Файл: Крылов, В. И. Методы приближенного преобразования Фурье и обращения преобразования Лапласа справочная книга.pdf

Скачать файл (7,26Мб)

Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 22.10.2024

Просмотров: 138

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

§ 9.2]	АЛГЕБРАИЧЕСКОЕ ИНТЕРПОЛИРОВАНИЕ f ( x )	139
является	полуосью или всей осью и функция	абсолютно

интегрируема там или даже удовлетворяет условию (9.1.4), то алгебраическое интерполирование не может дать хоро шего приближения. В основание интерполирования тогда должна быть положена другая система функций, напри мер система рациональных функций, непрерывных на оси или полуоси и стремящихся к нулю при неограниченном росте |?|. На таком интерполировании остановимся ниже. При применении же алгебраического интерполирования мы должны будем разделить полуось или ось на беско нечное множество конечных отрезков и прибегнуть к кусоч ному, не обязательно даже «сращенному» интерполирова нию*).

9.2.1. Вспомогательные формулы. Изложение начнем с получения простых вспомогательных формул, служащих

для

вычисления

интегралов от функций, содержащих три

гонометрические

множители.

Пусть

[а,

&] — произвольный

конечный

отрезок и

I (х) — алгебраический

многочлен

степени п. При помощи

«-кратного

интегрирования

по

частям легко

получается

следующее

равенство:

§ / (х) ё рх dx =

ci„h\

ЩЬ)

. 1'{Ь)

и "(b)

У"(Ь)

р2

р3

р4

с1ва\

i l (a)

l'(a)

■ d"(a)

l " ' {а)

p 2

Ptp4

1 f \ _ ! [ I

l'{b)

U"(b)

i"'{b)

~1 p a

p 4

il (a)

l' (a)

il"

(a)

( 9 . 2 . 1 )

Если считать l (x) действительным многочленом, заме нить показательные функции их выражениями Эйлера через

*) Так, называют алгебраическое интерполирование, когда на каждом из отрезков строится свой интерполирующий многочлен, при этом многочлены выбираются .так, чтобы в точках соприкосновения двух соседних участков соответствующие им многочлены и производ ные от них до некоторого порядка имели одинаковые значения. Такое интерполирование иногда называют! сохраняя английский тер мин, сплайн-интерполированием.

140

ИНТЕРПОЛЯЦИОННЫЕ ФОРМУЛЫ

(ГЛ. 9

тригонометрические и сравнить действительную и мнимую части, получатся полезные формулы для вычисления инте гралов с тригонометрическими множителями:

5 1 (х) cos рх dx =

аa + 6b	[\1t[l(b)(6)4+- l(a) I" (6) + /" (а)
= cos P - j H	l	р
l'( b ) - l ' (a)		V" (b ) - l" ’ (a)
+

smp—b a -

b— a\ , cosp -g —J-4-

•

0 + a \ 1(b) —1(a)

l" (b) — l" (a)

b— a

4- sm p

...j COS p

—

|l" t* » -1’" <«) + .,

1 sin p

(9,2.2)

§ / (x) sin px dx —

b4-a

1Ф1+1 (a)

l" (b) + 1» (a) + "

j si

b — a

= sm p - y -

sin p ■2

cos p 6 — ol

l'(b) — l'(a)

l"'(b) — l"'(a)

+ [ '

1(6) — l(o)

1 ____ b —ja

6+ g

[[

/" (6) — /" (a)

co sp i ± £

j " W -

H - +

„ .jco sp :

< - W + < - W

+ „ . ] sin p ^ } .

(9.2.3)

Равенства (9.2.2 —3) были получены

предположении,

что I (х) есть произвольный многочлен с действительными

коэффициентами. Но так как равенства верны при произ

вольных

действительных

коэффициентах многочлена / (х),

то

они

будут

верными

и для

комплексных коэффициен

тов и, следовательно, для любого комплексного I (х).

9.2.2.

Построение

формул для вычислений. Идея

построения интерполяционных правил весьма проста. Для

определенности рассмотрим косинус-преобразование (9.1.1).

