Файл: Крылов, В. И. Методы приближенного преобразования Фурье и обращения преобразования Лапласа справочная книга.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 22.10.2024
Просмотров: 137
Скачиваний: 0
§ 9.2] |
АЛГЕБРАИЧЕСКОЕ ИНТЕРПОЛИРОВАНИЕ f <дг) |
143 |
где Е (х) есть «гасящая функция», служащая для устране ния излишних участков интегрирования и определенная равенствами
1, |
х > |
0, |
£(*) = 1/2, |
х = |
0, |
0, |
х < |
0. |
Умножим обе части равенства (9.2.8) на cos их и про интегрируем по отрезку [kh, ( k - \ - \ ) h \ . При помощи интег рирования по частям или на основании (9.2.2) легко может быть вычислен интеграл с интерполирующим мно гочленом:
Т " [ - |
h + £ ^ |
, f,* , ] « * ■ = |
k h |
|
|
= |
sin и ( k + |
1) h - ~ f k sin ukh + |
+ |
щ (fk+ 1 |
~ fk) [cos U ( k + l ) h - cos ukh]. |
Можно видеть, что при суммировании по всем отрезкам
[kh, ( k - \ - \) h ] (если принять |
во внимание, что fk-+ 0 при |
k —>оо) члены с синусами |
исчезнут. Что же касается |
погрешности интерполирования / и <р совпадают. Но
rk(x, ф)= <р(*)+ * - ^ +1 ф ( ^ ) - ^ - ^ - ф ( х й+1),
а так как <р (дсА) == 0, то
хx k + i
rk (х, f) = rk (.х, <р)= J /" (Q (x - Q d t - |
/" |
<«= |
**Xk
X k + t
= ^ / " (o[(*—0 £ (* —9--|-(x-x*)(xft+A —o]<#. y
После этого останется заменить |
переменные х ч t, |
положив х = хк -j- |
+ Ag, t — X k+ hi ( 0 ^ 1 , |
чтобы получить |
равенство (9.2.9). |
144 |
ИНТЕРПОЛЯЦИОННЫЕ ФОРМУЛЫ |
[ Г Л . 9 |
|
членов с |
косинусами, то они дадут |
внеинтегральные сла |
|
гаемые для косинус-преобразования. |
rk(x, f) |
||
Наконец, если в интеграл с |
погрешностью |
||
вместо переменной интегрирования х ввести переменную |,
положив |
x — kh-\-h\, получим |
выражение для погрешно |
|||||
сти в форме двойного интеграла, |
и |
после суммирования |
|||||
по отрезкам |
[kh, (fe-f l)/z] |
(& = |
0, |
1, |
...) для |
фс(м) будет |
|
получено следующее точное представление *): |
|
||||||
|
СО |
|
|
|
|
|
|
фс (И) = \ f ( О cos ut dt = ■~ ^ ShUhf0 + |
|
|
|||||
|
О |
|
со |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ 2 |
2 |
fkcos ukh+ |
{u)’ (9-2Л0) |
||
/?e(u) = |
A * J d E S r f T [ ( g - T ) £ ( g - T ) - 6 ( l ~ T ) ] x |
||||||
|
0 |
0 |
CO |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
2 ] |
f" |
(kh + hx) cos и (kh -f hi). |
||
|
|
|
k=0 |
|
|
|
|
Если здесь отбросить остаточный член Rc (и), получится формула приближенного косинус-преобразования по значе ниям оригинала / в равноотстоящих точках.
