Файл: Крылов, В. И. Методы приближенного преобразования Фурье и обращения преобразования Лапласа справочная книга.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 22.10.2024
Просмотров: 135
Скачиваний: 0
152 ИНТЕРПОЛЯЦИОННЫЕ ФОРМУЛЫ [ГЛ. 9
С другой стороны,
Kd , T ) ^ - 4 - g ( g - l ) ( 2 - T ) » ^ - 1 . 2 . 1 . 1 * = - l ,
и, следовательно, во |
всех точках участка |
|
|||
|
|
О |
т ) |
з * - 1 . |
|
У ч а с т о к |
IV. |
Для |
него l s £ 6 ^ TsS2, |
т) = |
|
= - у £ ( £ - 1 ) ( 2 - т ) » . |
|
|
|||
Очевидно, |
|
0 ^ К ( 1 , т ) ^ - 1 . |
|
||
|
|
|
|||
У ч а с т о к |
V. |
Здесь |
0 ^ | ^ 1 ^ т = < 2 , |
К (h т) = |
|
= - у Е ( Е - 1 ) ( 2 - т ) » .
Ядро имеет такое же выражение, как и для участка IV,
с тем различием, что здесь множитель |
6 — 1 |
отрицателен. |
||
Ядро К (I, т) |
будет |
неотрицательным |
и удовлетворять |
|
неравенствам |
О < К ( 6 , т ) < 1 . |
|
|
|
|
|
|
||
У ч а с т о к |
VI. |
На нем |
1, |
/С (|, т) = |
= Е ( 5 - 2 ) ( 1 - т ) » - 1 б ( 6 - 1 ) ( 2 - T ) * = g [ - 1 ( 3 - 6 ) т« +
+ 2 т - б ] .
При каждом фиксированном значении 6 графиком ядра
в плоскости К, т |
является парабола, обращенная выпук |
|||
лостью в сторону |
положительных К- |
|
|
|
На границе участка К всюду неотрицательно, так как |
||||
К{1Л) = \ ( \ - 1 ) ( 2 - т 2^ 0 |
при £ = |
т; |
||
К (0, |
т) = 0 |
при |
6 = |
0; |
К{1, |
1) = у £ (1 —£)=э=0 |
при |
т = 1 . |
|
Поэтому во всех точках участка ядро неотрицательно. Наконец, в указанном выше выражении ядра слагаемое 6(£ —2)(1 —т)2 неположительно, и, стало быть,
§ 9.2] |
АЛГЕБРАИЧЕСКОЕ ИНТЕРПОЛИРОВАНИЕ f (х ) |
153 |
Из рассмотрения ядра на всех участках следует нуж ное нам неравенство
1*(Е,
Оно дает возможность получить приводимую ниже оценку остаточного члена Rci
|
|
2 |
|
2 |
|
оо |
|
|
|
|
! Rc(“) I < |
J |
dl |
J |
dx 2 |
1Г '(*st + Лт) |
|
|
|||
|
|
|
|
|
2 |
|
оо |
|
|
|
|
|
|
= А* J |
* |
2 |
|Г(*** + Ат)|. |
|
(9.2.27) |
||
|
|
|
|
|
<f |
|
ft = |
0 |
|
|
Если обратить |
внимание на то, что |
|
|
|||||||
2 |
оо |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
§ |
£?т 2 1 Г (* « + |
Ат)! |
|
М |
| Г М ! ^ = х |
Var |
Г М , |
|||
(Г |
ft= О |
оценка |
|
|
|
П J |
п |
0:=*<оо |
||
получится |
|
|
|
|
00 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| Яс (и) | ^ |
A3 |
Var |
/" (х) = /гЧ [Г М [ dx. |
(9.2.28) |
|||||
|
|
|
|
О 5 |
д г < |
оо |
а |
|
|
|
В этой оценке интеграл может быть заменен большей величиной, получаемой следующим способом:
СО |
1 |
СО |
$ | г |
{x)\dx = h \ |
2] I Г М + М I dt =SS |
