Файл: Брело, М. О топологиях и границах в теории потенциала.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 23.10.2024

Просмотров: 108

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

58

Ч. 1. Внутренняя тонкая топология

= J fdp°, и f разрешима в том и только в том слу­

чае, когда она 'dp^-суммируема для всех точек х или

хотя бы для одной точки в каждой компоненте Q (теорема о разрешимости из Брело [3]).

З а м е ч а н и е . Если ѵ супергармонична и имеет гармоническую миноранту, то наибольшую миноранту можно получить как предел

Ни11 (Qn с; Q, Q„ f , U Й„ = Й).

Равенство нулю этого предела характеризует потен­ циалы.

В качестве следствия аддитивности отображения f 1—> Н f для разрешимых функций f получаем адди­

тивность наибольшей гармонической миноранты для функций V (супергармонических ^ 0 ) . Это же можно получить непосредственно, используя аддитивность потенциалов (см. подстрочное примечание на стр. 53).

Р е г у л я р н ы е

г р а н и ч н ы е

точки.

Граничная

точка

X называется регулярной,

если H f —>f(X) при

X —> Х

для всякой

конечной непрерывной

функции f.

Необходимым и достаточным условием для этого

является существование в Q П б,

где

б — некоторая

окрестность

точки X,

положительной

супергармони­

ческой функции, стремящейся к нулю

в X (локаль­

ный критерий),

или, в случае когда Q

связно,

усло­

вие

Gx (y)—>0,

у —>Х,

где X — фиксированная

точка

из Q (критерий Булигана).

 

 

 

 

Заметим, что точка X е <3й иррегулярна (т. е. не

регулярна)

в том и только в том

случае, когда она

иррегулярна для некоторой компоненты Q. Далее,

для

регулярной

точки X и для ограниченной сверху

функции f имеем lim sup H f (х) ^ lim sup f (у).

X e

Q

( / e t a

x - > X

y - * X

П р и м е р . Точка X

будет

регулярной, если в Ѵх

существует конус (с вершиной X' не на бесконеч­ ности), непустая внутренность которого вблизи X ' лежит вне образа КА Пй. Это дает возможность по­

Гл. VI. Попятил, классической теории потенциала

59

строить содержащее заданный компакт /( открытое

множество Й' (й' с Q),

у которого все граничные

точки регулярны.

 

Точка на бесконечности, если она лежит на 5й,

всегда регулярна при /г ^

3.

Теорема сходимости позволяет показать, что мно­ жество иррегулярных точек области (и, значит, лю­

бого открытого подмножества в й) локально полярно

 

(Келлог — Эвансф_ Рассмотрим

последовательность

 

множеств й„ f , й„ cz Q, (J й„ =

й, с регулярными rpa-

 

ничными точками. Функция Gx. , продолженная нулем,

‘

 

О

субгармоңична вне х0. Предельная функция Gx", про­ долженная нулем и затем регуляризованная с помощью lim sup, будет субгармонической (вне х0) и будет на <ЭЙ отличаться от' нуля на локально полярном множестве, которое совпадает с множеством иррегулярных точек.

О б о б щ е н и е . Рассмотрим ^-пространство й0 и '

обозначим через

йд

само пространство

Q0,'

если оно

компактно,

или

его

компактификацию

Александрова

(с помощью

точки А) в противном случае.

Рассмот­

рим в й0 гриново открытое множество Й. Можно

сформулировать

аналогичную задачу Дирихле для й

с границей Эй

в йд. При этом сохраняются опреде­

ление огибающих и теоремы о разрешимости. Для функции /, заданной на некомпактном Q0, будем обоз­ начать ft ее продолжение нулем в точке А. Тогда

получают смысл обозначения Н}'°. Сохраняют силу замечание об аддитивности наибольшей гармонической миноранты, определение и свойства регулярности точки

X е <ЭЙ,

X

Ф А; й

называется

регулярным,

если

А ф <Эй и все граничные

точки регулярны. По-преж­

нему

верен

тот факт, что иррегулярные точки, отлич­

ные

от

А,

образуют

локально полярное множество.

б)

Задача Дирихле

для компактных множеств

(Келдыш — Лаврентьев — Брело).

