Файл: Крылов, В. И. Методы приближенного преобразования Фурье и обращения преобразования Лапласа справочная книга.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 22.10.2024

Просмотров: 133

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

§ 4:5] ТЕОРЕМЫ О СХОДИМОСТИ ИНТЕРПОЛИРОВАНИЯ п

Ф (л:) хотя и является, по предположению о ср (р), непре­ рывной, но может быть не голоморфной.

Сходимость алгебраического интерполирования анали­ тических функций в замкнутой области при наличии осо­ бых точек на границе исследована недостаточно. Это в особенности относится к тому случаю, рассмотрением которого авторы ограничиваются в настоящей главе, когда узлы интерполирования берутся на действительном диа­ метре окружности Г8, что равносильно расположению узлов на полуоси R e p ^ O плоскости р. Трудность такой проблемы сходимости и малая ее изученность побудили авторов ограничиться рассмотрением узкого класса изо­ бражений F (р) и оригиналов /(/), когда ф(р) является функцией, регулярной в бесконечно удаленной точке пло­ скости р. В этом случае соответствующая функция Ф (х) будет регулярной не только в единичном круге | х \< 1, но и в окрестности точки х — \.

Как выяснится ниже, сделанное предположение поз­ воляет дать ответ на многие вопросы о сходимости интер­ полирования Ф (х), а следовательно, и на вопросы о сходимости процесса приближенного вычисления ориги­ нала f(t).

З а м е ч а н и е .

Мы говорим здесь об узком множестве оригиналов

f (t) на основании

следующих соображений. Если ф (р)

регулярна при

j р | > R, то изображение F (р) = ф (р) p ~ s представимо

в этой области

степенным рядом

СО

 

F (р) — p ~ s 2 cnP~n, \ p \ > R -

w

п = о

 

Для коэффициентов сп ряда верна приводимая ниже оценка: для всякого е > 0 существует такое число N — N (е), что выполняется неравенство

 

 

I сп | *£ N (R + е)п-

 

 

 

(**'

Всюду выше показатель

s, входящий

в равенство (*),

считался

положительным. В задаче же отыскания

оригинала / (t) для

F (р)

имеющей

представление (*),

можно

считать s > l ,

так как

nj>n 0 <

< C s ^ l

возможно выделить

в ряду

справа первый член с0р

s. Для

него оригинал известен, является табличным и равен г0

.

После

этого останется найти оригинал для

F (р) ■

<=Р

 

Cn+lP

соответствующего показателю s +

1.

 

РЪ

п=0

 

В выражении (4.1.1)

для f (/)

выберем с > Р . Тогда линия интег­

рирования (с — I со, с-\-

i со) будет лежать внутри области регулярно-

76

МЕТОДЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ ИНТЕГРАЛА МЕЛЛИНА

[ГЛ. 4

 

 

оэ

 

 

сти ф (р)

и ряд

2 спр~п на ней будет сходиться равномерно. Кроме

того, так

 

п — о

 

 

как в равенстве

 

 

 

 

с -J- гео

со

 

 

 

5 ePtj s 2 Cnp~ndp

<***)

 

 

с — гоо

п = О

 

ядро еР(р s на

линии интегрирования ограничено следующей ве-

личиной:

 

 

 

 

и является, ввиду s > 1, абсолютно интегрируемым, в (***) возможно почленное интегрирование. Кроме того, так как оригиналы функций

1

 

/ f l + S — 1

сп ——

известны и имеют значение Сп L______ для / (t) получится

ps+ n

 

Г (rt-J-s)

представление в форме степенного ряда

 

f ( t ) = t s- 1 2

t U

 

° п Г (п + s) ’

 

п=0

 

Оценка же (**) для коэффициента сп говорит о том, что степенной ряд, входящий в правую часть, сходится при всех конечных значе­

ниях t. Оригинал / (t) отличается

от целой

функции частного вида

СО

 

 

 

 

t n

лишь степенным множителем

ts К

Функции такого

n r(« + s)

 

 

 

 

л = 0

 

практически

важные виды ори­

вида далеко не исчерпывают все

гиналов.

