Файл: Брело, М. О топологиях и границах в теории потенциала.pdf

= | udv конечен, откуда ц(/(п) = 0 и ц(е) = 0.

у) Нам потребуется существование конечного не­ прерывного потенциала U > О, обладающего следую­ щим свойством: для каждой точки х0 е Q он допу­ скает разложение U = u\-\-u2, где и ,— конечный не­ прерывный потенциал, а и2— конечная непрерывная функция ^ 0 , для которой х0 есть глобальная точка пика (см. гл. I, п. 1).

Покроем Q счетным числом открытых множеств со/( таких, что ш,- компактно, не содержит точек на бес­ конечности и содержится в некотором Ѵх, и открытых множеств со', которые содержат точки на бесконеч­ ности. В каждом множестве со,- рассмотрим конечный непрерывный потенциал V;, порожденный мерой, рав­ ной нулю вне и,-, а в со; являющейся прообразом меры Лебега на со! (образе со,-). Если х0е со,-, то мы

рассмотрим множество со', образ которого есть шар

с центром в х'0, и функцию Ѵ\, полученную из Ѵі за­ меной ее на со*, функцией, образ которой есть интеграл

Пуассона для шара. Тогда функция Ѵі— Ѵ\ равна нулю вне соJ-, а в со! является функцией, образ которой есть

Рассмотрим теперь со' и содержащуюся в нем точку на бесконечности Х ‘. В случае п > 2 мы пола­ гаем Ѵ‘ равной функции Грина с полюсом в X 1, а при л =2 определяем на некотором множестве со} с: со' меру

так, чтобы ее С п-потенциал был конечен и непрерывен,

а G “ 1-потенциал, продолженный нулем, был также не­ прерывен и имел точку пика в X 1 (это можно сделать, переходя к образам и используя инверсию) и в качестве V 1берем Ой-потенциал этой меры. Наконец, мы рассма­

б) Уточнение аппроксимационной леммы п. 6, ß).

Если функция f конечна, непрерывна и неотрицательна на Q и равна нулю вне компактного множества К а О ,

^ О

а К і<=й—такое компактное множество, что Ка:Кі<аКи то существуют конечные непрерывные (?я-потенциалы

лемму п. 6, ß), получим (^'-потенциалы иь и2, такие,

в йі \ К 2 решениями задачи Дирихле с граничными значениями, равными нулю на дЙ] и соответственно и'ѵ и'2 на дК 2■ Продолжив эти функции нулем, мы

получим конечные непрерывные всюду функции суб­ гармонические вне К 2- Эти функции U b U 2 предста­ вляются в й локально, а следовательно, и глобально как разности конечных непрерывных Оя-потенциалов (мер, сосредоточенных на К :) до,— w\ и w2— w2 (это

представление справедливо с точностью до гармони­ ческих функций, которые в данном случае равны нулю). Легко видеть, что до, + w2 и до2 + w[ и могут

быть взяты в качестве щ и ѵ2.

10.Приведенные функции и выметание '). Возьмем

снова в качестве й пространство Грина, а в качестве

') Выметание здесь и далее строится для любого множе* ства е по методу работы Брело [8] 1945 года (несколько усовершен­ ствованному). Этот метод может быть обобщен и приспособлен к аксиоматическим теориям гармонических функции; при раз-

64Ч. 1. Внутренняя тонкая топология

Ф— множество неотрицательных гипергармонических

или условие Ry — 0 где-нибудь, или же условие Ri < 1 всюду — все эти условия эквивалентны тому, что множество е полярно, а также тому, что оно прене­ брежимо. _

b) Rv (x) = inf I -7?pdp“ , где g — семейство откры-

тых окрестностей точки л*.

c) Rф= R% на С е и квазивсюду на е.

d) /?ф есть наименьшая гипергармоническая функ­ ция, которая ^ 0 на Q и ^ ф квазивсюду на е (а по­ тому не изменяется при изменении е на полярное

множество). Заметим еще, что І?Іе = Щ . RФ

e) Если ф„ \ ф, то Ryn | ЯФ; если еп f е, то Я*'*.Т Щ,.

вернутом изложении он базируется на большой теореме сходи­ мости. Совершенно иной метод был указан несколько позже

ранств и положил начало обобщениям в иных направлениях. Что касается предшествующих работ Валле-Пуссена, Фростмана и других по теории выметания в основном для случая компакт­ ных множеств, см. библиографию в Брело [14].

Упомянем еще о выметании второго типа, которое полу­ чается, если в d) (см. п. 10) заменить слова „квазивсюду на е" словами „за исключением множества, все замкнутые подмноже­ ства которого полярны“ . Соответствующие этому случаю рас­ суждения см. в статьях Брело [8] н Картан [2]. Они предста­ вляются нам не столь полезными и не будут здесь рассматри­

ваться. Для функций Ry, и Щу где IF — неотрицательная

супергармоническая функция, могут быть получены дальнейшие свойства и даны другие доказательства устанавливаемых здесь свойств (без использования задачи Дирихле и большой теоремы сходимости), которые сохраняют силу и в более общих аксио­ матических теориях (см. Бобок, Константннеску и Корня [2]).

Следовательно, $fäana'(xo) < ѵ (хо), и получено про­ тиворечие.

b") Для всякого компакта k и ,v0<=ö& имеем

kv = Rvk на к, и устойчивость точки х0 эквивалентна условию

Ruk(xо) = ѵ{хо)

для всех конечных непрерывных потенциалов ѵ.

c') Отображение v н—> $1 аддитивно. Действительно, в силу а') это верно для замкну­

тых е; согласно п. 10, е), это верно для открытых е; для любых е и непрерывных ѵ это следует из f); на­

используя е). Отсюда следует аддитивность отобра­

Ввиду е) и {) достаточно рассмотреть только слу­ чай, когда е замкнуто или даже компактно. Если х, у находятся в Се, то искомый результат вытекает из того факта, что для любого потенциала и ^ О , конеч­ ного и непрерывного на де, наибольшая гармониче­

или обе эти точки не полярны и по крайней мере одна из них находится в е, то мы используем свой­