Файл: Брело, М. О топологиях и границах в теории потенциала.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 23.10.2024

Просмотров: 103

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

Гл. VI. Понятия классической теории потенциала

53

на бесконечности), либо, в случае я = 2, конформным отображением (первого или второго рода).

Такое пространство локально связно, локально компактно и метризуемо. Всякое его связное подпро­ странство есть также éf-пространство. Точки на бе­ сконечности образуют изолированное множество.

Примером (^-пространства может'служить любая область в Rrt.

Определения гармонической, гипергармонической, супергармонической функций являются локальными и сводятся к соответствующему свойству на образе Ѵ'х.

Свойства а) — с) п. 1 (в свойстве с) надо рассматри­

вать

компактификацию Александрова пространства

<S)

остаются в силе. Будем называть абстракт­

ным

потенциалом (или, коротко, потенциалом) на

Jf-пространстве или на открытом его подмножестве любую неотрицательную супергармоническую функ­ цию, у которой наибольшая гармоническая миноранта

(она всегда

существует) равна нулю. Нижняя и верх­

няя огибающие (inf

и sup) двух

потенциалов — тоже

потенциалы ‘). Если

ѵ — потенциал (в некотором про­

странстве Q), гармонический в со,

а w — гипергармо­

ническая неотрицательная

в

со

функция,

причем

lim inf (w — и )> 0 в

каждой

граничной

точке

со, то

V ^ 0 в со.

 

 

 

 

 

 

w —В самом

деле,

функция,

равная

inf [(к/— ѵ), 0]

на со щ продолженная нулем, будет гипергармониче­ ской в й; эта функция ^ — ѵ и поэтому мажорирует

наименьшую

гармоническую мажоранту для — ѵ,

т. е. нуль.

Взяв в качестве ш постоянную, мы по­

лучим для конечных непрерывных потенциалов ѵ

принцип Мариа — Фростмана,

а именно

равенство

sup и — sup V

(где

5 — носитель

функции

ѵ,

т. е.

ß

s

к

наибольшему

открытому

множеству,

дополнение

в котором V гармонична). Этот результат справедлив

]) Если Р I, Р 2 — два

потенциала и

h — наибольшая

гармо­

ническая

миноранта

для

Р\ + Р г.

то

h <

+

Р 2=ф/г — P t <

<

— Р\ < 0

(так

как функция

h — P l

субгармонична,

а Р%— потенциал) = ^ h ^ P l =^/i*^.Q=^h =

Q.

 

 

 

54

Ч. 1.

Внутренняя

тонкая

топология

 

 

для любого потенциала ѵ,

что может быть доказано

с помощью аппроксимаций (см. также теорему V III. 4).

П о л я р н ы е

м н о ж е с т в а .

Выберем

в

^-про­

странстве Q

в

качестве функций из Ф

(см.

гл. I)

неотрицательные супергармонические функции и функ­ цию + оо. Тот же выбор используем для любого связного подпространства в £2. Отметим счетнуоі

аддитивность класса

Ф.

Подмножество

в области со

будет называться

полярным

б

со

(в

соответствии

с терминологией

гл.

I),

если

в

со

существует поло­

жительная ') супергармоннческая функция, равная + оо на е (а может быть, и в других точках). Эту функцию

можно построить

так, чтобы она была

конечной

в заданной точке

х ф. е. Подмножество

открытого

множества будем называть полярным, если оно является таковым в каждой компоненте связности. Отсюда вытекает, что оно является строго полярным относительно конуса неотрицательных гипергармони­ ческих функций на данном открытом множестве. Множество е называется локально полярным, на открытом множестве со, если для всякого х е со суще­ ствует открытая окрестность со0 точки х, такая, что е П «о полярно в со (эквивалентное определение полу­ чим, рассматривая только окрестности точек из е)*2). Будем говорить квазивсюду, имея в виду „за исклю­ чением некоторого локально полярного множества“ .

Точка X

(мы отождествляем ее с множеством [х] )

не будет

локально полярной в том и только в том

случае, когда п ^

3 и х есть точка на бесконечности.

Если множество е

локально полярно и замкнуто в со,

то любая

супергармоническая в со \ е функция, ло­

') Без требования положительности мы получили бы поня­ тие, эквивалентное локальному определению в пространстве Гр-ина (см. ниже); однако в общей аксиоматической теории, когда нет положительных потенциалов, это было бы уже не так (см. статью Анаидама, в Ann.. Inst. Fourier, 22 (1972),

№4).

2)Здесь нужно рассматривать окрестности в R", включая А

.наряду с- другими точками.

Гл. VI. Понятия классической теории потенциала

55

кально ограниченная снизу, может быть продолжена, и притом единственным образом, до супергармони­ ческой функции в со. Отметим также, что если со связно, то со \ {е} также связно.