■) |
0 |
&= О |
со
^ h max 2 ] 1 Г ' М + М | , 4 = 0
что позволяет заменить (9.2.28) другой, более грубой оценкой, но более удобной, по крайней мере в некоторых случаях, для вычислений:
оо |
|
| Rc (и) I < /г4 шах У. IГ М + Щ |. |
(9.2.29) |
°=S/S 14 = 0 |
|
Для синус-преобразования Фурье сходные формулы для вычислений и оценки погрешности будут иметь такой
154 |
ИНТЕРПОЛЯЦИОННЫЕ ФОРМУЛЫ |
[ГЛ. 9 |
вид:
00
ф, (и) = 5 / (х) sin их dx =
—Р2/0+ 7 г 21 /2А+1 sin ( 2&+1) 0 + k=0
СО |
|
|
+ 2 а2 21 |
/2* sin 2£0 + #*(«), |
(9.2.30) |
Й= 1 |
|
|
/г_1Р2 = б-1 — б~3 + |
у б-2 sin 20 -f- 0~3 cos 20 |
|
(значения параметров 6, а 2, у2 указаны в равенстве (9.2.24)),
|
2 |
2 |
|
|
|
|
|
Rs (и) = |
^ dl ^ dx [(£ - т)2 Е (£ — т) + |
||||||
+ 1 (I- |
|
2) (1 - |
т)2 Е (1 - |
т) - |
\ |
т - 1) (2 - т)2 X |
|
|
|
|
|
X |
21 |
Г |
{*2к+ 1гх) sin и (x2k + hi), |
|
|
|
со |
k = 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
| /?, (И) к |
А» S |
1Г М I dx = |
/г3 Var /" (*), |
||||
|
|
|
0 |
|
|
|
0==х<ет |
|
|
|
|
|
СО |
|
|
| Rs (и) | < |
А4 |
шах |
21 IГ |
(Xk+ fit) \. |
|||
|
|
|
|
|
ft=0 |
|
|
Наконец, для комплексного преобразования Фурье аналогичные правила и оценки будут такими:
СО
Ф (ы) = $ f (х) e-iuxdx =
—СО
|
СО |
0 0 |
= 2а2 |
21 |
+ у2 21 h^ie-i(2k+1)e+ R(u), (9.2.31) |
k |
СО |
k = — 00 |
|
2 |
2 |
|
|
§ А т [ ( ! - т ) 2£ ( | - т ) + |
|
О |
о |
|
|
+ i ( i —2 ) ( i —т)2^ ( 1 —т)— |
- |
1 |
m |
у£(£~ l)(2-x)2j ^ f'" (x2k + hx)e~i (x2k +hl)ui |
||
Л — — оо
(9.2.32)
§ 9.2] |
АЛГЕБРАИЧЕСКОЕ ИНТЕРПОЛИРОВАНИЕ f ( х ) |
155 |
|
|
\ R ( u ) \ ^ h 3 |
$ |
\f"(x)\dx = h3 |
Var |
f" (x), |
|||||||
|
|
|
— - C O |
|
|
oo |
|
— c o < * < co |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
| /'" (xk+ |
hx) |. |
|
||
|
|
| # ( ц ) | < / г 4 |
шах |
V |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
O ^ T = = l f c = _ 00 |
|
|
|
|
|||
III. |
|
|
П р а в и л а , о с н о в а н н ы е |
на и н т е р п о л и |
||||||||
р о в а н и и |
т р е т ь е й |
с т е п е н и . |
Выше |
были |
рассмот |
|||||||
рены правила, в основе которых лежит линейное и квад |
||||||||||||
ратное |
интерполирование. Они являются аналогами коте- |
|||||||||||
совых |
правил трапеций |
и парабол. Но можно, |
очевидно, |
|||||||||
построить для преобразований Фурье аналоги правил |
||||||||||||
Котеса любых порядков. |
Чем выше степень точности таких |
|||||||||||
правил, |
тем |
более сложными они |
будут, и сложность их |
|||||||||
с увеличением степени быстро возрастает. Мы приведем |
