Файл: Крылов, В. И. Методы приближенного преобразования Фурье и обращения преобразования Лапласа справочная книга.pdf

Скачать файл (7,26Мб)

Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 22.10.2024

Просмотров: 130

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.


66	МЕТОДЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ ИНТЕГРАЛА МЕЛЛЙНА				[ГЛ. 4
Предположим, что дана			последовательность	функций
распределения уп(х) (л =		0,	1, 2, ...). Говорят,	что функ
ция	распределения у{х)	является предельной для			задан
ной	последовательности,	если во всякой точке		непрерыв

ности р (х) будет	ря (х) р (х)	(п ^оо ).
Пусть теперь	на отрезке	[— 1,	1] взято п-\-\	узлов
интерполирования	xk (k = 0,	1..........	п). Каждому	узлу

припишем массу \/(п-\-\). Этим будет определена некото рая функция распределения масс р (х), которую называют функцией распределения взятой системы узлов.

Рассмотрим, наконец, интерполяционный процесс, опре деляемый бесконечной треугольной таблицей узлов

встроках которой стоят узлы интерполирования на

отдельных шагах	процесса.	Возьмем строку номера п
с узлами лфй (k = 0,	1, ... , п)	и назовем соответствующую

им функцию распределения р„(х). Будем считать таблицу X такой, что последовательность р „(х) (п = 0, 1, 2, ...) имеет предельную функцию распределения р(х). Функция р(лг) называется предельной функцией распределения узлов интерполирования.

Особая роль при интерполировании аналитических функций принадлежит предельной функции распределения, которая называется функцией Чебышева:

					dt
			и*)=4 $j / T ^ -
Если для		наглядности считать,			что р (х) связана с распре
делением		масс на	[— 1, 1], то		плотность		распределения
масс	будет р (х) = и' (л:) =			я -1 (1 — х2)~1/2 и массы				будут,
очевидно,		расположены симметрично				относительно		точки
х = 0,	разрежены		вблизи	середины		отрезка [— 1, 1J и
уплотнены у его концов.
Оказывается, что интерполяционные процессы с узлами,
имеющими в качестве предельной функции							распределения


§ 4 .3]	МЕТОД С НЕРАВНООТСТОЯЩИМИ УЗЛАМИ							67
узлов	функцию	Чебышева,		являются		наилучшими		для
интерполирования		на	[ - 1 ,	1]	аналитических		функций
в следующем смысле:			какова	бы ни была функция				g(x),
аналитическая на отрезке [— 1,					1], интерполяционный про
цесс для нее будет сходиться				всюду		на отрезке	[— 1, 1]

и при этом равномерно относительно х. Кроме того, рав номерная сходимость сохранится и в некоторой окрест

ности отрезка	—	но форма области сходимости
будет зависеть от свойств g(x)			(см. [6]).
Поэтому при интерполировании функции Ф(х) естест
венно было взять такие узлы			хк	(k = 0, 1, 2,	. . . , п) на
отрезке [—1,	1], для которых предельная функция распре
деления есть функция Чебышева.
Известно также,		что корни	любой системы многочле
нов, ортогональных		на отрезке	[ - 1 , и с любой сумми
руемой и почти везде положительной весовой					функцией,
будут иметь в качестве предельной				функции распределе
ния функцию Чебышева.
За узлы xk	(k = 0,	, п) при интерполировании Ф (х)
можно взять	корни	многочлена	степени п -\-1		из	любой
известной системы ортогональных многочленов,					в	частно

сти корни многочленов Чебышева первого и второго рода, многочленов Лежандра и Якоби.

