Файл: Крылов, В. И. Методы приближенного преобразования Фурье и обращения преобразования Лапласа справочная книга.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 22.10.2024
Просмотров: 128
Скачиваний: 0
5 9.2] |
АЛГЕБРАИЧЕСКОЕ ИНТЕРПОЛИРОВАНИЕ ( ( х ) |
157 |
|
R(u) = ^ |
3 |
3 |
|
^ |
|
|
|
оо
-у 6 ( Е - 2 ) ( 6 - 3 ) ( 1 - т ) » £ ( 1 - т ) 4 -
+ ^ Е ( ! - 1 ) Й - 3 ) ( 2 - т ) » £ ( 2 - т ) -
СО
- ^ |
( | - 1 |
) ( | - 2 ) ( 3 |
- т ) 3] |
^ |
/ 'v (Jf*+ Ат) |
+ *«)“. |
||
|
|
|
|
k — — оо |
|
|
||
В |
равенствах |
(9.2.33 — 35) |
коэффициенты |
а 3, рз, |
у3, б3 |
|||
имеют значения: |
|
|
|
|
|
|||
|
0 = |
uh, |
|
|
|
|
|
|
к ' а в = |
~ 0~2 - 0-4 + (б^4 - |
^ |
е' 2) cos 39 + |
9~3 sin 30» |
||||
hrxp8 = |
0-1 - |
20~3 + |
(_0-4 - j |
|
sin 30 - 0-3 cos 30, |
|
||
Л-^уз = |
30-4 - |
30-2 + |
3 ( у 0'2 - |
0“4) cos 30 - |
40~3 sin 30, |
|||
hr43= |
50~3+ |
3 ( j 0-2 - 0-4) sin 30 + 40-3 cos 30. |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
(9.2.36) |
|
|
Выше были приведены вычислительные формулы, |
полу |
||||||
ченные с помощью интерполирования функции / по значе ниям, которые она принимает в узлах xk. Можно пытаться увеличить точность вычислений, привлекая к интерполи рованию не только значения функции /, но также значения ее производных до некоторого порядка. Интерполирование в этому случае будет с «кратными узлами» или эрмитовского типа. В общем виде оно имеет сложную форму, и для простоты записи остановимся только на случае двой ных узлов, когда интерполирование выполняется по зна чениям / и первой производной Будем, как и раньше, считать узлы равноотстоящими: xk= kh (k = 0, 1, ... ; й > 0). Возьмем п -\-1 узлов xk, лг*+1, ... , хк+п и построим много
член P3n+i(x) |
степени |
2/г + |
1 > удовлетворяющий условиям |
Р w+1 ( X k + |
i ) = |
f k + |
j , |
Ptn + i (х к + j) = fk-j-i |
0 = 0 , 1, |
n). |
158 |
ИНТЕРПОЛЯЦИОННЫЕ ФОРМУЛЫ |
[ГЛ, 9 |
Явное выражение такого многочлена хорошо известно в теории интерполирования *), и на его получении мы не будем останавливаться. Соответствующее представление функции / будет следующим:
П
|
|
П |
W + гпк{ ) (х), |
|
|
|
= |
2 |
(9.2.37) |
||
<в(х) = |
(х -х » ) ( * - * * +1) |
(* -**+ „). |
|
|
|
Если обе части равенства (9.2.37) |
множить |
на |
cos их, |
||
проинтегрировать |
по отрезку |
[kh, |
{k + л) h\ и |
результаты |
|
суммировать по значениям к, кратным п (k — 0,n, |
2п, ...), |
||||
получится представление косинус-преобразования Фурье через значения fk и f% вида
00
фс («) = 2 [<4 (и) fk + а* (и) fk]+ Rc (и). (9.2.38)
Коэффициенты ah (и) и а* (и) могут быть выражены через ядро преобразования cos их и коэффициенты Я <*>(х) интер
полирования, остаточный же член Rc(u) представления выражается через cos их и погрешности л<*> (х) на всех
отрезках интерполирования [jn, (j+l)n] (/ = 0, 1, ...). Изложенные общие соображения приведены, чтобы выяс нить идеи, на основании которых строятся вычислительные формулы вида (9.2.38). Для вычислений же большее зна
чение имеют частные случаи таких |
формул, |
отвечающие |
||||
нескольким первым значениям п. |
|
|
|
|||
IV. |
С л у ч а й и н т е р п о л и р о в а н и я |
т р е т ь е й с т е |
||||
п е н и |
с д в у м я |