 

 

 

 

4.5.2. Сходимость интерполяционного процесса вида

(4.3.4). При построении такого процесса нам приходилось интерполировать функцию Ф (х) на линии интегрирования по ее значениям в п -f-1 точках xk(k = 0, 1, ... , п) диаметра d круга [ х | 1, в который переходит полуплоскость Re р ^ а при линейном преобразовании

_А-{-(А —2а) х

Р~~ 1 —х

Будем считать, что в данном преобразовании А — 1, <х = 0.

Это

не ограничивает общности,

на что

уже

указывалось

в §

4.3.

 

 

 

 

Далее, напомним, что линия интегрирования, на кото­

рой мы интерполируем функцию

Ф (х)

(если

число с вы­

брать достаточно большим), является окружностью малого

$4.5)

ТЕОРЕМЫ О СХОДИМОСТИ ИНТЕРПОЛИРОВАНИЯ

77

радиуса,

лежащей внутри единичного круга и касающейся

его окружности в точке 1:

 

 

 

[х — (1 — е)| = е

( 0 < е г ^ 1 ) .

 

Сначала поставим такую задачу: выяснить, для какого класса функций Ф(х) интерполяционный процесс будет сходиться равномерно на линии интегрирования при любом выборе узлов на диаметре d единичного круга. Равномер­ ная сходимость интерполирования будет главным образом зависеть от величины области регулярности функции Ф(х). Если эта область будет достаточно широкой вблизи диа­ метра d, то можно заранее предсказать, что интерполя­ ционный процесс будет наверное равномерно сходиться, как бы ни выбирать узлы xk на этом диаметре. Укажем теперь наименьшую область, в которой должна быть регу­ лярной функция Ф (х), чтобы можно было гарантировать равномерную сходимость интерполирования на линии

интегрирования при любых узлах на [—1, 1].

 

Справедлива следующая

 

 

 

регулярна в замкну­

Т е о р е м а 1. Если функция Ф (х)

том круге

| х -f 1 | «S 2

и

в

окрестности | х — 1 | =sc; 2е

( О < е <

1)

точки х = 1,

то

интерполяционный

процесс

(4.3.4),

построенный по любым узлам,

лежащим

на диа­

метре d единичного круга,

будет

равномерно сходиться

к Ф(х)

на

линии \х —(1 — е)[ =

е.

Указанная

область

регулярности является наименьшей, обеспечивающей сходи­ мость интерполирования при любой системе узлов на диаметре d круга \ х | С 1.

Д о к а з а т е л ь с т в о . Эта теорема сразу же следует из общей теоремы, доказанной В. И. Смирновым и Н. А. Ле­

бедевым *). Напомним ее в

той постановке, в которой

задача решена этими авторами.

 

 

 

Пусть F, В, G — mpu непустых множества точек комп­

лексной плоскости z, причем

FczG,

В czG. Будем гово­

рить, что выполняется условие {F, В, G}, если для всякой

функции / (г), регулярной на G,

при

любом

выборе узлов

интерполирования г<,'г>(&=1,

2,

. . . , « + 1 ;

п — 1, 2, ... )

из любого ограниченного подмножества F* с А последова­

*) См. В. И.

С м и р н о в ,

Н. А. Л е б е д е в ,

Конструктивная

теория функций

комплексного

переменного, гл. I,

§ 3, М., «Наука»,

1964.

 

 

 

78

МЕТОДЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ ИНТЕГРАЛА МЁЛЛИНА

[ГЛ. 4

тельность интерполяционных многочленов Рп (г) для функ­ ции f (г) равномерно сходится к / (г) при п-^-со на всяком ограниченном подмножестве В* с: В.

Доказано, что если F и В —два замкнутых ограни­ ченных множества точек плоскости г, К% —наименьший замкнутый круг, содержащий множество В и имеющий

центр в точке Е; е Е, то множество G= [J К\ является

наименьшим замкнутым множеством, для которого выпол­ няется условие {F, В, G}.

В нашем

случае множество

F — отрезок

— 1 ^

х С

1,

множество В —окружность | х —(1 — е) | =

е.

Чтобы найти

множество G, построим два наименьших замкнутых круга

с центрами в точках

х = — \,

х — 1,

содержащих

линию

| х —(1 — е) ] = е.

Первый круг

определяется

неравенством

| x - f l | C 2 ,

 

второй — неравенством

\х — 1|<;2е.

Сумма

их и будет искомым множеством G.

