Файл: Крылов, В. И. Методы приближенного преобразования Фурье и обращения преобразования Лапласа справочная книга.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 22.10.2024

Просмотров: 129

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

§ 9.2] АЛГЕБРАИЧЕСКОЕ ИНТЕРПОЛИРОВАНИЕ f ( х ) 161

Знак ядра в треугольнике ОВС, лежащем выше диаго­

нали

ОВ,

определяется

знаком билинейного

многочлена

(3 — 21) х —£.

При любом

фиксированном

£ ( 0 - < £ < 1 )

при

росте

т

от

£ до 1 мно­

 

гочлен

возрастает,

начиная

 

от

значения

(3 — 2£) £—£ =

 

= 2 £ ( 1 - |) > 0 д о З ( 1 - £ ) > 0 .

 

Поэтому

 

ядро

К (5,

т) 2э= О

 

при £ «£ т

1, 0

£ с

1. Кро­

 

ме того,

обычными средствами

 

анализа

доказывается,

что

в

 

Д

ОВС ядро достигает своего

 

наибольшего значения в сре­

 

дине

диагонали

О (1/ 2,

1/ 2),

 

при

этом

 

 

 

 

 

 

 

 

шах

1 К (£,

т) =

 

 

 

 

В треугольнике ОАВ, лежащем ниже диагонали ОВ,

ядро есть многочлен от т третьей степени:

(I-т)3+£2(1-- т)2[(3—2£)т—£] ==(1- £)2т2[3£-(1+2Е)

Знак его определяется выражением, находящимся в квад­

ратных

скобках. Так как £ s g l

и tsS I, т о

 

 

 

 

 

3 £ - ( 1 + 2£ )т = г 2£ - 2£2; > 0.

 

Поэтому в

области

0 «с т

1 ядро

неотрицательно.

 

Обычными способами разыскания экстремумов функции

в

замкнутых

областях показывается, что

ядро достигает

своего

наибольшего

значения в точке D ( 1/2, 1/2) и

 

 

 

 

шах

K(i, т) =

k (t . t ) = s -

 

 

Наконец,

легко вычисляется двойной интеграл от ядра:

1

1

 

 

 

 

[(3-2g) т - g ] } =

 

j dl j dT { (| -T )2 E (g - т ) + Е» (1 - T f

 

= $

 

(£ -т )3+ £ 2 § (1 -T )» [(3 - 2 E )T -E ]d i|= i.

(9.2.43)

 

0

l

0

 

0

 

)

 

 

Указанные выше свойства ядра позволяют получить

оценки

 

Rc (и), сходные с теми, которые

были

найдены

6 В . И . К р ы л о в , Н , С , С к о б л я

162 ИНТЕРПОЛЯЦИОННЫЕ ФОРМУЛЫ ЦЛ. 9

в случае интерполирования по значениям функции. Если

в представлении

(9.2.42) для Rc(u) заменить

ядро и

| cos и (xk-f hi) | превосходящими величинами 1/32

и 1 соот­

ветственно, то получим

оценку

 

1

1

СО

 

О

0

2 \ f W{Xk+hT)\=

 

£ = 0

 

со

 

 

 

= Щ

1 Г М 1

(9.2.44)

Если же в интеграле заменить все слагаемые беско­ нечной суммы их абсолютными значениями, заменить | cos и (хк+ hi,) ! единицей и затем, пользуясь положитель­ ностью ядра, применить к интегралу теорему о среднем взвешенном значении, найдем неравенство

СО

k =0

1

1

 

 

 

 

 

 

X J dg J dx {(& -

г)3E (l - т) +

(1 — г)* [(3 -

2g) т -

l] } =

0

0

 

 

 

 

 

 

 

oo

 

 

 

 

 

 

2

l/IV(** + AG)|,

0 « X

1 .

(9.2.45)

 

A= 0

 

 

 

 

 

Аналогичные рассуждения

для

синус-

и комплексного

преобразований

Фурье дадут

следующие

их выражения

через значения fk и Д:

 

 

 

 

 

Ф Л «)=$ f(x) sinuxdx = Pi/ 0+ 6;;/6+ 2a;

2

/*sin £0 +

 

 

 

 

k

=

\

 

 

 

+ 26/ 2

Д cos Ш+

Rs («),

(9.2.46)

 

 

k= l

 

 

 

 

Rs(u)=~ § dl j d x { { l - T f E ( l - T ) +

ои

- K 2 ( 1 - t )2 [ ( 3 - 2 £ ) t - | ] } X

CO

x 2 ] f(xk+ hx) sin u(xk + hl)

( 9 . 2 . 4 7 )

k—O

 

§ 9,2!

А Л Г Е Б Р А И Ч Е С К О Е И Н Т Е Р П О Л И Р О В А Н И Е f (*)

163

00

 

 

| Р ( * *

+

А О )|,

0 < «

< 1

,

 

о о

£ = 0

о о

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ф (« )=

5 f(x)e~iuxdx = 2a[

%

fke~ikQ-

 

 

 

 

— со

k — — со

 

 

 

 

 

 

00

 

 

 

 

 

 

— 2*6;

2

/fc -“ 0+

/?(«).

(9.2.48)

 

 

& =

— оо

 

 

 

Значения <х[, у[, SJ, 9 указаны в равенствах

(9.2.41),

кроме

того,

 

 

 

 

 

 

 

/ г хР( =

69*3 cos 6 - 129"1 sin 6 + 6~3 (6 +

02),

 

11

Я(и) = ^ dg ^ d%{ ( l - x ) 3 Е (ё — т) +

Оо

+ ё2 (1 — Т)2 [(3 — 2ё) т — ё] 2 f(Xk+ hT)e-ia(xk+ hl)},

 

 

 

к = — со

(9.2.49)

 

 

 

 

\R(U)\- h*

СО

\tlvf^(x)\dxх)\йх = йъ

 

\

Var f " '( x ) ,

 

192

 

^-2

 

* J

— -COсо< <Xх< <COсо

 

h>

2

|P(**+Ad)|,

OcOd.

|^(«)!<~

 

 

& = — CO

 

V.

