Файл: Брело, М. О топологиях и границах в теории потенциала.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 23.10.2024

Просмотров: 117

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

Гл.

V III.

Применения к выметанию, весам

и емкостям 85

и внешнюю

емкость

 

е)

=

inf ^

(со), где а — открытое

множество,

 

о)=>е

 

 

Шоке доказал,

что ^ ’ (е) является общей емкостью,

причем условие С-измеримости записывается в виде ‘5’* (е) — & (е). Кроме того, внешняя емкость ^ ‘ (е) счетно субаддитивна,

В рамках изложенной выше классической схемы с пространством Грина Q и гипергармоническими неотри­ цательными функциями мы изучим в связи со ска­ занным в гл. IV такие функции множеств:

А(е) — Ry (х), где точка х фиксирована, а ср — ко­ нечная неотрицательная непрерывная функция,

А,п(е)— J R%(x)dm(x), где функция ср — такая же,

как выше, a m — неотрицательная мера, не нагру­ жающая полярных множеств и либо имеющая ком­ пактный носитель, либо такая, что существует супер­ гармоническая неотрицательная функция V, удовле­

творяющая условиям

и J V dm <-)- со. Примеры:

а) гармоническая мера ф “а в точке ,ѵ0е со 0, где со0 относительно компактно; Ь) у (е) = ц (Q), где ц — мера, ассоциированная с R%, (функция ф такая же, как выше).

Т е о р е м а V III. 12. Функции А (е), А,п (е) являются весами, причем весами тонкими, непрерывными справа, счетно субаддитивными и типа Шоке. Второй из этих весов есть общая емкость, а если ф, кроме всего, супергармонична, то оба веса являются внеш­ ними емкостями для некоторых емкостей Шоке. Если множество е содержится в каком-либо фиксированном

Q' cz Q' cz Q,

то у (е) в Q'

имеет

те оке свойства,

что

А т.

Внешняя

емкость,

соответствующая

у (К)

при

ф =

1,

называется в н е ш н е й

г р и н о в о й

ем­

к о с т ь ю

(или к л а с с и ч е с к о й

е мкос тью) .

Если

Ф >

0

и

т ф О, то

множество

е

будет полярным

в том

и

только в том случае, когда или А,п(е) = О,

или А (е) =

0 (х ф е), или

у (<?) =

 

О (ё cz Q), или его

классическая емкость равна

нулю.

 

 

86

Ч. 1. Внутренняя тонкая топология

Доказательство, а) Рассмотрим функцию множества

et—^Рф(-Ѵо).

Нам известно, что это — тонкий счетно

субаддитивный вес. Он непрерывен справа. В самом деле, если он конечен, то существует положительная

супергармоническая

функция и,

удовлетворяющая

на е неравенству

и ~ ^ ф; возьмем

0 < А . < 1 , тогда

множество (л;|и^Яф) содержит некоторую окрест­

ность а множества е; далее, u^XR% ,

и ^ Х inf Яф

 

(i) ZD е

(со — открытое множество), и ^ inf Яф

и Яф (а0) =

=inf Я£ (а'о). 0)

Предположим теперь, что функция ср супергармо­

нична; тогда из соотношений R*n-> R ^ '1, Яф = Ф на е,

Яф= Яф на С е получаем, что Я*'1(а) -> R ^ n (х). Сле­

довательно, Яф есть общая емкость. Кроме того, функция множества R ь-> Яф (а-) строго субаддитивна,

т. е. Яф,и/С: +

Яф‘лк’ ^

Яф'+ Яф3- Это очевидно при

А е / С іІІЯ г;

если

же

а

лежит вне этого множества,

то

нужно

обе

стороны

неравенства рассматривать

как

решения задачи Дирихле в C (/(1U К 2) с гранич­

ными значениями,

равными на (ДЯіІІКг) соответ­

ствующим

частям

неравенства и нулю на бесконеч­

ности. Итак К ^ Яф (а) есть емкость Шоке, и из общих свойств следует, что соответствующая внешняя

емкость есть Яф(а).

Б) Относительно J R%dm или f R%dm ясно, что

это — тонкие счетно субаддитивные веса. Докажем непрерывность справа. Если рассматриваемый инте­ грал равен + оо или пг = 0, то это очевидно. В про­ тивном случае существует неотрицательная супер­ гармоническая функция и, такая, что «^ ср на е

и J udm < + оо (ввиду предположений о пг). Функ­

ция Яф есть нижняя огибающая таких функций.

Поэтому Яф = inf tin (согласно топологической лемме Шоке, см. Брело [20], такая убывающая подпоследо­

Г л. V III.

Применения к выметанию,

весам и емкостям

87

вательность {«„} существует). Введем открытые мно­

жества ап =

{х \ип >

Ѳф},

0 <

Ѳ <

1. Тогда ип^

Ѳ/?“'1и

J R$ dm — J

inf и,j dm =

l i m

J un dm ^

 

 

 

 

 

 

 

 

 

> 0 inf f

dm > 0

inf

f Яф dm.

Следовательно,

J R%dm'^ inf

J R§dm , и значит,

имеет

место знак

равенства. Предельное свойство для ея|

следует отсюда немедленно и, таким образом, J

Rqdm

есть общая

емкость.

