Файл: Крылов, В. И. Методы приближенного преобразования Фурье и обращения преобразования Лапласа справочная книга.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 22.10.2024
Просмотров: 126
Скачиваний: 0
§ 4. 1] |
ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ИНТЕРПОЛЯЦИОННЫХ МЕТОДОВ |
61 |
|||
При |
наших предположениях относительно функции ср (р) |
||||
за соу(р) |
естественно взять не многочлены, а рациональ |
||||
ные |
функции |
от |
р, ограниченные при р-> оо, |
полюсы |
|
которых |
лежат |
в |
полуплоскости R e p s g a . Кроме этого, |
||
функции |
cov (р) |
должны удовлетворять еще существенному |
|||
в практике счета требованию: вычисления с ними должны быть достаточно простыми. Наиболее же простыми вычис
ления будут в том |
случае, если за сov(p) |
принять отри |
|||
цательные |
степени, |
т. е. p~v (v = 0, |
1, ...), |
и интерполи |
|
ровать функцию ср (р) многочленами от 1/р. |
|
||||
Что касается узлов рк, то будем сейчас считать их |
|||||
произвольными, |
расположенными |
справа |
от прямой |
||
Rep = а . |
Частные |
случаи расположения узлов на дейст |
|||
вительной оси будут рассмотрены в следующих парагра фах этой главы.
Возьмем точки |
р0, ри |
... , рп, лежащие в |
полу |
плоскости R e p > a , |
и по ним построим многочлен Pn(^ j, |
||
интерполирующий функцию ф (р): |
|
||
|
П |
|
|
ф (p) = P n{j) + rn( p ) = 2 |
Ik {j)^(pk) + rn (р), |
(4.1.4) |
|
k=0
где
Подставляя (4.1.4) в интеграл (4.1.3), получим следующую формулу для его вычисления:
c + i со |
|
|
10=т $ ^ |
2 Ц - У ф (Рк) + Гп(р) dp — |
|
С—{ 00 |
L*=О |
|
|
= 2 |
+ (4.1.6) |
А = 0
62 МЕТОДЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ ИНТЕГРАЛА МЕЛЛИНА [ГЛ. 4
где
c-\-i со
А , |
$ |
etpP^{j)dP’ |
|
с— too |
(4.1.7) |
|
С -J- t со |
|
|
|
|
я »=2ЙГ |
S |
etpp-srn(p)dp. |
|
С — i СО |
) |
Отбросив в формуле (4.1.6) остаточный член Яп, получим приближенную формулу для вычисления оригинала по
изображению. |
|
|
коэффициентов |
Ak (t). |
|||
Займемся теперь вычислением |
|||||||
Разложим |
многочлен L (—\ по степеням |
—: |
|
||||
|
|
|
|
\Р 1 |
|
Р |
|
lk |
|
|
+ |
+ |
= |
2 akjP~!* |
|
Тогда |
|
|
|
|
|
i=o |
|
|
c-^ico |
п |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|||
7lfe(0 = |
2S7 |
J |
ep/p~s 2 |
a^p-' dp = |
|
|
|
|
|
C —too |
/ = |
0 |
|
|
|
|
11 . |
C-f-tCO |
|
n |
|
|
|
= |
2 |
а*1Ш l |
eP‘p-s- U p = 2 akjt" 1 |
(4.1.8) |
|||
|
/= 0 |
|
|
/= 0 Г(8 + Д |
|
||
При помощи (4.1.8) легко могут быть вычислены коэффи
циенты Ak (t) для |
любых значений t. Для этого необхо |
димо знать только |
значения akJ, которые зависят лишь |
от выбранных узлов рк. Для наиболее часто встречаю щихся способов выбора рк значения akj могут быть вычис лены заранее.
§ 4.2. Интерполяционный метод с равноотстоящими узлами
Рассмотрим случай равноотстоящих узлов рк, распо ложенных на действительной полуоси [а, оо):
Pk = a + (kA- \)h |
(h> 0, k = 0, 1 |
n). |
|
He ограничивая |
общности |
задачи, всегда |
можно считать |
h — 1, для чего |
достаточно выполнить замену переменной |
||
p = a-\-p'h. После этого узлы р* станут целыми числами:
Pk = k + 1 (k = 0, 1, п).
