Файл: Крылов, В. И. Методы приближенного преобразования Фурье и обращения преобразования Лапласа справочная книга.pdf

lim

pF(p) = lim/(*) = /„,

р-*-оо

t -*■ О

lim

pF {p) = lim / (^) =

/«,

p -* 0

t -*• со

и пределы конечны,

то F (р) можно

представить в виде

F W = F M + (!f + т т г ) -

Оригинал для слагаемого в скобках

вычисляется точно,

а оригинал fx(t)

для функции

Fl (p)

равен

f(t) — f<x, —

— (fo— fooje-t и,

как

функция

0,

обращается

в нуль на

концах отрезка

[0,

я]. Синус-ряд Фурье для функции

fx(t) будет сходиться

быстрее, чем

ряд для функции f(t).

нее равносильно

умножению оригинала / (/) на e~at. Во-

вторых, предполагается, что / (0) = 0.

Этого можно достичь,

положив /i (0 =

/ (0 — f (О)а^, что

равносильно

замене

изображения F (р) изображением F (р) —

Интеграл Лапласа

СО

F (р) — \ e~ptf (0 di

(3.2.1)

о

преобразуем при

помощи подстановки

е~ш — cos 6,

(3.2.2)

m = / ( - | l n c o s 6 )

= cp(0)

( о < 0 < - £ ) ,

(3.2.3)

я/2

oF (or)= ^

(cos 0)р/«—»sin 6 ф (О) £/Э.

(3.2.4)

о

Функцию ср (0) разложим в

ряд Фурье по синусам

нечет­

ных кратных дуг

СО

ф(0)=

2]

cftsin(2£-|- 1) 0,

(3.2.5)

k= 0

я/2

ск = ~ ^ ф (6) sin (2/fe + 1)0 <Й.

(3.2.6)

о

Чтобы выразить

значения коэффициентов ск через зна­

чения

изображения F (р),

поступим следующим

образом.

В интеграле (3.2.4)

положим р = (2п-\-\)а (п = 0,

1,...),

тогда

получим

я/2

o [/'(2 n -f

1)а] =

^ cos2" 0 sin0 ф (0) d0.

(3.2.7)

о

Ядро этого интеграла может быть представлено

в виде

линейной комбинации функций sin (2^ +1)0:

cos2n 0 sin 0 =

2n

sin [2 (n — k) -f 1] 0,

= 0.

— 1

(3.2.8)

я/2

( 0

ц Ф у

5

sin (2^ + 1) 0 sin (2v + 1) 8 п!0 = |

^ = ^

которых y = n — k (k = 0, ! , . . . , « ) ,

т. е.

a f [ ( 2 « + 1) a] = 2~2п П

Cn-kI

*= о

54

МЕТОДЫ ЧИСЛЕННОГО ОБРАЩЕНИЯ

[ГЛ. 3

ИЛИ

\12П'

2п

со+ • • • +

2л

Cn-k+ • • • +

сл —

k - \

1\ п

4я+1

oF[(2n+ 1 )а],

или

k = 0

<з ' 2'9»

З а м е ч а н и е . Равенством (3.2.3) функция

ф(0)

определена на

отрезке

0 ^

0 < л/2.

Тригонометрический

ряд, стоящий справа

в (3.2.5),

представляет функции, обладающие двумя

особенностями:

эти функции

являются

нечетными,

или,

иначе

говоря,

имеющими

в плоскости с декартовыми осями координат

(0,

<р) график, симмет­

ричный относительно начала координат,

и

такими,

что их график

является

симметричным относительно прямой

0 =

п/2.

Тригонометри­

ческий ряд (3.2.5) дает продолжение функции

ф (0),

обладающее

указанными

свойствами

симметрии,

кроме

того,

2л-периодическое,

и является для продолженной функции рядом Фурье.

К. определению