Пусть

даны

ком­

пактное

множество К

в пространстве Грина й и ко­

нечная

непрерывная

функция /

на дД.

Супергармо­

нические в некоторой открытой окрестности множе­ ства К функции о, удовлетворяющие условию

60 Ч. 1. Внутренняя тонкая топология

Нт inf

v ( x ) ^ f(X) ( Х ^ д К ) , имеют на К нижнюю

х е С

К, Х-+Х

_

 

 

огибающую Kf- Аналогично определяется Kf с помощью субгармонических функций. Обе эти огибающие равны

пределу Kt функций # “■ по фильтру окрестностей со компакта К, где F — любое непрерывное продолже­ ние функции f. Точка А <= д/С называется устойчивой, если Kf{X) — f(X), V/. Устойчивость всех точек X ^ д К эквивалентна возможности равномерной на дК ап­ проксимации любой из рассматривавшихся функций f с помощью функций, гармонических в окрестности К . Более подробно см. об этом Брело [7].

7. Представление Рисса. В пространстве Грина й (или в гриновом открытом подмножестве ^-простран­ ства) для любой неотрицательной меры р на й функ­

ция I Ga (X, у) d\x (у) гипергармонична; в каждой ком­

поненте она либо равна + °о, либо является абст­ рактным потенциалом (п. 4). Обратно, абстрактный

потенциал в й допускает представление f G'-(x, у ) Х

X dy (у) (называемое часто С 9--потенциалом меры р)

с единственной неотрицательной ’) мерой р.

 

Супергармоническая функция и

в

Й,

имеющая

гармоническую миноранту, допускает

представление

и (х) = I GQ (х, у) сіу (у) +

и

(х),

(6)

где и* — наибольшая

гармоническая

миноранта в Q,

а р — единственным

образом определенная

неотрица­

тельная мера (ассоциированная чмера); определение меры р имеет локальный характер в том смысле, что

ее сужение на

любое со с : й является ассоциирован­

ной мерой для

со.

!) Мы не будем без специальных оговорок пользоваться термином „потенциал“ в случае незнакоопределениой меры. т. е. для разности двух неотрицательных потенциалов.

Гл. VI. Понятия классической теории потенциала

61

8. Порядок в классе супергармонических

функ­

ций. Мы вводим специальный порядок следующим образом:

 

= « 2 + (супергармоническая функция >0).

Если

 

 

 

Ui — (потенциал меры р,) +

(гармоническая функция /г,),

и2=

(потенциал меры р2) +

(гармоническая функция /г2),

то

условие «,

и2 эквивалентно

условиям h i ^ h 2 и

Рі ]> р2 (последнее означает, что

р, — р2 есть поло­

жительная мера).

 

 

 

Это очевидно

для потенциалов ц легко доказы­

вается в общем случае. Множество всех неотрица­ тельных супергармонических функций образует пол­ ную решетку относительно специального порядка. В случае потенциалов из бэлее слабого условия и ^ і і 2

следует неравенство pj (Q) ^

p2(Q).

Это

молено пока­

зать,

рассмотрев

открытое

множество

Q ' c Q ' c ß

и функцию"/?!", которая является

потенциалом U v

меры

При подходящем выборе Q'

интеграл J" U v dp ,

будет Vкак.

угодно

близок к величине р! (Q), конечной

или нет, и

 

 

 

 

 

J U vdpi = j U ^ ' d v ^ j

d v = J

t/v dp2< p 2(Q).9

9.

Различные дополнения для случая пространства

Грина, а) На компактном полярном множестве е су­

ществует

мера ѵ ^ О , потенциал которой

равен + оо

на е

и

конечен

на Се

(Эванс).

Имеется

обобщение

(Дени

[2] и

Шоке

[3])

на случай

множеств типа G6.

ß)

Если

супергармоническая функция и (с ассоци­

ированной мерой р) конечна на полярном множестве е,

то

внешняя р-мера е равна

нулю. В

самом деле,

е

содержится в борелевском

полярном

множестве,

а также в борелевском множестве, на котором и ко­ нечна. Поэтому мы можем считать, что е борелево и даже компактно, а и — потенциал меры р. Рассмо­ трим множество Кп. — [х п] и соответствующую

Смотрите также файлы