Файл: Брело, М. О топологиях и границах в теории потенциала.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 23.10.2024
Просмотров: 104
Скачиваний: 0
48 |
Ч. 1. Внутренняя тонкая топология |
жимых точек, из.е, являющихся тонко изолирован ными точками е ').
Предположения, фигурирующие в предыдущем за мечании, и последнее предложение выполняются в классической теории, к изучению которой мы вскоре приступим.
З а м е ч а й и е. Завершая наше общее изучение тон кой топологии, упомянем, что более глубокий анализ приводит к рассмотрению таких понятий, как связность и локальная связность, свойство Линделёфа, нормаль ность, паракомпактность, счетность полуполярных мно жеств при различных предположениях (классический
случай, различные |
аксиоматики). Отошлем читателя |
|
к работам Дуба |
[8], |
Фугледе [4—6], Берга, а также |
П. Мейера [2] |
(теоретико-вероятностный аспект). |
|
Глава VI
ПОН ЯТИ Я К Л А С С И Ч Е С К О Й Т Е О Р И И
ПО Т ЕН Ц И А Л А 2)
1.Прежде чем применять развитую выше общую теорию к классической теории потенциала, напомним
некоторые понятия (см., например, Брело [25]). Мы
') В аналогичных ситуациях некоторые авторы предпочи тают исключать возможность существования непренебрежимых
точек (т. е. неполярных |
точек, в случае когда Ф С-замкнуто), |
|
поскольку в этом случае база |
Ве становится тонко совершенной |
|
(т. е. множеством без |
тонко |
изолированных точек в ВЕ). Это |
упрощает топологический язык. |
|
|
Однако в классической теории потенциала естественно при |
||
соединять точку оо к |
для того чтобы устранить различие |
|
между внешней и внутренней задачами Дирихле- В случае /; > 3 эта точка будет неполярной для содержащих ее гриновых обла стей. В R 1 все точки неполярны, а в рамках аксиоматической тео рии гармонических функций легко (используя R 1 и R3) построить пространства, имеющие несчетное множество как полярных, так и неполярных точек, а также базы Ве. которые будут тонко замкнуты, но не тонко совершенны (см. гл. Vf).
2) Некоторые вопросы здесь можно было бы, вероятно, изложить и лучшим способом, по образцу аксиоматической теории гармонических функций. Наша цель — лишь напомнить
Гл. VI. Понятия классической теории потенциала |
49 |
будем рассматривать так называемые «^-пространства и пространства Грина, но для наглядности их можно почти всегда представлять себе как ограниченные области в R'1.
Г а р м о н и ч е с к и е ф у и к ц и и. Конечная вещественная непрерывная функция и на открытом мно жестве £2 сі R” (га 2) называется гармонической, если
для любого открытого шара ВХа (с центром в х0 ра диуса г), замыкание которого содержится в Q, и (х0)
равно среднему значению и на дВХі, т. е.
где аг — единичная положительная масса, равно
мерно распределенная на дВХо (т. е. инвариантная относительно вращений, или, иначе, пропорциональ ная площади). Отсюда вытекают такие факты:
a) Невозможность для гармонической функции иметь максимум или минимум в какой-либо точке без обращения в константу в некоторой окрестности этой точки.
b) Если функция и гармонична (в некоторой обла сти) и «!>0,_то либо и > 0 всюду, либо и = 0 всюду.
c) Пусть R'1— компактификация Александрова про странства К'1(т. е. R" с присоединенной точкой А = оо). Если и — гармоническая функция в шсг Rraи lim inf 0 в любой граничной точке, то га^ 0 в со.
Интеграл Пуассона для шара Вуа определяется
формулой |
' |
здесь функция f |
предполагается суммируемой по |
мере da*. Для произвольной вещественной функции f
и дополнить классические результаты, чтобы сделать изложение замкнутым в себе. [Большинство этих результатов читатель может найти в книге Брело [25]. См. также Н. С. Ландкоф, Основы современной теории потенциала, „Наука“, М., 1966.—
Перез.]
50 |
Ч. 1. Внутренняя тонкая топология |
$ |
|
очевидным образом определяются интегралы I f и I f. Они либо равны + 00 или —Dоо, либо являются гарионическими функциями в ßtv
Задача Дирихле для данного открытого множе ства со состоит в отыскании гармонической в со функ
ции, стремящейся в каждой граничной (в R") точке к заданным на öco граничным значениям. Для задан ной вещественной граничной функции / не может
быть более одного решения; в случае шара Вуа и не прерывной конечной функции / решение существует.
В качестве основных следствий свойств интеграла Пуассона J f отметим следующие:
а) Локальный критерий гармоничности. Функция и гармонична тогда и только тогда, когда она конечна, непрерывна и для каждой точки у0 существует такое
е > 0, что при г < е имеем и (г/0) = | и do^.
