Файл: Крылов, В. И. Методы приближенного преобразования Фурье и обращения преобразования Лапласа справочная книга.pdf

и(х) = ^ In

(О,

—1

где р, (t) — предельная функция распределения узлов.

Рассмотрим линию уровня

и (х) = cv При большом по

линия будет содержать внутри себя

отрезок [— 1, 1]

и

достаточно большую область вблизи

него, в частности

и

линию интегрирования | х —(1 — е) | = е. Назовем эту линию

уровня l C l , а часть плоскости, ограниченную ею, обозна­

чим BCl. Когда сг будет возрастать,

Вс, будет уменьшаться.

Определим число X как точную верхнюю

границу значе­

ний Су,

при которых отрезок [— 1,

1] и

линия интегри­

рования

|х — (1 — е)1 = е

лежат внутри

Вс,- При СуСХ

линия уровня l Cl будет

содержать

внутри себя [—1, 1]

в которой и{х)<.Х, назовем я,

а дополнение к ней р.

Т е о р е м а

3. Если

функция Ф(х) регулярна в неко­

торой области D, содержащей внутри себя (5, то интер­

поляционный

процесс

(4.3.4),

построенный

по узлам

с предельной

функцией распределения р(х),

при n -v o o

будет сходиться равномерно

на линии

интегрирования

| х — (1 — е) | =

е, более того,

он будет сходиться равномерно

во всей области (3.

Доказательство этой теоремы совершенно аналогично

доказательству теоремы

о

сходимости интерполирования

на отрезке [а,

£>] с узлами,

расположенными

на этом же

отрезке (см. [6], стр. 240—242).

Рассмотрим частный случай, когда предельная функция

распределения

узлов является

функцией

Чебышера. Так

§ 4.5]

ТЕОРЕМЫ О СХОДИМОСТИ ИНТЕРПОЛИРОВАНИЯ

81

« ( * ) = -

^ 1п-

dt

• In ■

x—t |

V l —P

X+ Vx

Я

j l j

Линии

уровня и (x) = Cj

при сг <

In 2

будут

эллипсами

с фокусами

(—1,

1)

и

полуосями

а = —^

Ч — ^ ^ ,

b = -2

где

Cl = ln - , р > 1.

При

р =

8 ■линия

уровня

и (х) = сг —In — будет

у 28 — в2

отрезок [—1,

р

содержать внутри

себя

1] и окружность

\х —(1 — е) | =

е, причем

последняя

касается линии уровня

эллипса с фокусами (— 1,

1) и полуосями

а =

Ъ=

8

2=1

ках

—1,

1 и полуосями а —"|/~

, b = j / ~

и обла­

сти,

лежащей внутри его, то интерполяционный

процесс

(4.3.4),

построенный по узлам,

имеющим в качестве пре­

дельной функции распределения

узлов функцию Чебышева,

эллипсе и, в частности,

на окружности \х —(1 — е) J= е.

Эта теорема является

частным случаем теоремы 3.

З а м е ч а н и е . Если

число е взять достаточно малым,

и 1

будет выходить за пределы окружности | х j =

1.

А так

как

функция Ф(х) является

регулярной

в круге

| х | < 1 ,

то для выполнения условий

теоремы 4

достаточно

требо­

вать регулярности Ф (х) в окрестности точек х

= — 1, х = 1,

например в окрестностях \х — 1|<^2е, |х-Ь 1

|==с.2е.

■ 4.5]

т е о р е м ы

о с х о д и м о с т и Ин т е р п о л и р о в а н и я

83

В

этом случае могут быть сформулированы следующие

теоремы.

5.

Если функция

Ф(х)

регулярна

в круге

Т е о р е м а

х —

1

и в окрестности \

х | ^ 2е

1

точки

2е < 2^-)

по любым узлам, лежащим на отрезке

0,

будет рав­

номерно сходиться к Ф (х) на линии \

х — е | =

г, которую

можно принять за линию интегрирования. Отрезок j^O,

j

Эта

теорема доказывается на основании теоремы

В. И.

Смирнова

и Н. А. Лебедева, которую мы привели

при доказательстве теоремы 2.

Здесь множество G —сумма

кругов

х — ~

<

2^- и | х | ^

2е, множество В —окруж­

ность

| х — е | = в.

Чтобы построить F, необходимо найти

туре j х — е | =

е, но также внутри его.

Если перейти

к старой переменной р и функции ср (р),

то теорему 5 можно сформулировать так:

Т е о р е м а

5а.

Если

функция <р (р) регулярна в полу­

плоскости Re р >

а и

в окрестности \ р | ^ R бесконечно

построенный по любым узлам pk {k = 0,

1....... п), лежащим

на действительной оси так, что pk^

2а, будет равно­