
||
в полуплоскости |
R e p > 1 / 2 , |
то функция |
' |
анали- |
||||
тична |
в |
круге |
| г — 1 | < 1 , |
следовательно, |
и |
1 FI |
||
58 |
МЕТОДЫ ЧИСЛЕННОГО ОБРАЩЕНИЯ |
[ГЛ. 3 |
аналитична |
в этом круге. Значит, коэффициенты ак в фор |
|
муле (3.3.10) являются коэффициентами ряда Тейлора функ
ции |
1 |
в точке |
z = |
1. Поэтому |
коэффициенты ак |
||
Z^+l |
|||||||
могут быть вычислены по формуле |
|
|
|||||
|
|
|
dk |
{ 1 |
„ |
|
(3.3.11) |
|
|
ak= ±— ±— — 1 -г - F |
)}. |
||||
|
|
k\ |
dzk |
\ г^+1 |
|
|
|
Таким образом, разложение оригинала f(t) в ряд по
обобщенным многочленам Чебышева — Лагерра |
имеет вид |
СО |
|
/(о= 2 a*r(fe+Ui) L*){t)’ |
(3-ЗЛ2) |
k=о |
|
акоэффициенты ak вычисляются по формуле (3.3.11). Следует заметить, что если функция F (р) имеет особые
точки, расположенные далеко от начала координат, то преобразование 2 = 1/р переведет их в окрестность точки 2 = 0, что может уменьшить величину радиуса сходимости ряда (3.3.10). А это может, вообще говоря, уменьшить скорость убывания коэффициентов ак. Таким образом, если преобразование Лапласа имеет особые точки, распо ложенные далеко от начала координат, то ряд по обоб щенным многочленам Чебышева — Лагерра для функции / (t) может медленно сходиться и поэтому будет малопригод ным в практических приложениях, и, наоборот, можно ожидать быструю сходимость такого ряда, если особые точки функции F (р) расположены в малой окрестности начала координат.
Г Л А В А 4
МЕТОДЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ ИНТЕГРАЛА МЕЛЛИНА ПРИ ПОМОЩИ ИНТЕРПОЛЯЦИОННЫХ КВАДРАТУРНЫХ ФОРМУЛ
§ 4.1. Общая теория интерполяционных методов
Рассмотрим методы вычисления интеграла Меллина
C-f- 100 |
|
||
m = 2 S T |
\ |
eV‘F ip)dp, |
(4.1.1) |
с — |
t o o |
|
|
основанные на замене подынтегральной функции F (р) |
|||
другой функцией, которая |
интерполирует F (р) |
по значе |
|
ниям ее в нескольких точках.
Погрешность вычисления интеграла (4.1.1) будет зави сеть, главным образом, от той точности, с которой мы сможем интерполировать функцию F (р). Чтобы получить хорошую точность, важно согласовать способ интерполи рования со свойствами функции F (р), которая является не произвольной, а функцией-изображением.
Для интерполирования F (р) можно распорядиться
выбором |
узлов Pk, в которых берутся значения F(p), |
а также |
выбором функций {cov (/?)}, положенных в основу |
интерполирования. Как известно, изображение F (р) стре |
|
мится к |
нулю, если точка р удаляется на бесконечность |
так, что действительная часть р при этом неограниченно увеличивается. В первую очередь здесь представляет интерес тот случай, когда F (р) убывает по степенному закону. Поэтому будем предполагать, что F (р) предста
вима в виде F(p)= (р1 ^ гф(р) (s > 0), где функция ср (р)
регулярна в полуплоскости R e p > a и ограничена в полу плоскости Rе р ^ с ( О а). Если s —дробное число, то под (р — a)s понимается та ветвь, для которой arg (р — а) = О
60 |
МЕТОДЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ ИНТЕГРАЛА |
МЕЛЛИНА |
[ГЛ. 4 |
при |
действительных р~> а. Параметр |
а должен |
удовлет |
ворять условию R e a s ^ a и выбирается |
так, чтобы функ |
||
ция |
ф (р) в полуплоскости Re р > а обладала |
«лучшими |
|
свойствами», чем функция F (р). Под улучшением свойств функции будем понимать следующее. Функция F (р), как изображение, является регулярной в полуплоскости
Rep5>a . |
Особенности поведения F (р) определяются ее |
особыми |
точками, лежащими в полуплоскости R e p s g a , |
в частности их расположением. Изменение/7 (р) при R e p > a будет, вообще говоря, тем более гладким, чем меньше особых точек имеет F (р), чем более простыми они будут и чем дальше от прямой Re р = а эти точки расположены.
Параллельным переносом осей координат всегда можно
сделать а = 0 sc а < с; поэтому будем |
предполагать, что |
функция F (р) имеет вид |
|
F(P) = y<V( P) , |
(4.1.2) |
где ф (р) регулярна при R e p > a и непрерывна в полу плоскости R e p а, включая бесконечно удаленную точку. Заменяя функцию F (р) в интеграле (4.1.1) выражением
(4.1.2), получим
с+ i со
т = - 2 й г { e v x p ) < / p . |
(4.1.3) |
Для интеграла (4.1.3) будем строить интерполяционную квадратурную формулу, основанную на интерполировании функции ф(р). Нго мы выполним при помощи линейных комбинаций некоторой системы функций соv(p) (v = 0, 1,.,.). Выбор системы подчиним следующему условию полноты: какова бы ни была функция ф (р) указанного выше вида,
для любых *) О а и е > 0 должна существовать такая
П
линейная комбинация S„ (р) = 2 °vMv (р), чтобы в области
V—0 R e p ^ c выполнялось неравенство
' П
Ф (р) - Ц av®v (Р) < е .
V— 0
*) Как будет видно ниже, требование выполнения условия пол ноты при любых с > а может быть ослаблено и заменено предполо жением выполне'ния условия при достаточно больших с.