Файл: Брело, М. О топологиях и границах в теории потенциала.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 23.10.2024
Просмотров: 99
Скачиваний: 0
38Ч. 1. Внутренняя тонкая топология
a)Для любой функции f: Q —>-£У (где Q' имеет счетный базис) [/ квазинепрерывна\€$[{ тонко непре рывна квазивсюду].
b ) Для любой вещественной функции / [/ квази полунепрерывна (сверху или cHU3tj)]^[f тонко полу- непрерывна (сверху или снизу) квазивсюду].
Т е о р е м а IV . 9. Если вес р непрерывен справа и счетно субаддитивен, то свойство Шоке эквива лентно следующему свойству, для всякой веществен ной функции f тонкая полунепрерывность сверху влечет за собой квазиполунепрерывность сверху. Если, кроме того, вес р тонкий, то свойство Шоке равно сильно эквивалентности тонкой полунепрерывности сверху квазивсюду и квазинепрерывности сверху.
6. Случай тонкой топологии, определяемой кону сом функций. Рассмотрим теперь, как в гл. I, конус Ф, соответствующую разреженность и тонкую топологию.
В этом случае можно получить дополнительные доста точные условия для выполнения свойства Шоке.
Т е о р е м а IV. 10. Предположим., что вес р счетно субаддитивен и непрерывен справа, а Q имеет счет ный базис. Тогда если нижняя огибающая (inf) любого семейства из Ф квазиполунепрерывна сверху, то р обладает свойством Шоке.
Доказательство. |
Пусть |
{сол} — базис |
открытых |
|
множеств Q. |
Для |
любого |
множества е |
положим |
еп= {х |
(.г) < і). |
Согласно сказанному |
в гл. I, |
|
множество Е точек С е , где е разрежено, есть \J{en(] о>л).
Так как функция |
квазиполунепрерывна сверху |
(по предположению), то существует открытое множе ство ап, такое, что р (<хп) < e/2rt и функция /?®Пи« |С а л
полунепрерывна сверху. Поскольку |
^ I на е П юп, |
это неравенство справедливо также на е П а>.( \ апс= С е п. Следовательно, С (е Л <ал \ ал) по еп.
Рассмотрим множества Ап= |
С (е Л «>л \ |
а„) Л <йл zo |
епЛ ш„; (J А п открыто и содержит Е . Далее, |
А п Л eczan |
|
или С Ап U С е ~э С а п, поскольку |
С Ап(J Се |
содержит |
Гл. IV . КвазитопологичесКие |
понятия |
39 |
множество ((е П w„) \ ап) U С (е Л со,,), |
содержащее Öan, |
|
Итак, (U Ап) П е с : U а„ и р ((U А п) П е ) < е. |
|
|
7.Примеры весов. Исходя из веса р и возрастающей
вещественной функции L (х) О (х^ О ), можно полу* чить новый вес L (р (е)), свойства которого могут быть выведены из свойств р и L.
Рассмотрим конус Ф и связанный с ним вес р(е) =
— R%(х0) (см. гл. II), где jc0ë ö |
и ф ^ О |
фиксированы. |
||
Если функция ф полунепрерывна снизу, |
то вес р тон |
|||
кий (следствие предложения |
II. 5); если |
ф конечна, |
||
непрерывна и положительна, то |
вес р |
непрерывен |
||
справа (доказательство то же, что |
и в аксиоматической, |
|||
теории гармонических функций, см. Брело [20], стр. 122, теорема 23); если Ф С-замкнуто, то вес р счетно субаддитивен.
З а м е ч а н и е . Если взять р (е) — Rt (х0), то всякое квазизамкнутое множество а будет разрежено в х0,
если х0 ф а, |
и всегда существует замкнутое множе |
ство а0 cz а, |
такое, что множество а \ а0 не содержит |
точки х0 и разрежено в ней.
Это легко получается, если выбрать содержащееся в а замкнутое множество а0 так, чтобы R ?''a“ (х0) < 1.
В е с |
Rft(х0) и |
с о о т в е т с т в у ю щ е е с в о й с т в о |
|
Шо к е . |
П р е д л о ж е н и е IV . 11. |
Предположим, что |
|
для функции fo ^ O |
на Q вес Пц(х0) непрерывен справа. |
||
Тогда для любой |
функции f, |
квазиполуне |
|
прерывной сверху (в частности, если вес счетно субад дитивен и типа Шоке, то для всякой тонко полуне
прерывной |
сверху |
квазивсюду |
функции) имеем |
||
inf R f-v (хо) = |
0 |
(здесь функция |
ф ^ О , полунепре- |
||
Ф>0 |
|
^ |
f , |
и в точках, где / = ф = + о о , мы |
|
рывна сверху, |
|||||
полагаем |
f — ф = |
0). |
|
||
Доказательство. Существует открытое множество со,
такое, что R%(х0) < е и функция f |Ссо полунепрерывна сверху. Обозначим через эту функцию, продолжен ную нулем на со; тогда /у будет полунепрерывна сверху
на Ö и /?f-f,(*0Kflft(*o) < в .
