Файл: Итенберг, С. И. Линейная алгебра и аналитическая геометрия на плоскости. Введение в анализ учеб. пособие.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 23.10.2024
Просмотров: 71
Скачиваний: 0
(определителем п-го порядка) называется число, равное сумме произ ведений элементов первой строки матрицы на их алгебраические дополнения и обозначаемое символом
|
|
|
|
|
|
42 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. . . |
а 2п |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ап1 ап2 |
• • • |
ап |
|
|
|
Таким |
образом, по определению, |
|
|
|
|
||||||
а11 |
а12 |
• |
• |
• |
а1п |
|
|
|
|
|
|
а21 |
а22 |
• |
• |
• |
а2п |
І і И п + |
Cl12Alt |
+ |
+ а1пА1п. |
(1.29) |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
а„Л а„ . . . а„
Как видно, определитель матрицы я-го порядка определяется через п определителей п—1 порядка, каждый из них определяется через я—1 определитель я—2 порядка и т. д. Доводя это разложе ние до определителей 2-го порядка и вычисляя их, получим, что определитель я-го порядка представляет собой алгебраическую сумму я (я—1) . . . 2-1 = я! слагаемых. Каждое слагаемое, взя тое с определенным знаком, является произведением я элементов матрицы по одному элементу из каждой строки и каждого столбца.
В курсах высшей алгебры это представление определителя я-го порядка обычно и принимается за его определение.
1.5.ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ
Вычисление определителей высших порядков, исходя непосредст венно из определения, представляет весьма трудоемкую работу. Так, при вычислении, например, определители 5-го порядка тре
буется |
вычислить 5! = |
120 произведений из пяти чисел и |
сложить |
их, а |
при вычислении |
определителя 10-го порядка 10! = |
3 628 800 |
произведений из 10 чисел и тоже найти их сумму. |
|
||
В связи с этим, при вычислении определителей высших |
порядков |
||
широко используются их свойства. Оказывается, что определители всех порядков обладают рядом общих свойств.
Так как для доказательства этих свойств в общем случае опре делителей я-го порядка требуются некоторые дополнительные све дения, не входящие в программу курса высшей математики для втуза, мы ограничимся доказательством их для определителей 3-го порядка.*
* Желающие могут ознакомиться с полной теорией определителей по любому курсу высшей алгебры, например, по книге. А. Г. Куроша «Курс высшей алгебры».
16
1. Определитель матрицы равен сумме произведений элементов любой строки или любого столбца на их алгебраические дополнения.
Так, для определителя 3-го порядка
|
D |
а11 |
а 12 аіз |
|
|
|
|
ß-21 ^22 ^23 |
|
|
|||
|
|
tZq, |
Clot) |
ûoo |
|
|
имеют место 6 равенств |
|
|
|
|
|
|
D |
=--• |
û 12^4 12 |
f- |
а13А1Я, |
|
|
D =- û 21^21 |
û 2 2-"4 2 2 ~О-гз^ 23і |
|
||||
D |
= û 31^31 H a 3 2^3 2 "T а33А33, |
(1.30) |
||||
D |
= |
а 2 іЛ 21 |
|
а31А31, |
|
|
D = a 12^ 12 |
а22^4 22 |
Г |
Û32^32> |
|
||
D = а 13^ 13 |
a23A 23 |
|
а з з ^ з з - |
|
||
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
Первое из |
указанных |
равенств до |
|||
казывать не надо, так как оно представляет собой определение оп ределителя 3-го порядка. Справедливость остальных пяти равенств легко устанавливается единообразно, если воспользоваться фор мулой (1.25).
