Файл: Крылов, В. И. Методы приближенного преобразования Фурье и обращения преобразования Лапласа справочная книга.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 22.10.2024
Просмотров: 117
Скачиваний: 0
42 |
МЕТОДЫ ЧИСЛЕННОГО ОБРАЩЕНИЯ |
[ГЛ. 3 |
В следующих трех пунктах будут рассмотрены частные случаи многочленов Якоби — многочлены Лежандра, мно гочлены Чебышева первого и второго рода, представляю щие в вычислениях специальный интерес. В этих случаях вычисления могут быть выполнены с несколько большей полнотой.
3.1.3. |
Обращение |
преобразования Лапласа |
с |
помощью |
||||
смещенных многочленов Лежандра. Рассмотрим частный |
||||||||
случай |
весовой функции |
(3.1.9), |
когда а = р = 0: |
|
|
|||
|
|
|
со (х) = 1 |
или |
Р (t) = е~*. |
|
|
|
Многочленами, |
ортогональными |
на отрезке [0, |
1] |
с |
весом |
|||
со (л:) = |
1, |
будут смещенные многочлены Лежандра Р%(х). |
||||||
Они задаются |
формулой |
(3.1.10) |
при сг = 0, р = |
0 |
или же |
|||
формулой |
|
|
|
|
|
|
|
|
PJ (*) = |
( - ! ) » |
У ( _ 1)* (Л (п+ В (" + 2 ) _ + А) |
|
= |
|
|||
|
|
|
|
|
|
('n+k)\ k |
||
|
|
|
|
|
|
n\k\ |
х • |
|
Величина |
гп в этом случае равна |
|
|
|
||||
■ |
Г(/г + Ю+1)Г (и + Р +1) |
= |
|
|
|
|||
пп\ (2п + а + Р + 1 ) Г ( л + а + р + 1 )
Г(я + 1)Г(я+1) .... |
1 |
п\ (2 я+ 1) Г (п+1) |
2я + 1 ’ |
и разложение функции f(t) по смещенным многочленам Лежандра имеет вид
СО |
|
/(0= 23 ( 26+ 1) 0^ 1( 0 . |
(3.1.22) |
£ = 0
Величины ak вычисляются по формуле (3.1.15), в которой а<*> — коэффициенты смещенного многочлена Лежандра
Pt (х).
3.1.4. |
Обращение |
преобразования Лапласа с |
помощью |
||
смещенных многочленов |
Чебышева |
первого рода. |
Поло |
||
жим теперь |
а = р = —1/2. |
Весовая |
функция имеет вид |
||
со (х) — х~ 1/2(1 — х)~ 1/2 и Р (/) = е~t/2(1 — е-*у~1/2. Смещен |
|||||
ные многочлены Чебышева |
первого |
рода Т% (х) являются |
|||
ортогональной системой на [О, 1] по весу х~ ,/2 (1 —х)~'/2,
§ 3.1] |
ПРИМЕНЕНИЕ ОРТОГОНАЛЬНЫХ МНОГОЧЛЕНОВ |
|
43 |
||||||||
Многочлены |
Якоби P l{ 1/2, |
|
1/2)(х) отличаются |
от Т%(х) |
|||||||
только численным множителем, |
а именно |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
р* (- 1/2, - 1/2) |
(х) = СпП(х), |
|
|
|
|
||||
где |
|
4 |
П |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
Г (2л) |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
Сп- 2 2 п- 1 Г (л) Г (л + 1) • |
|
|
|
|
|
|||
Многочлены |
Т%(х) имеют вид |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
okn(n + l) ■■■(ti—k—l) |
k |
||||
|
|
|
|
|
|
(2k— |
1)11 |
х |
|
||
Значения гп вычисляются по формулам |
|
|
|
|
|
||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
rn= \ x ~ m i1- |
X)-1/2 [П (x)f dx = ~ |
(п ф О, |
г0= |
Я), |
|||||||
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а разложение функции /(/) |
|
по смещенным |
многочленам |
