Файл: Крылов, В. И. Методы приближенного преобразования Фурье и обращения преобразования Лапласа справочная книга.pdf

точках

xk = kh (6 = 0,

± 1 , ± 2 , ...):

СО

Ф(ы)=

§ / (t) ё м dt =

— 00

00

= 2

^

he~iakh + R{u), (9.2.18)

1

1

k=—co

т) E (| -

R {и) = hs $

dx [(i -

t) -

0

0

CO

f" (kh + hx)e-iu^ h+h^.

- g ( l - T ) ]

2

k — —

0 0

СО

| / ? ( и ) | < 1 л » ^

\f"(kh + M)\,

0 < 6 < 1, (9.2.19)

k — — СО

\R(u)\^±-h*

Var

(9.2.20)

^

— 0 0 < ^ < 0 0

f"{x)\ < 5 ( а + | х | ) - *

( а > 1, а > 0 , — о о < х < о о ) ,

II.

П р а в и л а

в ы ч и с л е н и й ,

о с н о в а н н ы е на

и н т е р п о л и р о в а н и и

в т о р о й

с т е п е н и .

Возьмем

отрезок

[kh, {k -f- 2) h]

длины 2h и интерполируем функ­

цию / по ее значениям Д,

/ft+1,

Д +2 в точках kh,

(& + 1)h,

(k-\-2)h многочленом

второй

степени:

i / . л ( х

x k + i ) ( x x k + i )

t

i

( х

x k ) ( х

x k + i )

f

I

(—A)(—2ft)

(— A) ft

/А+1Ц-

+ {x~ Xkl (x~ Xk^

fk+ 2

+

гЛх).

(9.2.22)

§ 9.2]

АЛГЕБРАИЧЕСКОЕ ИНТЕРПОЛИРОВАНИЕ f (*Т

149

интеграла,

применив при его записи гасящую функцию Е:

X

f W =fk + ( x - xk) /* + ! ( * - xkf fi + -j

t)4t =

rk {x) = Y

J

f " ' ( t ) \ ( x - t y E ( x - t ) +

+

(Х

Ч ) ( £

X k+ 2 ) ( * * + i -

О 2Е ( х к+1 -

о -

1

( x— xk) ( х - х к+1)

(xk+2- t f ] d t .

2

№

Первый член в интерполяционном многочлене, отве­

чающий узлу хк:

(х— хь +i) (х - х к+а) (■xk - t f E { x k- t ),

(-А) (-2А)

опущен под знаком

интеграла, так как E(xk— i) = 0 при

xk< t z ^ хк+2.

В последнем члене в квадратных скобках

множитель

E(xk+2 — t) не указан,

так как

он

равен еди­

нице при

всяких t < x k+2-

Упростим представление погрешности гк(х), для чего

введем переменные

£, т,

положив x = xft+

/z£, t — xkAr hx

rk {x) = ^

^ f " (xk + hx)

( | - т ) 2£ ( £ - т ) +

0

+ Б (I - 2) (1 -

Xf Е (1 - т) - 1 Ш - 1) (2 -

т)2] dt. (9.2.23)

fk (А = 0,

1, ...)■•

СО

Фс (и) == \ / (х) cos их dx --

— “ г/о + Тг У! hk+1 COS (2& 4-1)0 +

А= 0

(9.2.24)

+ 2а2 2] hk cos 2&0 + # с

uh,

&=!

0 =

/г_1а 2 = -|-0“24 - у 6'2 cos 20 — 0~3sin 20,

Л_1у2 — 40~2 [0-1 sin 0 — cos в],

Яс =

**+2

4 2

С

J

rk(x)dx = ~

d\ jj л [ ( £ - т ) 2£ ( | - т) +

x k

0

0

'

+ £ ( | - 2 ) ( 1 - т ) 2Я ( 1 _ т) -

00

— у I d

— 1) (2 — т)2] 2

f "

(x2 k + hx) cosu(x2k-\-hl).

k= 0

(9.2.25)

Чтобы

выполнить

оценку ^ c,

необходимо предвари­

тельно ознакомиться с

некоторыми свойствами ядра двой­

ного интеграла, которое стоит

в квадратных скобках. Об­

ластью

интегрирования

яв­

ляется

квадрат 0 < £ , т ^ 2 ,

и его для наших целей удоб­

но разделить на 6 участков

прямыми линиями £ = т, т = 1,

| = 1 .

Нумерация этих

уча­

стков указана на рис. 1.

Знаки ядра на границах уча-

1

стков

легко определяются по

[/

__ ^

указанному выражению ядра,

и они также указаны на ри­

сунке. Знаки же и оценки

ядра внутри участков иссле­

У ч а с т о к

I.

дуются ниже.

0 < : т =й;

Он определяется

неравенствами

1.

Ядро,

которое мы обозначим /С (I, т) =

/С, здесь