Приведенное выражение для погрешности Rc формулы позволяет получить ее оценки и указать порядок мало сти относительно h при некоторых предположениях о функ
ции f. Получим простейшую из таких оценок. |
Предва |
||
рительно отметим, что |
ядро двойного интеграла, |
стоящее |
|
в квадратных скобках, |
имеет значения |
|
|
|
при |
Т |
< I , |
|
при |
т > £ . |
|
Оно отрицательно в области интегрирования 0 < | , |
т < 1. |
||
*) При записи мы считали функцию f (х) и вторую производную f" (х) настолько быстро убывающими при х-> оо, чтобы ряды, участ вующие в представлении, сходились абсолютно и равномерно. Ана логичное имеется в виду и для других представлений в § 9.2,
§ 9.2] АЛГЕБРАИЧЕСКОЕ ИНТЕРПОЛИРОВАНИЕ f ( х ) 145
Двойной интеграл от ядра вычисляется легко: |
|
|
1 |
1 |
|
J 4 jj [ ( Е - т ) £ ( Б - т ) - Б ( 1 t)Jdx = |
• |
|
о |
о |
|
Это позволяет оценить Rc следующим образом:
| я с | < л зи Ь ( 1 - т ) -
0 о
|
- ( Е - т ) £ ( Б - т ) ] |
2 |
| /'' (kh + hx) | dr = |
|||
|
|
00 |
|
4= 0 |
Ae)|, |
|
|
|
|
|
|
||
|
= |
2 |
l/"(*A + |
° < e < !• (9.2.11) |
||
|
|
4 = 0 |
|
|
|
|
Оценка суммы зависит от свойств второй производной |
||||||
Предположим, |
что |
для |
/ " |
выполняется неравенство |
||
В этом |
случае |
|
|
|
а > 1 ’ |
а > 0 - |
|
|
|
|
|
||
со |
|
|
со |
|
|
00 |
2 |
+ |
|
2 (a+lJ+йг < В 2 idw - |
|||
4= 0 |
|
|
4 = 0 |
|
|
4= 0 |
Если избраны h н а, значение последней суммы может быть найдено путем вычислений и в некоторых случаях при помощи табулированных функций.
Полученная оценка может быть заменена более про стой, но менее точной.
Приводимые ниже неравенства являются очевидными и могут быть получены, если в левом интеграле заменить t
его наименьшим значением, |
а в правом — наибольшим зна |
||||||
чением: |
4-f-1 |
|
|
1..< |
4 |
С dt |
|
|
|
|
|
||||
|
[ |
dt |
< |
|
' |
||
|
\ |
(a+ ht)< *^(a + kh)a ^ |
|
J (а+А<)“ |
|||
|
4 |
|
|
|
4 - 1 |
|
|
Отсюда, |
если |
суммировать |
по значениям k от 1 до оо |
||||
и затем |
добавить к |
левой |
части |
полученных |
неравенств |
||
( __ Ё__ < J _
) (a + ht)a ^ qa >
О
146 ИНТЕРПОЛЯЦИОННЫЕ ФОРМУЛЫ [ГЛ, 9
а к средней |
и последней частям |
1 |
найдем |
|
|
|
|
||||
со |
1 |
со |
1 |
1 |
1 |
dt |
■<2(а+ |
||||
{a+ht)a |
(а —1) haa ~ |
kh)a |
< а1 |
(а — I) haa ~ |
|
|
|
k=o |
|
|
|
Построенные неравенства говорят о том, что рассматри ваемая сумма является величиной порядка 1 /А при малых А. Для Rc из найденных неравенств вытекает оценка
I Rc |
h* Г____ !____ + |
А 1 |
(9.2.12) |
||
|
[ (а — |
аа |
^ |
J |
|
|
1 2 L ( a - l1)e“ -1 |
|
а“ . |
|
|
Представление |
(9.2.11) для |
Rc может служить |
источ |
||
ником оценок другого вида, которые также могут ока заться полезными в некоторых случаях. Из приведенного выше выражения для ядра двойного интеграла видно, что
оно принимает значения, |
не большие 1/2 по абсолютной |
|||||||||
величине. |
Поэтому для Rc верно неравенство |
|
||||||||
|
1 |
1 |
оо |
|
|
|
|
|
|
|
\ R c ( u ) \ ^ ± h * \ d t |
§ |
2 |
|
I f'' (kh + |
hi) | dx = |
|
||||
|
|
0 |
k=0 |
|
|
1 |