П р а в и л о в ы ч и с л е н и я , о с н о в а н н о е на

и н т е р п о л и р о в а н и и ф у н к ц и и с т р е м я д в у ­

к р а т н ы м и

у з л а м и .

Возьмем точки хк, хк+1, хк+2 и

интерполируем / по значениям fk, fL fk+и Д +ii

fk+2>Д+г:

V ______ ю* W

 

х

 

 

X

1

~ 7 7

~ Т ---------~ . Г ( * - * * + / )

/fe+y +

 

 

 

 

(**+у)

 

 

 

 

 

+

(* — xk+f)fk+j^j-\-rk (*)>

(9.2.50)

Щ (x) =

( x -

xk) (x - x * +1) (x -

xk +2).

 

6»

164

ИНТЕРПОЛЯЦИОННЫЕ ФОРМУЛЫ

[ГЛ. 9

Для изучения погрешности интерполирования отка­ жемся от интегрального ее представления, которое при­ меняли в предыдущих случаях, ввиду его относительной сложности, и воспользуемся известным выражением rk {х) в форме Лагранжа:

(х) = ^ Г Ч х * + Ш

О-

; 2, (9.2.51)

Оно быстрее приведет нас к цели,

но даст

несколько

более грубую оценку, так как точное значение 'в* не известно.

Если умножить (9.2.50) почленно на cos их, интегри­ ровать по отрезку [хи, хА+2] и суммировать затем резуль­

таты по четным значениям k

(£ = 0, 2, 4, ...), получится

следующее выражение для <рс (и):

 

 

СО

 

 

 

с о

 

 

фс ( « ) = $ / (*) cos их dx =

а 2/0+

у;

/г*+1 cos (2k -f 1) 0+

0

 

 

 

A = 0

 

со

 

 

 

со

 

 

+ 2«I г 2

hk COS 2kB -

62f'0— Tia

2 ]

/«+1 sin (2A+

1) 0 -

k= 1

 

CO

 

A= o

 

 

 

 

 

 

 

 

- 2Й ^

й * sin 2^0+ Де (и).

(9.2.52)

 

 

A=1

 

 

 

 

Значения

коэффициентов a 2,

y2,

• • ■ приведены в конце

параграфа, и

 

 

 

 

 

2

 

 

оо

 

 

 

Rc (и) =

£■ (g - I)2 (6 -

2)^ 2

Г

(** + ^**А) X

 

о

 

£ = 0

 

 

х cos ы (л:2А+ /г|) d\. (9.2.53)

Отсюда вытекает следующая равномерная относительно и оценка Rc(u)i

I Rc (и) | =

л

СО

 

U a( ! - 1)#(E-

2)Ч % У шах \Г '( хл+ Щ \ =

00

 

 

1

|/Vl(*ft+ M )|.

(9.2.54)

*.“ л0<тХ2

 

А~ О

 

§ 9.21 АЛГЕБРАИЧЕСКОЕ ИНТЕРПОЛИРОВАНИЕ f (х ) 165

Для синус-преобразования Фурье сходное правило вычислений и его погрешность будут следующими:

 

со

 

 

 

 

 

 

 

со

 

 

Ф* ( « ) = $ / (х) sin их dx =

Рг/о +

Та 2

hk+i sin {2k +

1)6 +

 

О

 

 

 

 

 

 

 

=0

 

 

 

 

оо

/г* sin 2Ш+

 

 

 

 

оо

 

 

+ 2ос3

 

й/о +

Лз

2

/2*+1 cos (2£ +

1)6 +

 

ft = 1

 

 

 

 

 

ft=о

 

 

 

 

 

 

+ 2Й I ;

 

f[k cos 2Ш+

/г, (и),

(9.2.55)

 

 

2

 

 

a= i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ЯЛи) =

|

О

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

оо

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

х

^

/VI (*2ft+

A^aft) Sin и (x2k+ hi)dl,

(9.2.56)

 

 

к=0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

| # ,( « ) ! < g ig А*

У

 

max

| / V1 (x2k + h$) \

 

 

 

 

 

аади

Ad o<#<3

 

 

 

 

 

 

 

ft= о

 

 

 

 

 

 

Для комплексного преобразования Фурье аналогичные

правило и оценка имеют вид

 

 

 

 

 

 

 

ОО

 

 

 

 

 

оо

 

 

 

 

 

Ф(И)= $

f{x)e-laxdx = 2а'% 2

 

hke~i2kQjr

 

 

— СО

СО

 

k=

—

00

 

0 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+

Y-;

I ]

hk+i^ ‘ (2Н1)0 — 2Да

2

/ ^ * е -

 

 

 

& = — СО

00

 

 

 

 

6 = — 00

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

Г*ше-,(2М)в + *(« ),

(9.2.57)

 

 

2

 

k =

— СО

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Д(«) =

§

5 Е»(£— i)» ^ —2)а X

 

 

 

 

 

 

 

О

оо

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

X

2

/VI(^ft +

^2ft)e~f“ (x2ft + ftl ) ^ )

(9.2.58)

 

 

 

k=3 —00

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0 0

 

 

 

 

 

 

 

 

] #(И ) |SS g^Q A’

^

 

 

 

 

l/V I(^ft + ^ )| .

 

 

 

 

ft= —oo°^

" '1

 

 

Смотрите также файлы