Файл: Брело, М. О топологиях и границах в теории потенциала.pdf

Гл. IX . Дальнейшее изучение классической разреженности 95

2. Одно геометрическое свойство разреженности.

Т е о р е м а IX. 3. Если e c R “ разрежено в х0, а огх — единичная положительная инвариантная мера на

тельство, используя функцию и, удовлетворяющую

условию и(х0) < lim inf и(х).

х&е,

О б о б щ е н и е . Пусть (со,) — направленное по убы­ ванию семейство подобластей пространства Грина, содержащих точку х0 и имеющих пересечение {.ѵ0}.

П р и м е р н е р а з р е ж е н н о с ти. Любое множе­ ство в IRn, содержащее конус вращения (с непустой внутренностью), неразрежено в вершиңе (этот пример указан Пуанкаре в связи с задачей Дирихле).

96 Ч. 1. Внутренняя тонкая топология

3. Критерии разреженности и неразреженности.

Т е о р е м а IX .4. Замкнутое множество е сі R" неразрежено в точке хйе де в том и только в том слу­

гармоническая функция и, стремящаяся к нулю в ,ѵ0.

Доказательство. Воспользуемся конечной непре­ рывной функцией Г > 0 , супергармонической в шареДѵ-5 и не являющейся гармонической ни на каком откры­

женностью е, т. е. с существованием субгармони­ ческой функции и в ВХа, удовлетворяющей условиям

обобщение на случай пространства Грина. Рассмотрим некоторые приложения этих критериев.

П р е д л о ж е н и е IX .5. Отличная от А граничная точка х0 открытого множества со в пространстве Грина Q

Гл. IX . Дальнейшее изучение классической разреоісенности 97

будет иррегулярной тогда и только тогда, когда Сасо разрежено в х0.

Это следует из локальных критериев (гл. V I, п. 6, теорема IX. 4), а также из теоремы V II. 13.

Отсюда получается другое доказательство того, что множество иррегулярных точек полярно.

Н е к о т о р ы е п р и м е р ы . В R" гиперплоскость Н (размерности п — 1) неразрежена ни в какой своей точке, поскольку расстояние до Н есть гармоническая положительная вне Н функция. Однако линейные многообразия размерности — 2 локально полярны (ибо ньютонов или логарифмический потенциал меры Лебега открытого множества а бесконечен на а) и поэтому всюду разрежены. Полугиперплоскость нераз­ режена даже на краю (следует рассмотреть объеди­ нение со второй полугиперплоскостью). В R2 отрезок не разрежен ни в какой своей точке.

П р е д л о ж е н и е I X .6 (уточненное свойство Ле­ бега— Бёрлинга). Если множество e c R 2 разрежено в точке х0, то существуют сколь угодно малые окруж­ ности \х — -Ѵ'о I — г, не пересекающиеся с е.

Доказательство. Отображение из п. 1 на луч, ис­ ходящий из х0, дает разреженное множество, кото­ рое не может содержать никакого отрезка с кон­ цом в х0.

Таким образом, в R2 все неизолированные гранич­ ные точки конечносвязной относительно компактной области Грина будут регулярными.

В R'1 при /г ^ 3 положение совсем иное. Напомним знаменитый пример лебегова острия в R3 (он и был построен как пример иррегулярной граничной точки).

Рассмотрим на отрезке [0, 1] оси Xj меру с линей­

разрезісенность мноокества е в точке х0 эквивалентна условию

^ с ,о=г= G.v0, т. е. ЬІч ф г х„ или &ел.( М = 0 ‘). (а)

Другие формы этого критерия для случая IR" таковы:

a) В окрестности хй существует такая супергармо­ ническая функция V, что

с G- или h- потенциалом ѵ, удовлетворяющим условию

1)Модифицируя понятие, введенное Валле-Пуссеном, Кар-

(см. подстрочное примечание на стр. 63—64), он аналогичным обра­ зом пришел к понятию „внутренней иррегулярности“, которая эквивалентна тому, что всякое замкнутое подмножество мно­

его в стороне, равно как и второй тин выметания. Слово „регу­ лярность“ мы сохранили за первоначальным классическим поня­ тием, связанным с задачей Дирихле, чтобы избежать всяких недоразумений.