Докажем, например, третье равенство. Группируя в формуле (1.25) члены, содержащие элементы а31, а32, а33, получим
D = а31 ( а 1 2 а 2 3 — а22а13) + а 3 2 (а2і<2із — а23а1х) + а 3 3 (а1га22 —
Но
а 12^23 |
Ö 2 2 a l 3 |
= |
u 2 1 ß 1 3 |
ß 2 3 ß l l |
= |
ö l l ä 2 8 |
ß 2 1 a l 2 |
= |
^31>
^ 3 2 '
^33>
следовательно,
|
|
D = а з і ^ з і ~г |
a32A32 |
^33^3 3 |
|
|
|
|
||||
З а м е ч а н и е . |
Свойство |
1 иногда называют |
теоремой |
разло |
||||||||
жения, |
а равенства |
вида |
(1.30) — формулами |
разложения |
опреде |
|||||||
лителя |
по элементам |
соответствующей строки |
или столбца. |
|
|
|||||||
2. Сумма |
произведений |
алгебраических |
дополнений |
элементов |
||||||||
какой-либо строки или |
какого-либо столбца |
матрицы |
на |
любые |
||||||||
числа соответственно |
qlt |
q2, q3 |
. . . равна |
определителю |
матрицы, |
|||||||
получающейся |
из данной |
|
заменой рассматриваемых |
элементов |
со |
|||||||
ответственно |
на числа |
qu |
q2, |
q3 . . . |
|
|
Г ее . публичная |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
научно - тэх;-4и і« х.гя - |
|||
2 Заказ № 146 |
|
|
|
|
|
|
|
библиотека |
С Ш с Р |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Э К З Е М П Л Я Р |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ЧИТАЛЬНОГО З А Л А і |
|||
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
|
Рассмотрим, |
например, |
алгебраи |
||||||||||||
ческие дополнения Л 2 |
1 , А 2 2 |
и Л2 3 |
элементов второй строки матрицы |
|||||||||||||
3-го |
порядка |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
alx |
|
а12 |
а |
і з |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Û21 ^22 ^23 |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
^31 |
^3 2 |
^33 |
|
|
|
|
|
|
||
и покажем, |
что при |
любых |
qlt |
|
q2, |
|
q3 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а1Х |
а 1 2 |
ахз |
|
(1.31) |
|
|
|
|
|
|
92-^22 ~f~ |
Чз^23 |
|
<7і |
Чг |
Чз |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а 31 |
а 3 2 |
азз |
|
|
|
Разлагая определитель, стоящий в правой части равенства (1.31) |
||||||||||||||||
по элементам второй |
строки, получим |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
i l |
а19 |
а. |
~Чі (аі2азз |
|
а 32а із) |
~г Чч ( а и а з з |
а з і а і з ) |
|
||||||||
Чі |
Чі |
Чз |
|
|
||||||||||||
а31 |
as |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ИЗ (а 11а 32 |
а 3 і а і г ) |
— |
<71-^21 ~Ь ^2^22 |
+ |
9з^23- |
|
|||||||
З а м е ч а н и е . |
Свойство |
|
2 |
|
иногда |
называют |
теоремой |
|||||||||
замещения. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
3. |
Определитель |
матрицы, |
получающейся |
из данной перестанов |
||||||||||||
кой каждой |
строки |
на место столбца |
с тем |
же номером, |
равен |
оп |
||||||||||
ределителю |
|
исходной |
матрицы. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Для определителя |
третьего |
порядка |
это свойство |
означает, |
что |
|||||||||||
|
|
|
|
а-і 1 ах% |
"13 |
I |
a |
ll^l- i "21i ^2i"31^з |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
12 |
|
a 9 |
а у су |
a? |
|
|
(1.32) |
||||
|
|
|
|
|
*22 |
^23 |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
'12 |
"22 |
432 |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
0-32 ß33 |
|
а13 |
°23 a33 |
|
|
|
|
||||
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
|
Разложим определители, |
стоящие |
|||||||||||||
в левой и правой частях равенства (1.32), например, по элементам второй строки и второго столбца соответственно.