||||||||||||
только правила, отвечающие интерполированию третьей |
||||||||||||
степени, |
являющиеся |
аналогами |
«правила трех |
восьмых» |
||||||||
Ньютона — Котеса. |
|
|
|
|
|
xk+s и выполним интер |
||||||
Возьмем 4 точки xk). xk+1, xk+2, |
||||||||||||
полирование / по ее значениям в этих точках: |
|
|||||||||||
f ( у\ |
(■£ |
xk+l) (х |
А/г+2) (х |
X/t-t-з) |
г |
| |
|
|
|
|||
1К 1 |
|
|
— h (— 2А) (— ЗА) |
|
1!г'Г |
, |
|
|
||||
|
|
|
(x — xk) ( x — xk+2)(x — xk+3) |
|
|
|||||||
|
|
|
'r |
h( — h) (— 2h) |
|
lb+1-r |
|
|||||
|
|
|
I (x |
xk) (x |
xk+i) (x |
|
xk+s) f |
I |
|
|||
2h - h ( - h ) /fe+2-г
i |
(x — xk){x — x*+1)(x — хш ) t |
, _ , >л |
+ |
------------ 3/г • 2/г• h------------ '*+3 + |
r3 W* |
Умножение этого |
равенства на cos их и |
интегрирова |
||
ние по |
отрезку |
[xk, xk-j- 3/г] с последующим суммирова |
||
нием по значениям k = |
0, 3, 6,... приводит к представлению |
|||
косинус-преобразования через значения /0, /1( ...: |
||||
|
СО |
|
|
|
фс (и) = |
J / (х) cos их dx = |
|
||
|
о |
оо |
|
|
|
|
|
|
|
|
= «з/о+ |
I ] (у3 cos 2>k%— б3 sin 3£8) f3k+1-f- |
||
|
со |
k = О |
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
(Уз cos 3/%0 —63 sin 3/гб) /3*_х —1— |
||
|
к= 1 |
СО |
|
|
|
|
+ 2 а3 |
/за cos 3kQ -\-Rc(w)> |
(9.2.33) |
|
|
|
ft= i |
|
156 |
ИНТЕРПОЛЯЦИОННЫЕ ФОРМУЛЫ |
[ГЛ. 9 |
оо
Я с ( и ) = - у - \ d l $ d T [ ( g - x ) » £ ( g - T ) -
0 о
2)( & - 3 ) ( 1 - т ) » Е ( 1 - т ) +
+| б ( 5 - 1 ) ( 5 - 3 ) ( 2 - т ) » Е ( 2 - т ) -
Е( Е - 1 ) ( 6 - 2 ) ( 3 - т ) » ] X
X flv (xSk+ Ат) cos и {x3k+ h\).
A = 0
Для синус- и комплексного преобразований Фурье такие представления будут следующими:
СО
<f>s (и) = \ f М sin их dx =
= Рз/о+ 2 (Ъ sin 3A0 + б3 cos 360) /зЖ +
А= 0
+2 (у3 sin 360 — 63cos 360) /3*-! +
a = i
|
|
|
+ 2tx3 2 |
/ за sin 360 + |
Rs (и), |
(9.2.34) |
||
|
|
|
A = 1 |
|
|
|
|
|
Rs (и) = |
-f- |
§ dl jj dx j(1- |
t)3'£ (l - |
t) — |
|
|||
|
|
0 |
О |
|
|
|
|
|
|
|
- | l ( 5 - 2 ) (|- 3 ) . (1 - т )» £ ( 1 - т ) - Ь |
|
|||||
|
|
+ |
| U ^ - 1) ( | - 3 ) ( 2 - t)3E ( 2 - t) - |
|
||||
1 |
|
|
|
00 |
/’v(*3A+ |
Ат)sinw(*3* + A|); |
||
- j i ( £ - l ) ( ? - 2 ) ( 3 - T ) 3 2 |
||||||||
|
CO |
|
|
J A= 0 |
CO |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
<P(“) = |
l |
f(x)e -mxdx = (y3- i 8 3) |
2 |
/3A+ie-i3*0 + |
|
|||
— |
CO |
|
|
|
k — — CO |
|
|
|
|
|
|
|
CO |
|
|
|
|
|
|
|
+ (Та + й , ) |
2 |
/ за-1<г ''3*0 + |
|
||
|
|
|
|
— 00 |
|
|
|
|
|
|
|
|
со |
|
|
|
|
|
|
|
+ 2«з |
2 |
f ^ |
me + |
R(u), |
(9.2ДБ) |
А= — со