§ 4.3] |
МЕТОД С НЕРАВНООТСТОЯЩИМИ УЗЛАМИ |
63 |
В этом случае формула (4.1.6) без остаточного члена Rn с учетом равенства (4.1.8) примет следующий вид:
/(0^ Д |
ла(0ф(А+1)=2 | 2 |
v s+y_1' |
ф(А+1). |
(4-2.1) |
||||||
г (s+j) |
||||||||||
Многочлены lk |
|
|
|
A = 0V/= 0 |
|
|
|
|||
|
в |
этом случае значительно |
упростятся |
|||||||
и будут равны |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
/ |
1 |
1 |
1 |
k+ 2 |
п + 1 |
1 |
||
|
|
|
1 |
1 |
|
|||||
k + l |
l j ' " \ k + l |
k ) \ k + 1 |
k + 2 j " ' \ k + \ |
n + 1 |
||||||
_ (fe+l)n (p— 1) ... (p— k) (p— k —2) ... (p— n —1) |
|
|||||||||
|
pn |
|
k ( k — \) ... 2- 1(—1) (—2) ... ( k - n ) |
|
||||||
|
(—!)““* (*+!)“ |
(P-1) (P-2) ... ( р - я - 1 ) |
(4.2.2) |
|||||||
|
k\ (n— k)\ |
|
|
Pn (p — k—1) |
|
|||||
|
|
|
|
|
||||||
Коэффициенты akj разложения многочлена lk |
— |
по сте |
||||||||
пеням 1 Ip |
могут быть легко вычислены. |
для |
п = |
1 (1) 15 |
||||||
Таблица значений akj (k, j = |
0, |
1........п) |
||||||||
приведена |
в книге [8]. |
|
|
|
|
|
|
|||
Для конкретных значений параметра s вместо коэф |
||||||||||
фициентов |
akj |
могут |
быть |
протабулированы значения |
||||||
Г (s4~/) |
|
|
|
параметра s = l |
формула (4.2.1) |
|||||
Для частного случая |
||||||||||
была построена Г. Солзером. Им же были просчитаны
значения коэффициентов |
Ak (t) для |
некоторых значений t. |
|
Для этой |
же формулы |
К. Ширтлайф и Д. Стефенсон |
|
вычислили |
значения коэффициентов |
( k + l )akJ |
|
% = ---- л— для п— |
|||
= 1(1)9. |
|
|
/1 |
|
|
|
|
§4.3. Интерполяционный метод
снеравноотстоящими узлами
Равноотстоящие узлы, которые избраны в § 4.2 для интерполирования функции ф (р) при вычислении интег рала Меллина, будут, очевидно, самыми простыми и удоб ными, но будут давать, по-видимому, не самый лучший результат в смысле точности.
64 |
МЕТОДЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ ИНТЕГРАЛА МЕЛЛИНА |
[ГЛ. 4 |
|
А так |
как вычисление этого интеграла |
часто бывает |
|
связано с довольно трудными и сложными |
расчетами, то |
||
желательно попытаться выбрать на действительной оси узлы так, чтобы интерполирование функции ср(р) было
более "точным, чем |
интерполирование по равноотстоящим |
||||||
узлам, и, |
следовательно, |
был более точным |
и |
результат |
|||
вычисления |
интеграла Меллина. |
задачи |
мы теперь |
||||
Одно |
из |
возможных решений этой |
|||||
рассмотрим. |
§ 4.1, |
будем |
предполагать, |
что изображение |
|||
Как и |
в |
||||||
F (р) представимо в |
виде |
1 |
|
|
|
||
|
|
А(р) = |
|
|
|
||
|
|
(Р — a ) s ф (р ); |
|
|
|
||
тогда интеграл (4.1.1) примет вид |
|
|
|
||||
|
|
|
сЛ-i со |
|
|
|
|
|
|
|
|
ф <р) |
d p . |
|
(4.3.1) |
|
|
|
|
(Р — а у |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
с — /со |
|
|
|
|
Чтобы |
преобразовать |
бесконечную |
полуось |
[а, оо), |
|||
на которой выбираются узлы интерполирования, в конеч ный отрезок, выполним дробно-линейное преобразование
|
|
|
А -у (А —2а) х |
|
|
(4.3.2) |
|
|
|
|
|
1—х |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где А —действительное |
число, большее а. Это преобразо |
||||||
