Файл: Итенберг, С. И. Линейная алгебра и аналитическая геометрия на плоскости. Введение в анализ учеб. пособие.pdf

бесконечно мала

при

x - »

1,

а

обратная

ей

функция

бесконечно велика при

к - >

1. Далее, Jim \2х2

+

1) =

3. Отсюда

следует

(§ 5.14, теорема

4), что

um

2х2+

1

lim

(2х2

+

1) -

* - і

х

-

1

x..i

4

+ 4

lim

I —

+ 4

6)

lim

—

Л:

=• О

lim

(л; +

2)

х - оо

X -f- 2

(см.

§

5.14,

теоремы

2

и

3);

lim

1

-

7)

lim

2

+Л:2

lim

—

Х--00

\

X2

х*-оо

2

_2

JT-0O \ #2

8)

lim

х 2

-f- X

lim

-

x 4

— 3

x->oo

1 + -

9)

lim

lim

*-co

1 — X2

Первые

три примера

показывают,

что для

вычисления

предела

/ (х) при

X -* а

тесно

связано

понятие

н е п р е р ы в н о с т и

функции

в точке

а.

Как было отмечено,

числовое

значение

предела lim / (х), как и

х->а

Определение. Функция

f

(х) называется

непрерывной

в

точке

x — а, если предел

функции

f (х) при

х - - а равен

значению

функ­

ции в этой точке, т. е. если

1 і т / ( х ) ^ / ( а ) .

(6.1)

Ha

графике

функции

у — f (х)

(рис. 79) равенство (6.1) означает,

что если x стремится к а,

пробегая

произвольную

последовательность

значений (или, как говорят,

по лю­

бому закону),

то

соответствующая

ордината f (х) всегда

стремится

к ор­

динате

/ (а);

это

возможно

лишь

в том случае, если

график

функции

при х =

а

не претерпевает

нарушения сплошности

(не разрывается).

Пусть

функция у =

f (х) определена

в

некоторой

окрестности

точ"ки а,

которую

назовем

н а ч а л ь н ы м

з н а ч е н и е м а р ­

г у м е н т а .

Соответствующее

значение

функции

Уа =

f (а)

(6.2)

называется

н а ч а л ь н ы м . з н а ­

ч е н и е м

ф у н к ц и и .

В

упо­

мянутой окрестности точки а возь­

мем какую-нибудь точку х. Раз­

ность

x—а,

которую

обозначим

х=а+&х

Ах,

будем

называть

п р и р а ­

щ е н и е м

а р г у м е н т а

Рис. 80

(х =

а + Дх).

Новому

значению

x — а +

Ах

аргумента

будет

соответствовать новое значение

Уа +

Ау функции,

так что

ya +

Ay = f(x) = f{a +

Ax).

(6.3)

Величина

Ау

называется

п р и р а щ е н и е м

ф у н к ц и и .

Вычитая

почленно из формулы (6.3) формулу (6.2),

получим

Ay =

f(a<+Ax)-f(a).

(6.4)

x->a

x->a

Положим

x =

a + Ах (Ах

> 0

при

x -> a);

тогда

последняя

формула

примет вид lim [/ (a + Ах) — f (а) ] — 0, что в силу

(6.4)

Ах-' 0

можно

переписать так:

1 і т Д г / - 0 .

(6.5)

А * . 0

Проводя рассуждения в обратном направлении, легко

показать

что из условия (6.5) следует

условие (6.1). Таким

образом, условия

(6.5)

и

(6.1)

эквивалентны,

и мы

приходим к следующему

определе­

нию,

эквивалентному

определе­

нию, данному в предыдущем па­

раграфе.

Определение.

Функция

/ (х)

называется

непрерывной

в

точке

x — а,

если

в этой

точке

прира­

щение

функции

стремится

к

нулю

как

только

стремится

к

нулю

Р н с -

81

приращение

аргумента.

Важное свойство

непрерывных

функций,

которое

неоднократно

используется

в

дальнейшем,

дает

следующая

теорема.

Теорема.

Если

функция

f (х)"

непрерывна

и отлична

от

нуля

в точке а, то в достаточно

малой

окрестности

этой

точки

f (х)

отлична

от нуля

и

имеет

знак,

совпадающий

со знаком

f (a).

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Из

непрерывности

f (х)

в

точке

а

следует,

что

lim / (х) =

/ (а). Это

значит, что для

любого

е >

0

х^а

существует такое ô > 0, что из неравенства

| х — а | <

ô

следует

неравенство | / (х) — f (а) \ <

е, или, что то же самое, из неравенства

а — ô < x < a

+

ô

следует

неравенство

f(a)-e<f(x)<f{a)

+ e.

(6.6)

Пусть / (а) >

0.

Примем

е =

-^-f(a).

Тогда для

соответствую­

щего интервала

(а — ô ,

а +

о )

из неравенства

(6.6) будет вытекать,

что

а это и требовалось

доказать.

Случай f (а) < 0

сводится

к рассмотренному заменой / (х) на

— / (х). Доказанная

теорема геометрически очевидна (рис. 81).

6.3. СВОЙСТВА ФУНКЦИЙ, НЕПРЕРЫВНЫХ В ТОЧКЕ

Теорема 1.

Если

функции

f (х)

и <р (х)

непрерывны в точке а,

f (х)

то функции

f (х) ±

ф (х),

f (х)-ц>

(х) и ^-^- тоже

будут

непре-

ц>(х)

рывны

в этой

точке.

При

этом последняя

функция

будет

непре­

рывна

при условии ф (а) -ф 0.

Коротко: алгебраическая

сумма, произведение и

частное

двух

непрерывно, если только делитель

не обращается в нуль.

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Так

как / (л:) и ф (х) непрерывны

в точке а, то

l i m / (х) ~f

(a), lim ф (л:) = ф (а),

х-га

х-* а

1- / М

/(«)

* - а ф ( х )

ф (а)

Теорема 2.

Пусть

имеется

функция

у =

f (и),

где и =

ф (х).

Если функции

ф \х) и f (и)

непрерывны

в соответствующих

точках

а и b = ф (а),

то сложная

функция

f

[ф (х) ] непрерывна

в точке а.

Теорема 3.

Если

функция

у =

/ (х)

возрастает

[или

убывает]

и непрерывна

в точке

а, то обратная

функция

х =

ц>(у)

непрерывна