||||||||
Чебышева первого рода имеет вид |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
(3.1.23) |
|
|
|
f(t) = п |
|
|
|
|
|
|
|||
Коэффициенты ak (k — Q, 1 ,...) |
вычисляются |
по формуле |
|||||||||
(3.1.15), |
в которой а <А) — коэффициенты |
смещенного |
мно |
||||||||
гочлена Чебышева первого рода ТЦх). |
|
|
|
|
|
||||||
В вычислениях удобнее |
пользоваться |
тригонометриче |
|||||||||
ской записью |
многочленов |
Т% (х), а именно: |
|
|
|
||||||
|
|
Тп (х) — cos [п arccos (2л- — 1)]. |
|
|
(3.1.24) |
||||||
Сделав |
замену |
переменной |
|
2л: — 1 = cos 0 |
(0 ==£ 8 ==^ л) и |
||||||
учитывая, что х = е~*, t = —2 In cos у , разложение (3.1.23)
можно переписать в виде
f [—2 In cos у |
(3.1.25) |
3.1.5.Обращение преобразования Лапласа с помощью
смещенных многочленов Чебышева второго рода. Для
а —Р = 1/2 весовая функция со (х) и соответственно (3 (t) имеют вид
CO (.V) = Л1/2 ( 1 - л )'/2 , |
р (/) = е-31/2 ( 1 _ g -ty /2 ' |
44 |
|
МЕТОДЫ ЧИСЛЕННОГО ОБРАЩЕНИЯ |
[ГЛ. 3 |
|||
на |
Ортогональной |
системой |
многочленов |
по |
этому весу |
|
отрезке [0, |
1] |
является |
система смещенных |
многочле |
||
нов |
Чебышева |
второго рода U%(ж), которая |
отличается |
|||
от смещенных |
многочленов |
Якоби Д*<1/2, |
1/2) |
только по |
||
стоянным множителем |
|
|
|
|||
p*(U2. т {х)г=Сяц* {х}>
где
г(2п+1)1
°п 2алл! (я+ 1)!'
Многочлены U* (х) можно вычислять по формуле
U%(x) =
(—1)п 2Л (2«+ 1)4 |
у |
, |
n J » |
\ 2*(n + 2)...(n + fe + |
l) ь |
||||
“ (п+ 2)(л + 3)...(2пН-1) L |
1 |
’ |
\k) |
(2ft+1)11 |
|
||||
Для многочленов U%(х) величина гп вычисляется по фор |
|||||||||
муле |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Гп= \ Xх'2(1 - |
*)1/2 [U%(x)f dx = | |
, |
|
||||||
а разложение |
/(() по этим многочленам |
имеет вид |
|
||||||
|
|
|
00 |
|
|
|
|
|
|
|
/( 0 |
= 4 |
2 |
akVHe-<). |
|
(3.1.26) |
|||
|
|
|
k—O |
|
|
|
|
|
|
Коэффициенты |
ak вычисляются |
по формуле |
(3.1.15), |
где |
|||||
а<М — коэффициенты |
смещенного |
многочлена Чебышева |
|||||||
второго рода.
Для многочленов U* (х) также удобнее пользоваться тригонометрической записью
U%(x) = sin [(« -j-1) arccos (2х— 1)] |
(3.1.27) |
2 Vх (1 — х) |
|
Разложение (3.1.26) в этом случае примет вид |
|
СО |
|
/(--21ncos4) = jr|ry-2 ^ sin(^+l)e- |
(ЗЛ-28) |
£ = 0 |
|
где сделана та же замена переменной, что и в предыду щем случае.
§ 3.1] |
ПРИМЕНЕНИЕ ОРТОГОНАЛЬНЫХ МНОГОЧЛЕНОВ |
45 |
3.1.6. Другой способ вычисления коэффициентов а,,. Вернемся к разложению функции /(/) в ряд по смещен ным многочленам Якоби, т. е. к формуле (3.1.16), и вы ясним, какое разложение функции F (р), являющейся преобразованием Лапласа функции р (/) f (/), соответствует разложению (3.1.16). Для этого разложим в ряд по сме щенным многочленам Якоби функцию хр(Re р Эа 0):
СО
хр= У Ь - Р \{а'*\х),
' k
bk= \x a ( \ - x f x pP tia’ ®{x)dx.
