Файл: Крылов, В. И. Методы приближенного преобразования Фурье и обращения преобразования Лапласа справочная книга.pdf

70

МЕТОДЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ ИНТЕГРАЛА МЕЛЛИНА

[ГЛ. 4

любого значения

t. Чтобы было удобнее пользоваться ими,

можно

составить

таблицу значений ak], которые зависят

от выбора

узлов

xk, а также от параметров а и А.

Для

а

и А могут быть взяты соответственно

значения

ням многочлена (п-\- 1)-й

степени

из

любой

системы

ортогональных на отрезке [— 1,

1] многочленов.

В справочной книге [8] приведены значения akj в двух

следующих случаях.

1, ... , п) были взяты корни мно­

1. За узлы xk (k = 0,

гочлена

Чебышева

первого рода

Тп+1(х) —cos [(п +

1) arccos х].

Коэффициенты akj формул (4.3.12) или (4.3.13), т. е.

коэффициенты разложения 1к (р)

по

обратным

степеням

1, можно

вычислить

следующим

образом.

Перейдем

от переменной р к

переменной * =

и

найдем

Lk{x)\

Lk (х) :

(х—х0) (х— хг) ... (x— xk _ 1) (x— xk + 1) ... (х — хп)

(хк

Х0) ( х к

Хр ,..

(хк

Xfr _ i) (хк

Xjt

г |)

... (хк

х п)

______ Д т (х)__

Т

(х)

(х

xk)Tn + i{xkY

Разложим многочлен

по степеням 1 —

”+ 1 v ;

X— Xk

Т п

4- 1

М

= 2 ЧуО -хУ ;

(4.3.14)

x ~ x k

тогда получим

/'=о

2

ckj(l ~ x)J

2 b v ( l - x y .

■l x \

'

где

1 п+ 1(хк)

1=о

h

°к1

ki

п + 1(д)-

« 4.31

МЕТОД С НЕРАВНООТСТОЯЩИМИ УЗЛАМИ

71

1=

0

1

1

(4.3.15)

2 %(Р+1У

7 = 0

7=0

a-k)=

27с;

^ + 1 (*а)

Для вычисления

коэффициентов akj нужно знать коэф-

стве (4.3.14) положим х — \,

тогда

Тф + id)

С*°~

1 - * а ’

Теперь (4.3.14) перепишем в виде

Тп+1 (х)

' САО=

2

- * у -

x - x k

7 = 1

Значение х — 1 является корнем

последнего многочлена,

l = i

Снова положим х — 1, тогда

Щ1:

•А*)

все

Этот процесс

продолжаем до тех пор, пока не

найдем

ckj.

После

этого по формулам (4.3.15) определяются

все

a kj .

приве­

Численные значения akj и рк для « = 1 (1 ) 14

дены в табл. 6 книги [8].

2. За

узлы

хк были приняты корни многочленов Ле-

жандра степени

1. Коэффициенты ahJ и узлы рк =

1 I у

—-

1 —Х'ь

§ 4.5]

ТЕОРЕМЫ О СХОДИМОСТИ ИНТЕРПОЛИРОВАНИЯ

73

Bj ^

2Я( 5 еР‘ /! (p+ A - 2 a ) " ( p - a ) s d p '

(4 -4'2)

С — ICO

Если (р — £ /

разложить по степеням (р + А — 2а),

то полу­

В частном

случае,

когда

функция

ср (р)

регулярна

в бесконечно

удаленной точке,

она может быть

разложена

СО

в ряд по отрицательным степеням р вида ср (р) =

аур-у.

V — о

В этом случае для вычисления интеграла (4.3.1) полу­

чится формула

СО

С +

i c o

/

(

0

^

avWi2

ePt pv (p - a ) s •

v =

0

c — ico

Последний

интеграл

является

табличным:

1

3

С

diр/

ts+v-i

S + V’ at)'

2ni

е

pv (р _ a)s ~ Г (s + v)lFl

£ +

f

СО

R n (ф. 0 =

2

Jj

е!рР~’гп(р) d p ,

(4.5.1)

С — i

СО

Rn (ф, 0 =

с 4* Ссо

2la

$

^ ^

(р) d p ,

(4.5.2)

с — I со

74

МЕТОДЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ ИНТЕГРАЛА МЕЛЛИНА

[ГЛ. 4

узлов

рк. Задача исследования сходимости заключается

ф (х) = ф (р)

[р =

А

_ j при помощи целого много­

члена от х.

При

принятых

условиях а = 0 и А = 1, не

Ф и ф будет Ф (х) —ф

.

Интерполирование Ф (х)

равносильно интерполированию

ф(р) при помощи рацио­

преобразовании р =

линия p = c-\-ia перейдет в окруж­

ность,

ортогональную

к действительной

оси комплексной

плоскости х

и проходящую через

точки

>* ■ Центр

окружности

лежит

в

точке

1 —

=

1 — е,

и радиус

равен —)Ц- = е.

При

с > 0

эта

окружность,

которую мы

С - \ - 1

лежит

внутри круга \ х \ ^ 1 ,

за исключе-

обозначим Ге,

нием точки х =

1, и

при неограниченном росте с она сжи­

мается

к х =

1.

ГЁ и

внутри

ее функция

Ф (х) регу­

На

окружности

лярна

всюду,

исключая,

может быть,

точку

х = 1 , где