Задачу определенного выбора узлов xk отложим до конца параграфа, теперь же будем считать их произволь

ными, расположенными		на [— 1, 1].
По значениям функции Ф (л:) в точках xh {k — 0, 1,..., п)
построим	интерполирующий ее многочлен
	П
ф ( * ) ^ 2 ы * ) ф (* * )=
А= 0
(х— х0) ... (x— xk_i) (x— xk+1) ... (x — xn)					(4.3.4)
(хк	Xq) . .. (хк Xk_ i)	{хк	Xfy^i) ... (хк xtl)		(4.3.4)
(хк	Xq) . .. (хк Xk_ i)	{хк	Xfy^i) ... (хк xtl)
k = 0
Вернемся	от переменной х к		старой	переменной	pi
		р — А
тогда	Х ~	р +	А - 2 а	'
тогда
	Ф (Р )^ 1]4(Р )Ф (Р »)>				(4.3.5)
		А= 0

3 *

68 МЕТОДЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ ИНТЕГРАЛА МЕЛЛИНА [ГЛ. 4

где

	Pk" А + (Л —2а) х*
		1—xk	P i - А
	п	Р ~ А	P i - А
h (р) = Lu(X) = Д		р -f-А —2а	Pi + A —2а
h (р) = Lu(X) = Д		Ра-^4	Pi — А
	i= 0	Ра-^4	Pi — А
	i= 0	Рк+ А —2а	Pi + A— 2а
	1фk	Рк+ А —2а	Pi + A— 2а
		М р ). Так	как
Р - А	Рг	2 (Л--a) (p—pi)
р-\~ А — 2а	Pi + A —2а	(р + А —2а) (pi + A —2а) ’
Рк — А	P i - А	2 (Л -а ) (pk—pi)
РкА-А —2а	Pi + A —2а	(р * + Л -2 а ) (рг + Л — 2а) ’

ТО

Ш	(Рк+А —2а)п g>fe (р)	’
	(p + A —2a)n u>k (pk)
где
СО(р)	© (Р) = (Р - Ро) (Р “ Pi)
«А (Р) ; Р — Рк'

(4.3.6)

(Р -Р п).

Выражение (4.3.5) для функции ср (р) подставим в интег рал (4.3.1) и получим следующую формулу для его при ближенного значения:

с+Соо

М =	S	ePti = k s d p ^
	С — 1 0 0		п	п
	c +	too	п	п
	** Ш	S	( ^ а р 2	к (Р) Ф (Pk) Ф = 2	(t) ф (р*),
	С — ICO		&=0	Л = 0	(4.3.7)
где					(4.3.7)
где				c + io o
				c + io o
		Л> » - 5 Я		S '" 'э Й И " -	(4.3.8)
				с — too

Интеграл в последней формуле можно свести к интег ралу, вычисляемому при помощи известных таблиц для обращения преобразования Лапласа. Действительно, раз ложим многочлен со* (р) по степеням р + А —2а:

(р) = Ц	(Р + а - 2а)"-';
/=о

' 4.3] МЕТОД С НЕРАВНООТСТОЯЩИМИ УЗЛАМИ 69

тогда

4	(Р) = Y		аы (Р + А -	2 а )_ / »	(4.3.9)
где	/= о
		(pk + A - 2 a y k
	&kj				(4.3.10)
			(Pk)	kJ‘

Подставляя (4.3.9) в формулу (4.3.8),				получим
		С	ept
Ak {t)— ^	akj 2ш-				(4.3.11)
			^	— dp.
,=о		' ^ ( p + A - W ip - a y

Последний интеграл является табличным, выражающимся через вырожденную гипергеометрическую функцию (см. [3].

стр. 231).

Окончательно для Ak (t) получается следующее выра жение:

Ak( t) = 2 av		r ( s + j ) ei2a~ A)tlFl (s' S+A( a + A - 2 a ) t ) .
	/=0			(4.3.12)
				(4.3.12)
Здесь	есть вырожденная гипергеометрическая функция'
				с о
	р	(а	6	у r <a + V) 2V
	l f	l (	’ Р’ Z > ~ T ( a )	Z r(P+v)v!Z

v=0

( | z | < o o ) .

Равенство (4.3.12) можно упростить для некоторых част ных значений а и А. Например, если точки а и Л будут расположены симметрично относительно а, т. е. если они

будут связаны соотношением а = у ( Л + а ) , то

пc+ico

Ak (() = 2 аи ш S ePt 7ГГС

/ = о

( p - a ) s+J

fs+./-ieef

= 2 aki 'r(s + /) 1 (4.3.13)

/ = 0

Формулы (4.3.12) и (4.3.13) позволяют определить коэффициенты ЛА(/) квадратурного правила (4.3.7) для