CO |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
■ft3 J |
2 |
\ f " № |
+ hx)\dx. |
|
Ho |
|
|
|
|
|
|
0 |
k=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
\ \f" (kh + hT) \dr = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
{k+\)h |
|
|
|
|
|
||
|
= i |
|
J |
\ |
!/" d)\dt = ~ |
Var |
/'(*). |
|||
|
n |
|
|
|
|
n kh^t^(k +\)h |
||||
а так как |
|
|
kh |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 ] |
Var |
|
/ ' ( / ) = |
Var |
/'(/), |
|
|||
|
AT T 0 |
^ < ( * + 1 ) ft |
|
0 < * < c o |
|
|
||||
для Rc (и) |
получится |
оценка |
вида |
|
|
|
|
|||
|
| t f c ( « ) | < i / i 2 |
Var |
/'(/). |
|
(9-2.13) |
|||||
й0 < i < o o
Она |
особенно просто |
применяется |
в тех случаях, когда |
||
f |
(t) |
есть |
монотонная |
или кусочно-монотонная функция |
|
с |
просто определяемыми отрезками ее монотонности. |
||||
|
Путем, |
сходным с изложенным, |
могут быть получены |
||
правила, |
основанные |
на линейном |
интерполировании /, |
||
§ 9.2] АЛГЕБРАИЧЕСКОЕ ИНТЕРПОЛИРОВАНИЕ f ( х ) 147
для приближенных синус- и комплексного преобразований Фурье. Ограничимся тем, что приведем только сами пра вила, опуская все рассуждения, связанные с их получением.
Для синус-преобразования (9.1.2) верно следующее
представление |
его |
через значения функции f |
в |
точках |
||||||||
xk= kh (k = |
0, |
1, ...): |
|
|
|
|
|
|
|
|||
Ф* (ы) = |
4 |
( |
1 ~ ^ h sinuh)fo + |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
СО |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ 2 -1~ g T /i |
2 |
fkSMukh + R,(u), |
(9.2.14) |
|||||
|
|
1 |
1 |
|
А = 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Rs (и) = hz\d l\d x [(£ |
|
|
т) - |
|
|
|
|
|||||
|
|
0 |
|
0 |
|
оо |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- 1 ( 1 - т ) ] |
Z f " ( k h + hT)sinu(kh + h^. |
|||||||
|
|
|
|
|
|
k=0 |
|
|
|
|
||
Правило |
приближенного |
вычисления получится, |
если |
|||||||||
в равенстве |
(9.2.14) отбросить |
остаточный |
член |
Rs (u). Он |
||||||||
является |
погрешностью метода. |
|
|
|
|
|
||||||
Остаточный член Rs по строению сходен с Rc в (9.2.10) |
||||||||||||
и отличается от него тем, что |
в его представлении функ |
|||||||||||
ция cos u(kh-\-hl) |
заменена |
на |
|
sin и (kh-\- Щ). |
При |
полу |
||||||
чении |
оценок |
Rc |
абсолютная |
величина |
cos и (kh + /г£) |
|||||||
была заменена единицей. То |
же можно сделать с функ |
|||||||||||
цией sin u.{kh+ hl) |
при оценке |
Rs. Поэтому |
для |
Rs(u) |
||||||||
верны оценочные неравенства вида (9.2.11 — 13), а именно: Если функция f имеет непрерывную вторую производ ную на [0, оо), достаточно быстро убывающую при х->оо,
то
2 |
\f"(kh + hB)\, |
0 < 8 < |
1, (9.2.15) |
|
£= 0 |
|
|
|
|
|Д Д « )|< 4 -/г 2 |
Var |
|
|
(9.2.16) |
z |
0<«оо |
|
|
|
Если для второй производной |
выполняется |
неравенство |
||
\ Г( х ) \ ^ В( а + х ) ~а |
( а > 1 , |
а>0), |
||
Т О |
|
|
|
|
I Rs (и) I "J2* [ (а — 1) аа ~1 |
а“ ] ' |
(9 -2 -17) |
||
Наконец, для комплексного преобразования (9.2.3) имеет место представление через значения / в равноотстоящих