вание переведет |
полуось |
[а, |
оо) в отрезок [— 1, |
1], линия |
|||
Rep = а перейдет в единичную окружность | х | = |
1, а полу |
||||||
плоскость R e p S s а — в единичный круг |
| * | с 1 . |
Точка А |
|||||
преобразуется |
в |
центр |
х = 0 единичного круга. |
Линия |
|||
интегрирования |
Rep = c в |
интеграле |
(4.3.1) |
|
перейдет |
||
в окружность, |
лежащую внутри единичного круга и касаю |
||||||
щуюся его границы в |
точке х = 1. Длина радиуса этой |
||||||
окружности будет зависеть от значения с. Если |
с будет |
||||||
приближаться |
к |
а, то она будет приближаться к единице. |
|||||
Наоборот, если с будет увеличиваться, то она будет
уменьшаться и может стать как угодно малой. |
Функция |
Ф (р) преобразуется в функцию |
|
Ф (Р) = Ф ( Л + {t - x a)X") = ф (*)• |
<4-3-3) |
Так как ф(р) была регулярной в полуплоскости R e p > a , то функция Ф{х) будет регулярной в круге | jc| <Г 1.
I 4.3] МЕТОД С НЕРАВНООТСТОЯЩИМИ УЗЛАМИ 65
Для вычисления интеграла (4.3.1) мы будем теперь интерполировать функцию Ф (х) на линии интегрирования
по ее |
значениям в л + 1 |
точках х* (/г = О, 1.........п) диа |
метра |
d единичного круга |
| х \==£, 1, лежащего на действи |
тельной оси. При этом постараемся точки xfe выбрать так, чтобы погрешность интерполирования была как можно меньше.
Следует заметить, что интеграл (4.3.1) является кон турным интегралом от аналитической функции комплекс ной переменной р. Он мало зависит от линии интегриро вания Re р = с (с > а ) . В частности, с можно выбрать сколь угодно большим числом. Тогда линия интегрирова ния при преобразовании (4.3.2), как уже говорилось выше, перейдет в окружность малого радиуса, симметричную
относительно |
диаметра d единичного круга | х | ^ |
1 и |
касающуюся |
его окружности в точке х = 1 . Поэтому |
при |
интерполировании функции Ф (х) мы будем заинтересованы в получении хорошей точности, в особенности вблизи точки х = 1.
Рассмотрим два способа выбора узлов хк и выскажем наглядные, но не вполне строгие мотивы, которыми мы руководствовались, когда остановились именно на этих узлах.
При исследовании сходимости интерполяционных про цессов для аналитических функций большое значение
имеет |
п р е д е л ь н а я |
ф у н к ц и я |
р а с п р е д е л е н и я |
|
у з л о в . |
Это понятие |
требует пояснений. Напомним его |
||
и, |
чтобы лучше выяснить содержание вопроса, начнем |
|||
с |
более |
общего понятия ф у н к ц и и |
р а с п р е д е л е н и я |
|
масс . Пусть на отрезке [—1, 1J по произвольному закону распределена единичная масса. Возьмем произвольную точку х на [— 1, 1], лежащую левее точки 1, и обозначим р (х) массу, лежащую строго левее точки х, т. е. принад лежащую открытому справа отрезку [—1, х). Дополним это определение р(х), положив р(1)=1.
Функция р (х) обладает, очевидно, следующими свой ствами:
1)р (— 1) = 0;
2)р (х) есть монотонная неубывающая функция х,
непрерывная слева для х е [ — 1, 1);
3) р (1 )= 1 .
Всякую функцию р (х), независимо от ее физического смысла, обладающую указанными тремя свойствами, назы вают функцией распределения для отрезка [— 1, 1].
3 В , И . К р ы л о в , H , С , С к о б л я