40Ч. 1. Внутренняя тонкая топология
Те о р е м а V I. 12. Пусть /0— конечная непрерывная положительная функция на Q. Предположим, что для
всякой |
тонко полунепрерывной сверху функции |
f, |
||||||||||||
|
|
|
inf Rf-q,(x0) = |
0 |
(ф полунепрерывна сверху, |
|||||||||
|
|
|
ф |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Тогда вес Пц(х0) обладает свойством Шоке. |
|||||||||||
|
Доказательство. Рассмотрим тонко замкнутое мно |
|||||||||||||
жество |
Е . |
|
Функция |
(/о)е = |
/о '%£ |
т о н к о |
полунепре |
|||||||
рывна |
сверху. |
Если |
ф ^ О |
|
полунепрерывна сверху и |
|||||||||
Ф^(/о)я. то |
множество а0= |
{х |ф(д:)^^/2) замкнуто |
||||||||||||
и |
содержится |
в |
Е . |
На |
Е \ а0 |
имеем |
(f0)E — ф = |
|||||||
= |
h - |
Ф > |
/о/2. |
Поэтому |
RM e - v > |
4 / > а° = |
(Vo) |
Ч“° |
||||||
и, следовательно, |
^ ЕЧа (х0) |
при надлежащем выборе ф |
||||||||||||
будет произвольно мало; это значит, что |
|
|||||||||||||
произвольно |
мало при |
надлежащем выборе a а |
Е , |
|||||||||||
а это и есть свойство Шоке. |
|
|
|
|
||||||||||
|
С л е д с т в и е |
|
(свойство |
эквивалентности для веса |
||||||||||
Яц(х0), где функция /0 конечна, |
непрерывна и положи |
|||||||||||||
тельна, в |
предположении, |
что |
вес |
счетно |
субаддити |
|||||||||
вен). Свойство Шоке эквивалентно следующему свойству.
Для всякой тонко полунепрерывной сверху функ
ции f, такой, что |
имеет место равенство |
inf і??_ ф(л'о) = 0 (функции |
ф полунепрерывны сверху, |
оФ< ф < / ) .
Это— непосредственное следствие из IV . 11 и IV . 12. Установленная эквивалентность показывает, что аппроксимационное свойство, выражаемое последним равенством, может быть интерпретировано как свойство
Шоке некоторого |
специального веса, |
а |
именно |
веса Яц{х0). |
|
|
|
У п р а ж н е н и е . |
Пусть пространство |
Q |
локально |
компактно и имеет счетный базис, а Ф С-замкнуто. Тогда для конечных непрерывных функций f0> 0 свойство Шоке для веса Щ о) не зависит от выбора /0
и эквивалентно соответствующему локальному свой
|
Гл. IV . Квазитопологические понятия |
41 |
||||
ству Шоке для веса Ri (х0) ') и свойству inf /?f_„(x'0) = |
О |
|||||
(Ф полунепрерывны |
|
ф |
для всякой |
|||
сверху, 0 < ф ^ / ) |
||||||
функции |
О, |
тонко |
полунепрерывной |
сверху |
и |
|
локально |
ограниченной. |
|
|
|
||
8. |
^-исчезающие |
семейства множеств (/„ ^ 0). |
||||
(См. Брело [27].) Будем рассматривать Q и Ф из гл. I. |
||||||
Положим |
|
|
|
|
|
|
|
|
f (х) = |
lim inf / (у). |
|
|
|
|
|
|
|
у - > х |
|
|
О п р е д е л е н и е |
IV . |
13. Семейство множеств [ег] |
||||
будем называть |
}0-исчезающим, если |
|
|
|||
іпГ/?®* = 0. ■
іh
Это эквивалентно равенству
іп Л Ь = 0
іг’
,—s
(мы пишем R% вместо r Q.
Действительно, второе, априори более слабое усло вие показывает, что в любом открытом множестве а при любом е > 0 существует точка х и для которой
inf R eft (,v,) < е, |
и, |
значит, |
существуют |
такое /, |
что |
е д * ,) < 2е, |
и, |
далее, |
такая точка |
х2^ а , |
что |
R efl (лг2) < Зе. Таким образом, множество, где inf Ref‘ <
< Зе, плотно, откуда вытекает и свойство /0-исчезания.
О д н о п р и м е н е н и е . Справедливость свойства
Шоке для веса Rt{X0) или даже для веса Ща(х0) для любой фиксированной функции f0^ 0 и любой фикси рованной точки х0 влечет за собой следующее: для любых множества е и семейства открытых множеств cof,
содержащих тонкие внешние точки е, семейство {е |
|
||||
является ^-исчезающим. |
, |
|
|
||
’) |
То |
есть свойству Шоке в |
каждом открытом |
множестве |
|
|
|
П соj |
|||
базиса |
£3. — Прим, перев. |
|
|
|
|