Полуось интегрирования [0, со) разделим на конечные

отрезки точками 0 =

а0<

аг <

. . . < « * <

• • • Возьмем один

из отрезков [ak, й*+1] и интерполируем на нем функцию /,

считая ее достаточно гладкой, при помощи алгебраиче

ского многочлена. Изберем,

например,

интерполирование

по значениям функции. Выберем на [ak, aft+1] я* +

1 произ

вольно

расположенных узлов

хk. (j —О,

1 , .. . , nk\

ak^

х* <

... <С х*

ak+ \)

выполним

интерполирование

§ 9.2]	АЛГЕБРАИЧЕСКОЕ ИНТЕРПОЛИРОВАНИЕ f ( x )	141
по	значениям / ('х?) = /<*> с помощью многочлена	Рк (х)
степени nk\

“*(*)=(*-*»)•••(*-*у>

	f (х) = Pk {х) +		Гk(х).	(9.2.4)
Рассмотрим	теперь	интеграл	вида (9.1.1),	взяв его не
по полуоси [0,	оо),	а по отрезку [ak, ak+1],		и заменим

в нем функцию f(x) интерполирующим многочленом Pk (х). После этого получим приближенное равенство

а 4 + 1

а4 + 1

Pk (t) cos ut dt =

f (t) cos utdtrs*

a k

+ i

— 2

f f

I f

(0 cos ut dt.

i =

a k

Суммируя

такие

равенства

по всем частичным отрез

кам, построим

приближенное

выражение

для

косинус-

преобразования

Фурье:

Фе(«) =

о о

п к

a k

~ \ f ( t ) cos ut dt я»

f f

I f

(t) cos ut dt.

(9.2.5)

4 = 0 / = o

a k

Каждый

из

интегралов, стоящих под знаком двойной

суммы, может быть вычислен, например, с помощью фор мулы (9.2.2).

Если обозначить rk (х) = / (х) — Рк (х) погрешность интер полирования на отрезке [ак, а*+1], то погрешность равен

ства	(9.2.5) будет	иметь следующее значение:
		с о	а 4 + 1
	#с(ы)= 2		\ гк (0 cos ut dt.	(9.2.6)
		4 = 0	ah
Это	представление	Rc{u)	может быть, по	крайней мере

в некоторых случаях, использовано для		получения оценки
погрешности приближенного	представления (9.2.5) для
срс(«). Например, из (9.2.6)	очевидным	образом вытекает

142 ИНТЕРПОЛЯЦИОННЫЕ ФОРМУЛЫ [ГЛ, 9

следующая равномерная относительно и оценка Rc{u)\

со ак +1

	\|Яс ( и ) 1 < 2	S	\rk (t)\dt.	(9.2.7)
	f t = 0	ak
В этой записи предполагаем,			что правая часть нера
венства имеет конечное значение.			Величина правой	части
зависит от выбора точек ак,		чисел пк, узлов интерполи
рования	и свойств функции /,		в частности от наличия у

нее производных достаточно высокого порядка и от скорости стремления их к нулю при неограниченном возрастании t.

Исследование приближенного представления (9.2.5) для фс (и) в общем виде является сложным и имеет преимущест венно теоретическое значение. Ограничимся тем, что рассмот

рим представление в нескольких		простых частных случаях.
Предположим,	что полуось	[0, со) разделена точками
хк= kh (h > 0, k =	0, 1,2,...) на равные отрезки длины h.

Будем, кроме того, считать, что известны значения функ

ции /

в точках деления: f{xk) = f{kh) = fk-

П р а в и л а в ы ч и с л е н и й ,

о с н о в а н н ы е на

л и н е й н о м и н т е р п о л и р о в а н и и .

Рассмотрим

сна

чала

аналог

правила

трапеций.

Возьмем

отрезок

[kh, (k-\- \)h]

выполним

линейное

интерполирование

функции

f по двум ее значениям на

концах отрезка:

/ (X) = X~ ^ +h1)h-fk+

Ы 1

гк (X, /).

(9.2.8)

Погрешность интерполирования гк(х,

/), если f

имеет

непрерывную

вторую

производную,

представима,

как

известно,

в форме *)

гк (х,

/) = /га $ f"'(kh + hx) [(I - т) Е (£ -

т) - 1 (1 -

т)] dx,

(9,2.9)

x = xk+ hl = h(k + l),

*) Такое представление можно получить, если воспользоваться фор

мулой Тейлора с остаточным членом в форме интеграла

f ( x ) = f k + ( x -

k) f ' k + $

/ "

(t)

( х - t ) d t =

fk +

( x - X k) / ^

Ф ( х ) .

Так как

линейная

функция

/й+ (*—*xk)fk

интерполируется

точно,

Смотрите также файлы

Левин, А. М. Очистка сточных вод огнеупорных заводов.pdf

Литвинов, И. В. Структура атмосферных осадков.pdf

Мамаев, Н. Ф. Нижний палеозой и докембрий восточного склона Урала.pdf

Мамедов, Э. С. Тайфуны.pdf

Махнач, А. С. Геохимия микроэлементов группы железа в живетских и франских отложениях Белоруссии.pdf

Файл: Крылов, В. И. Методы приближенного преобразования Фурье и обращения преобразования Лапласа справочная книга.pdf

Смотрите также файлы

Информация

Списки файлов

Дополнительно