ß) Свойство сходимости. Для любого направлен ного по возрастанию семейства {«,) функций, гармо нических в области со, sup Ui есть либо + оо, либо гармоническая функция.
у) Положительные гармонические функции в обла сти со, равные 1 в некоторой точке х0<=со, равно степенно непрерывны в точке х0, а также в любой другой точке. Поэтому рассматриваемое множество функций компактно в топологии равномерной сходи мости на компактных подмножествах области со.2
2.Гипергармонические и супергармонические
функции. |
В |
соответствии со |
знаменитой |
теорией |
||
Ф. Рисса мы будем называть |
функцию и гипергар |
|||||
монической в открытом |
множестве |
со сш R", |
если |
|||
a) и > |
— оо, |
|
|
|
|
|
b) и полунепрерывна снизу, |
п |
-П |
|
|||
|
ßK |
|
шаре В |
или, что |
||
c) и ^ І иу° в любом |
cz В 1Лсг со, |
|||||
равносильно, |
и ( у ^ ^ J |
ndorm для любой точки yQе со |
||||
и достаточно малых г.
Гл. VI. Понятия классической теории потенциала |
51 |
Справедливы те же утверждения, аналогичные утверждениям а) — с) п. 1 (правда, лишь для мини мума в утверждении а)), а также факт сохранения гипергармоничности в открытом множестве со при предельном переходе по возрастающей последова тельности или направленному по возрастанию семей
ству функций и при замене и внутри шара |
(в£0а со) |
Будем говорить, что и — гипогармоническая функ ция, если функция — и — гипергармоническая.
Вобласти со гипер-(соотв. гипо-)гармоническая
функция и либо всюду равна + °о (соотв. — оо), либо конечна на плотном множестве и локально сум мируема по мере Лебега. В последнем случае функ ция называется супергармонической (соотв. субгар монической). Пользуясь интегралом Пуассона, можно для заданной супергармонической функции и построить возрастающую последовательность конечных непре рывных супергармонических функций, сходящуюся к и.
О б о з н а ч е н и я :
Через |
!іч |
обозначается функция л - > h (| х — х0 1). |
||
П р и м е р ы , |
а) Если ц — положительная мера Ра |
|||
дона с компактным носителем, то |
||||
|
|
|
|
(3) |
есть супергармоническая функция, гармоническая вне |
||||
носителя |
меры |
ц. |
|
|
Ь) |
Если |
функции «, |
V гармоничны в открытом |
|
множестве |
со, |
то функция |
\u-\-lv\ субгармонична. |
|
В случае R2, если функция f голоморфна в со, то |
||||
функция |f| субгармонична, а log|f| есть гипогармо |
||||
ническая функция, субгармоническая во всякой обла |
||||
сти, где |
f# 0 . |
|
|
|
52 |
Ч. 1. Внутренняя тонкая топология |
3.Понятия, связанные с точкой А. (См. Брело [6].)
Пусть открытое множество со er R" содержит точку Александрова А. Функция и называется гармониче ской в со, если она конечна, непрерывна, гармонична
вне А |
и равна в А J |
и dalJa |
для |
любого |
шара В\Л, |
|
такого, |
что C ß J, er со. |
Вещественная функция |
назы |
|||
вается |
гипергармонической в |
со, |
если она |
> |
— оо, |
|
полунепрерывна снизу, гипергармоническая вне А и
для указанных выше шаров и (Л) ^ |
| и daт. |
Для внешности (в R") шара В Уаг , |
которую мы обо |
значим через Ву0(эта внешность содержит Л), положим
|
Rп- 1 ІУУо I2-/ ? 2. |
I У - |
\ п — 2 |
|
|
|
I * - у Г |
У) I |
|
||
|
|
эн—2 |
f{x)do>4x) |
(4) |
|
(в случае п = |
2 эта формула |
упрощается). |
Эта |
вели |
|
чина играет |
роль, подобную |
l f (в том, что касается |
|||
проблемы Дирихле, определения гипергармонических функций, замены в В'ц[ гппергармонической функции и
в'Г
на І аУа). Вся предыдущая теория легко обобщается на этот случай.
4. ^-пространства. (См. Брело и Шоке [1].) Ш-про странством называется связное отделимое простран ство, обладающее следующим свойством. Для каждой точки X существуют открытая окрестность V х и гомеоморфное отображение г/1— т л (£/) этой окрест
ности Ѵх на открытое множество в Rrt, удовлетво ряющее следующему условию: для любых двух точек х и х2 соответствие между точками г, е m.v, (Vx. f) Ѵх) и Zi e №Xl(V fl Vx,), определяемое равенством m~1(2 ,) =
= itt“ 1 или, что то же самое, соответствие при отображении in^ otit“ 1, является изометрией (при этом точки, соответствующие точке Л, называются точками