 

 

1

равномерная

З а м е ч а н и е .

В

условиях

теоремы

сходимость будет иметь место

не

только

на

окружности

| х —(1 — е) | =

8, но и

внутри ее.

 

 

 

 

 

 

 

Если перейти

из плоскости х в плоскость р и от функ­

ции Ф(х) к

функции ср(р), то теорему

1

можно сформу­

лировать так:

1а. Если функция <р(р)

регулярна в полу­

Т е о р е м а

плоскости Rер ^ г — 1/2 ив области \ р + 1 |3г 1/е ( 0 < е <

1),

то интерполяционный процесс

(4.3.5),

 

построенный

по

любым узлам, лежащим на действительной полуоси Re р ^

О,

будет равномерно сходиться к ср (р)

 

в полуплоскости

RepSsl/e.

Указанная область регулярности

ф(р)

будет

наименьшей, обеспечивающей сходимость интерполирования

при Re р ^

1/е по любой системе узлов на неотрицатель­

ной действительной полуоси.

Теперь

поставим другую задачу. Известно, что функ­

ция Ф(х)

регулярна в единичном круге |xj==£l. Пред­

положим,

кроме этого, что она регулярна в окрестности

| х - 1 | < 2 е точки х — \. Попытаемся определить наиболь­

ший отрезок, принадлежащий диаметру d круга | х|=^1, такой, чтобы интерполяционный процесс (4.3.4), построен­ ный по любым узлам из этого отрезка, сходился бы равно­ мерно к функции Ф(х) на линии \х —(1 — е)| = е для любой функции Ф (х), регулярной в указанной ранее области.

§ 4.5]

ТЕОРЕМЫ О СХОДИМОСТИ ИНТЕРПОЛИРОВАНИЯ

79

Т е о р е м а

2. Если

функция Ф(х)

регулярна в круге

| х |

1 и в окрестности \ х — 1 | ^ 2е

(0 <

е ^ 1)

точки

х = \ ,

то интерполяционный процесс (4.3.4),

построенный

по любым узлам, лежащим на отрезке [0,

1],

будет равно­

мерно сходиться к Ф(х)

на окружности

\х —(1 — е)| = е.

Отрезок [0,

1] будет

наибольшим

множеством,

при­

надлежащим диаметру d круга, обеспечивающим равно­ мерную сходимость интерполирования по любым узлам, взятым на этом множестве, для функций, регулярных в указанной области.

Эта теорема может быть доказана на основании резуль­ тата, принадлежащего В. И. Смирнову и Н. А. Лебедеву (см. сноску на стр. 77). Ими установлено, что если В и G—два множества точек конечной плоскости *) г, причем В —замк­ нутое ограниченное непустое множество, G отлично от конечной плоскости и В czG, то наибольшим замкнутым множеством F, для которого выполняется условие {А, В, G}, является множество центров всех замкнутых кругов К таких, что К с= G и В а К.

В нашей теореме G—сумма кругов | х |=sg; 1 и |х — 11с 2е, В —окружность j х — (1 — в) | = в. Искомое множество А —множество центров кругов, содержащих В и содержа­ щихся в G. Кроме того, мы наложили требование, чтобы эти центры принадлежали диаметру d единичного круга. Тогда очевидно, что множество F — замкнутый отрезок [0, 1].

Если вновь

перейти от плоскости

х к плоскости

р,

то теорема 2 будет следующей.

регулярна в полу­

Т е о р е м а

2а.

Если функция <р (р)

плоскости R e p ^ O ,

а также в области | р + 1 | 5=1/6,

то

интерполяционный процесс (4.3.5), построенный по любым узлам, расположенным на действительной оси так, что

pft5 s 1

(k— \,

2, ... ,

п), равномерно сходится к ср(р) на

прямой

Re р =

1/е —

1. Полуось [1,

оо] будет наибольшей

областью на действительной оси,

обеспечивающей равно­

мерную сходимость интерполирования по любым узлам, лежащим на ней, для функций ф (р), регулярных в указан­ ной выше области.

В теореме 1 мы указали наименьшую область, в кото­ рой функция Ф (х) должна быть регулярной, для того

*) Конечной плоскостью называется комплексная плоскость, из которой удалена точка со.

Смотрите также файлы