д в у к р а т н ы м и |
у з л а м и . |
Возьмем |
||
отрезок |
[kh, \k-\-\)h] и |
интерполируем на нем / |
по зна |
|||
чениям |
fk, fk+1, fk, |
fUi |
с помощью |
многочлена |
третьей |
|
*) См., например, И. |
С. Б е р е з и н |
и Н. П. |
Ж и д к о в , Методы |
вычислений, изд. 2-е, т. I, |
гл. 2, § 11, п. |
1, М., |
«Наука», 1936 |
§ 9.2] |
АЛГЕБРАИЧЕСКОЕ ИНТЕРПОЛИРОВАНИЕ f (X ) |
1S9 |
|
степени: |
|
|
|
|
Л2 |
|
|
|
+Т^[(! ~ 2 '' h |
1 + |
|
|
+ ( x - x k+l)fk+i] + rk(x). |
(9.2.39) |
|
Для получения нужного выражения погрешности rk(x) можно воспользоваться, как и выше, формулой Тейлора
/ (х) — fk + (х — xk) fk+ ~2 (Х ~ Xk)2 fk +
|
|
X |
+ i (X - |
xkf / г + -g- |
J Г (t) (X - t f = |
|
*A+i |
|
= |
Л ,( * ) + 4 |
5 / IV (0 {x — t)9 E { x — t)dt . |
Так как многочлен Ръ(х) интерполируется точно, погреш ности интерполирования / и интегрального члена правой части равенства совпадают. Последнее же приводит нахож дение остатка для / к нахождению остатка для функции
(x—t f E (x — t): kjri
Ы * )= 4 |
$ г { t ) [ ( x - t f E { x - t ) ; |
|||
|
(*—xkf \ |
■2i=f±-M (*ft+1- 0 8 + |
||
|
|
h2 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ 3 ( x - x * +1)(xft+1- ^ ) 2 }cW. |
Для упрощения записи |
положим x = xft4-/z£, t==xk -\-hx |
|||
(OsSg, т ^ 1 ) |
и получим |
|
|
|
|
i |
|
|
|
Ги (*) = £ § |
/ IV {Xk+ Ат) {(5 - |
г)3 £ (S - т) - |
||
- [ ( 3 |
— 26) (1 - Т)3 + |
3 а - 1) (1 - Т)2]} Л = |
||
|
|
1 |
|
|
|
= ? |
$ / lv f e + |
AT){(g-T)3£ ( i - T ) + |
|
+ 12( 1 - т)2[ ( 3 - 2 ^ ) т - ^ } .
160 |
ИНТЕРПОЛЯЦИОННЫЕ ФОРМУЛЫ |
[ГЛ. 9 |
||
|
|
|
|
|
Умножая |
(9.2.39) на |
cos их, |
интегрируя по |
отрезку |
[kh, (k+ l )h] |
и суммируя |
результаты по k = 0, 1, 2, . ., |
||
построим представление срс (и), из |
которого путем |
отбра |
||
сывания остаточного члена получается вычислительное |
||||||
правило для нахождения срс (и) по значениям fk и /*: |
||||||
Фс (и) = J / {х) cos их dx = a\f0 — y'j'o + 2а[ ^ fk cos Ш — |
||||||
|
|
|
|
|
k—i |
|
|
|
|
|
■26; |
2 f'ksmkQ + Rc(u), |
(9.2.40) |
где |
|
|
|
|
k= \ |
|
|
= uh, |
|
|
|
||
0 |
|
|
|
|
||
Игга[ = |
120“4(1 — cos 6) — 60~3sin0, |
(9.2.41) |
||||
hr*y[ = |
6'2- |
|
- |
|||
68-4+ 20-3 sin 8+ 68~4 cos 0> |
|
|||||
hr26J = 48-3 - |
60-4 sin 8+ 28-3 cos 8. |
|
||||
В представлении Rc{u) переменная x заменена на кано |
||||||
ническую переменную l = hr1(x — xk), x = xk-{-h^: |
|
|||||
i |
i |
|
|
|
|
|
Rc (и) = 4 |
$ {(£ - |
Т)3 Е( i - |
т) - И 2 (1 - т)2 [ ( 3 - 2 6 ) т- g ] } х |
|||
о; |
О |
|
|
|
|
|
|
|
со |
/ IV (xk+ hx)cos и (xk+ hl) dxdl. |
|
||
|
X 2 |
(9.2.42) |
||||
|
|
4 = 0 |
|
|
|
|
Для оценки Rc выясним сначала некоторые свойства ядра двойного интеграла, которое стоит в фигурных скобках.
Обозначим |
его К (£, т): |
|
|
к<р > = I |
(6 -T )8 + £ i(1 -T )J[(3 _ 2 5 )T ” |
51* ° < т < ^ < 1> |
|
\ |
Е2 (i — т)2 [(3 — 2|) т — 6], |
0 < 6< |
т < 1. |
Заметим сначала, что предельные значения ядра на |
|||
границе квадрата интегрирования [0 ^ |
| , т < ; 1] |
равны |
|
нулю (рис. 2). Это сразу же следует из приведенных выра жений ядра. Отметим также, что на диагонали ОБ квадрата ядро имеет положительные значения:
К (&, £) = 2 [ |( 1-|)]3> 0 |
(0 < 6 < 1). |