Для левого |
определителя |
будем иметь |
|
|||
" и Ö12 а |
|
|
|
|
||
«21 а22 |
а |
а 21 (^іг^ЗЗ |
й 32а із) |
~Ь а 22 ( û li a 33 |
а 310 1з) |
|
«31 а32 |
а |
|
|
|
|
|
|
|
|
— й2 з ( а іі а 32 |
й з і а і г ) ) |
|
|
а для |
правого |
|
|
|
|
|
I " и Û21 азі |
= —а 2 1 ( а 1 2 а 3 3 |
— Яіза зг) + а 22 ( а и а з з — а і з а з і ) |
||||
&12 |
^22 |
^32 |
||||
ûl3 |
^23 |
а 33 |
а23 (а11й32 |
#12а 3і)' |
|
|
|
|
|
|
|||
18
Из сравнения правых частей двух последних равенств видно, что
определители равны. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
4. Определитель |
матрицы, |
получающейся |
из данной |
перестанов |
||||||||||
кой двух строк |
(столбцов), |
равен определителю |
исходной |
матрицы, |
||||||||||
взятому |
с противоположным |
знаком. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Доказательство. Пусть, например, в матрице третьего порядка |
||||||||||||||
переставлены |
первая |
и третья |
строки. Покажем, |
что |
|
|
||||||||
|
|
|
|
О Н |
« 1 2 |
« 1 3 |
= |
«31 |
«32 |
« 3 3 |
|
(1.33) |
||
|
|
|
|
« 2 1 |
« 2 2 |
« 2 3 |
« 2 1 |
« 2 2 |
« 2 3 |
|
||||
|
|
|
|
«31 |
« 3 2 |
« 3 3 |
|
« 1 1 |
Û12 |
« 1 3 |
|
|
|
|
Разлагая определитель, стоящий в левой части равенства (1.33) |
||||||||||||||
по элементам |
первой |
строки, |
получим |
Й П Л п |
+ |
а12А12 |
+ « і з ^ і з |
|||||||
Разлагая же определитель, стоящий в правой части равенства, |
по |
|||||||||||||
элементам |
третьей |
строки, |
получим |
|
|
|
|
|
|
|
||||
« 3 1 |
« 3 2 |
« 3 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
« 2 1 |
« 2 2 |
« 2 3 |
— « 1 1 |
( « 3 2 « 2 3 |
« 2 2 « 3 з ) |
« 1 2 |
( « 3 1 « 2 3 |
« 2 1«3з) |
|
|||||
« 1 1 |
« 1 2 |
«! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ als |
(а31а22 |
— а21а32) |
= |
аХ1 |
( - Л п |
) — а12А12 |
|
+ а13 |
(— А13) |
= |
||||
|
|
|
= — ( « і И і і + « 1 2 ^ 1 2 + |
|
а13А13), |
|
|
|||||||
т.е. то же выражение, но с противоположным знаком.
5.Определитель матрицы, имеющей две одинаковые строки
(столбца), равен нулю.
Д о к а з а т е л ь с т в о . Пусть D — определитель матрицы, имеющей две одинаковые строки. Если эти строки переставить, то очевидно, что матрица не изменится, и следовательно, ее опреде»
литель будет равен D. С другой |
стороны, |
по свойству 4 |
определи |
||||||||
тель |
полученной матрицы |
должен |
быть |
р а в е н — D . Имеем D |
= |
||||||
-= — D, откуда D = |
0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6. |
Определитель матрицы, |
получающейся |
из данной |
умноже |
|||||||
нием |
всех элементов |
какой-нибудь |
|
строки |
(столбца) |
на |
одно и |
то |
|||
же число, равен произведению |
определителя исходной |
матрицы |
на |
||||||||
это |
число. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
|
Умножим, |
например, |
все |
элементы |
||||||
второй строки матрицы третьего порядка |
на |
число |
k и |
покажем, |
|||||||
что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
« 1 1 |
« 1 2 |
« 1 3 |
|
« i l « 1 2 « 1 3 |
|
|
|
|||
|
&«21 |
ka22 |
ka23 |
|
= |
k Ö21 |
« 2 2 |
« 2 3 |
|
(1.34) |
|
|
Û31 |
« 3 2 |
« 3 3 |
|
« 3 1 |
« 3 2 |
« 3 3 |
|
|
|
|
2* |
19 |