5. Пространство Грина и функции Грина, ^-про­ странство Q называется пространством Грина, если

на Q существует положительный потенциал или, что равносильно, положительная супергармоническая функ­ ция, отличная от константы. Область со в простран­ стве Грина является снова пространством Грина; область со в (^-пространстве, не являющемся про­ странством Грина, будет пространством Грина тогда и только тогда, когда множество Q \ со не локально полярно. В пространстве Грина всякое локально по­ лярное мнооісество полярно и даже строго полярно или, что эквивалентно, пренебрежимо. В простран­ стве Грина все потенциалы, гармонические вне дан­ ной точки х0, пропорциональны. Сейчас мы выделим один из этих потенциалов и назовем его функцией

Грина G% или G.vv Выделение осуществляется с по­ мощью следующего условия: вблизи х0 этот потен­ циал является такой функцией f(x), что функция /(nt“ 1(л/)), где х' — ѵкх^\х), с точностью до гармони­

ческой функции равна /г( \х' — xj|), если х'0 Ф А (где А — это точка Александрова пространства К"), и равна

h( \х ' I),

если х'0 =

А.

 

 

 

 

 

 

Заметим, что

если точка х

не полярна,

то функ­

ция у 1—?- Gx (у) ограничена

и непрерывна.

Напомним

важное

свойство симметрии:

Gx {y) — Gy {x). Отметим,

что часто используется

также

обозначение G (х, у).

П р и м е р ы. Пространства

R'\

Rrt римановы

по­

верхности являются (^-пространствами.

 

 

R“ ( п ^ З ) и гиперболические римановы

поверхно­

сти являются пространствами Грина.

 

 

R2 и

параболические

римановы

поверхности

не

.являются пространствами Грина.

56Ч. 1. Внутренняя тонкая топология

ВR" ( « ^ 2) множество Cßg (содержащее А) является пространством Грина и

 

пр"

" > з ,

Ga W

при

11 = 2.

lo g -^ -

Рассмотрим открытое подмножество Q0 «^-про­ странства Q. Либо все компоненты ß0 гриновы (т. е. являются пространствами Грина) либо Q не гриново. В первом случае мы будем называть множество Q0

гриновым и определим функцию Грина Gx° как функ-

 

 

O)

 

 

 

V

 

 

 

X

на содержащей л: компоненте со

множества Q0

и

нулю в остальных точках ß0. Сим­

G

 

 

 

 

 

 

метрия по-прежнему имеет место.

 

 

З а м е ч а н и е .

В пространстве

Г рина функция GXa

имеет глобальную

точку

пика в х0 (см. гл.

I, п. 1).

В самом деле,

GХо (х)

GХо (х0)

(принцип

Мариа —

Фростмана, п. 4).

Равенство

в

точке х ф хп невоз­

можно-(если

бы

G.v0(.v'o)

было

конечно, то GXa была

бы константой). Рассмотрим заданную окрестность б0 точки х0 и другую окрестность б, содержащуюся в ѴХа

(см. п. 4), образ которой есть шар В гУа или Ву[. После замены G.4 в б интегралом Пуассона мы получим супергармоническую функцию; она мажорируется своим супремумом на дЬ, который < Gx,(x0). Следо­ вательно, sup Gx, < GXa(x0).

С6

6.Основные общие результаты и постановки задач, а) Большая теорема сходимости (Брело — Кар­ тин) '). Рассмотрим на открытом подмножестве Q ^-пространства направленное по убыванию семейство супергармонических функций, локально равномерно

ограниченное снизу. Тогда inf и, есть супергармони­ ческая функция, квазивсюду равная inf (локальное свойство). Этот результат точнее теоремы V.7.)*

*) См. Брело [I], Картан [1], Брело [6J.

Г а. VI. Понятия классической теории потенциала

57

ß) Аппроксимационная лемма. В пространстве Грина Q всякая конечная непрерывная на компактном множестве /( функция может быть с точностью до любого в > 0 аппроксимирована разностью двух ко­ нечных непрерывных неотрицательных супергармони­ ческих функций или даже непрерывных потенциалов.

В самом деле, конечные непрерывные супергар­ монические функции и ^ О разделяют точки Q, что можно установить с помощью GXi\ функция | щ — и21 и константы являются разностями таких и. Поэтому первый результат получается из теоремы Стона. Что касается потенциалов, то молено образовать конечный непрерывный ' потенциал V > 0, а далее оперировать с разностями конечных непрерывных неотрицатель­ ных потенциалов, поделенными на V.

у) Задача Дирихле (Перрон — Винер — Брело). Рас­ смотрим сначала в ^-пространстве относительно ком­ пактное открытое множество Q, для которого C Q не локально полярно, и вещественную функцию f на дй.

Гипергармонические функции и в

Q, lim inf которых

^ f ( x ) во всякой

граничной точке х , имеют нижнюю

огибающую Ну

(или, проще, Я f),

которая в каждой

компоненте либо равна + оо, либо — оо, либо является

гармонической

функцией. Пололшм Я ? = —

Имеем

В случае когда функция H f равна H f

и всюду конечна, функция f называется разрешимой,

аобщее значение огибающих называется обобщенным решением и обозначается через H f. Если открытое

множество со с : Q, a F есть функция H f, продолженная

с помощью функцшц/, то Я “ = Я/ в со.

Если функция f конечна и непрерывна, то она раз­ решима (Винер) (при доказательстве используется ап­

проксимационная лемма) и

 

# ? ( * ) = { Н у ) dpUu),

(5)

где dps — некоторая положительная единичная мера

на ÖQ (гармоническая мера в х). Вообще же H f =

I

Смотрите также файлы