о
Для вычисления Ьк воспользуемся формулой (3.1.10) для
многочленов Р%{а’ Р)(х), |
тогда получим |
|||
|
1 |
|
|
|
bk— ^ ха (1 — х)$ хр |
х~а (1 — х)-& х |
|||
|
о |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
X |
[дг“+* (1 — х)^к] dx = -—— |
? хр |
[xa+ft (1 — я)^*] dx |
|
|
dx* |
k\ |
J0 |
dxk |
Теперь, проинтегрировав по частям k раз, получим |
||||
Ьк = р (р -')"Л Р -к + \) |
J xpHx( l - x ) ^ kd x ^ |
|||
|
|
о |
Г(р + а + 1)Г(^ + р+1) (Р\ |
|
|
|
|
||
|
|
|
Г (p-f-“ + P + fe + 2) \ k ) ‘ |
|
Таким образом, разложение хр по многочленам Рп(а" Р) (х) имеет вид
хр= 1 |
Г (р + сс+ 1) Г (fe-{-p-|-1) |
Р р* (°. Р) |
(*)> |
(3.1.29) |
|||
гАГ (&-t-p + a-f-P-|-2) |
4 k |
|
|||||
feesГ |
|
|
А |
|
|
|
|
где rk определяется формулой (3.1.12). |
|
|
|
|
|||
З а м е ч а н и е . |
Обозначим Lp (.*) множество |
функций |
/, опреде |
||||
ленных на отрезке |
[а, b] и интегрируемых |
там с квадратом по весу |
|||||
р(х). Пусть ортонормируемая система функций |
ц>к (х) ( k = l , |
2, ...) |
|||||
замкнута в множестве Lp(X), т. е. такова, |
что для f <= Lp (Х) |
верно |
|||||
46' МЕТОДЫ ЧИСЛЕННОГО ОБРАЩЕНИЯ [ГЛ. 3
равенство Парсеваля
|
со |
ь |
|
|
ь |
|
|
|
|
|
2 f % = \ p ( x) f 2 W dx> |
f k = \ p ( x) f (*) ф* (ж) dx. |
|
(*) |
|||||
|
k=\ |
а |
|
|
а |
|
|
|
|
Тогда для всяких двух |
функций f{x) и g(x), |
принадлежащих |
Lp (*), |
||||||
верно обобщенное равенство Парсеваля |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
со |
Ь |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
fkgk = \ p ( x)f(.x) g ( x)dx. |
|
(**) |
||||
|
|
k = I |
а |
|
|
|
|
|
|
Для доказательства |
рассмотрим функцию /-f-g. Так как она при |
||||||||
надлежит Lp(X), |
для |
нее, ввиду (*), верно |
равенство |
|
|
||||
Ь |
|
|
|
со |
со |
|
со |
со |
|
a |
|
|
|
^ ( f k + S k ) 2 = 2 |
/1+2 £ fkgk+ |
2 |
gh |
||
|
|
|
k —1 |
k — 1 |
k = 1 |
k — 1 |
|||
С другой |
стороны, |
|
|
|
|
|
|
|
|
Ъ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
$/>(*) I/ W x g W ] 2 + |
= |
|
|
|
|
|
|
||
a |
b |
|
|
b |
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
= |
$ P (*) P (x) dx+ 2 ^ p (x) f (x) g (x) dx + |
$ p (x) g2 (x)dx = |
|
||||||
|
a |
|
|
a |
b |
|
a |
|
|
|
|
|
|
со |
|
|
oo |
|
|
|
|
|
|
= 2 |
/1+ 2 jp(*)/ (*)g(*)dx+ 2 |
gk. |
|||
|
|
|
|
k—l |
a |
|
k —\ |
|
|
Из сравнения правых частей двух последних равенств сразу же сле дует (**).
Воспользуемся теперь обобщенным равенством Парсе валя, применив его к разложениям (3.1.16) и (3.1.29):
1
F (р) = $+* (1 — *)Рф (х)хр dx =
|
|
„ |
&Фk __ |
|
Г (р + к + 1) Г (fe + |
p + |
1) |
Р |
|
|
|
||
|
|
|
k=o |
|
|
Г (Р+ 01 + Р Ч—* 2) |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
k\ (2fe + |
« + |
1)Г (fe-f-a-f-p + 1) Г ( р + и - |- 1) Г (feЧ-Р~Ь 1) |
X |
||||||||
|
|
|
Г ( й + а + 1 ) |
Г (fe + p+ l) Г (р+ |
а-ЬР + й+ 2) |
|
|
||||||
й = 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
X |
ak = Г (р Н~« + 1) 2 |
+ а + Р + 1) X |
|
|
||||||
У |
fe' Г (fe + a + p+ |
1) р (р— 1),,. (р— Р + |
1) |
__г / |
| |
i n |
v |
|
|||||
Х |
|
Г ( й + а + 1)Г (р + а + р + й-|-2)Н |
|
йк |
М Р + “ + 1 ) Х |
|
|||||||
|
СО |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
А2= 0 |
/ оа I „ , й , 1чГ ( й + а + р + 1 ) р ( р - 1 ) . . . ( р - й + 1 ) „ |
|
||||||||||
X |
(2^ + |
а + р + 1) |
р |
|
|
р |
fe |
2 |
■ ак |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(3.1.30) |
||