 

 

 

 

 

 

 

 

Если функция ер супергармонична, то, используя а),

заключаем,

что J /?$ dm есть емкость Шоке. Внутрен­

няя емкость множества со есть sup

[ R§ d m =

Г R%dm,

 

 

 

 

 

 

К<=га •'

 

 

J

 

 

а внешняя емкость

множества е есть

inf I

R%dm =

 

 

 

 

 

 

 

 

со=эе ^

 

 

= J /?ф d

m ( 0 открыто).

 

 

 

 

 

 

 

 

с)

Свойство

монотонности

отображения

e^ -R %

(е cz £У) в течет за собой аналогичное свойство для у (е)

(см. гл.

V I,

конец п. 8). Мы используем сейчас_ана-

логичные рассуждения, а также

равный

1

на

 

по­

тенциал W (меры V, сосредоточенной в некоторой

окрестности границы ÖQ')- Пусть р„, р ассоциированы

с Щ? и R у е’1(еп cz й'). Тогда

 

 

 

 

 

 

 

Y(l)ert) =

j

Wdn=j

 

 

 

Kndv=

 

 

и по аналогичным соображениям Y(en)—>Y(Uen)-

 

Если

ё а

 

и а з е ,

â c £ l ',

то,

как

известно,

=

 

и

поэтому

І?* =

inf /?“«

Для

некоторой

убывающей последовательности (coj; отсюда инте­

грированием

по

мере dv получаем у(е) =

 

Y (®л)-

88

Ч. 1. Внутренняя тонкая топология

 

 

 

Итак, у (е) является в Q' весом с требуемыми

свойствами, а также общей емкостью.

 

 

Если функция

ер— супергармоническая,

то

функ­

ция

множеств у (/(), подобно R§,

строго

субадди­

тивна и является,

следовательно,

емкостью

Шоке.

Опираясь на предыдущие свойства, заключаем, что

соответствующие

внутренняя,

а

также

внешняя

емкости множества со (соотв.

е)

совпадают с у (со)

(соотв. с у (е)).

 

 

 

 

У п р а ж н е н и е. Для любого e c ë c Q существует

убывающая последовательность

открытых

множеств

такая, что

у (а п) —>у(е)

и

R^n—> R l

(ф — лю­

бая конечная непрерывная положительная функция). То же верно для внешней емкости, если ф супергар­ монична.

d) Характеризация полярных множеств является

простым следствием критерия = 0 '(ф > 0).

e) Осталось доказать свойство Шоке. Вместо пер­ воначального доказательства Шоке мы приведем другое, просто вытекающее из следующего резуль­ тата, имеющего и самостоятельный интерес.

5.

Л е м м а

V III.

13. Пусть даны множество е с Q

и точка

 

0 g Q .

Тогда

существует потенциал V, ко­

нечный вi

 

что для любой точки х е ё \ ё

 

 

х0 и такой,

 

 

V (у) -> +

оо

при г/ е е,

у -> X.

Доказательство.

Воспользуемся

потенциалом U

из теоремы V II. 6. (с мерой ц). Сначала предположим,

что е есть

база.

Сужения ц1= р \е,

р2 — р \Се имеют

конечные непрерывные

потенциалы

ии и2 и Ърх= \і\,

bp.(Се) = 0. Введем открытые множества ап п Се,

такие, что (ш„)-» 0, и положим ѵп = Ь^1| а„. Можно выделить подпоследовательность мер ѵ„ с потенциа­

лами Ѵр, для которых 2 Ѵр(х0) < + оо. Тогда ряд

і Ѵр решает нашу задачу: для

точки х е ё , х е Се,

lim inf Vp(y) — Ѵр (х) =

lim inf

(у) — З&Ь (х) =

у ^ е , у - > х

у ^ е , у - * х

 

= U (х) — % (х) > 0.

 

Гл. VIII. Применения к выметанию, весам и емкостям

89

Отсюда получается требуемое свойство для

2

ѵр.

Для

произвольного множества е имеем е ст ё =

В еЦ а,

где

а — полярное

множество. Сумма функции, по­

строенной

указанным выше

способом для В е, и по­

тенциала, бесконечного н а а \

(.ѵ0},

но конечного в „ѵ0,

и будет искомым потенциалом. Действительно,

ё с ё =

= .Bella и

ё \

Ве — [Ве \

Ве) U (ä \

Ве),

если ,ѵ0е е

и

х е е \ ё , то х ф х0.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

З а м е н а и и е.

Аналогично

существует

потен­

циал W, такой,

что в каждой точке х е

ё \ Ве выпол­

нено соотношение

W{y) —>- f - оо при

 

 

Дока­

зательство

то же

(надо взять

х0фе\

если e = Q,

то

ё \ Ве = 0 ).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Л е м м а

V III.

14.

Если

Ч '— неотрицательная, ло­

кально ограниченная функция, а

со — произвольное

открытое

мнооісество,

содержащее

 

ё \

ё,

то

inf ВжП°Ѵ'о) = 0, Ѵ,ѵ0.

 

 

 

 

 

 

 

 

0)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Доказательство.

Для

любой

 

точки

х ^

ё \ ё

и

любого X существует открытая окрестность а точки х

такая, что потенциал V нз предыдущей

леммы удо­

влетворяет на о Л е неравенству Ч; < XV. Если б—объе­

динение этих о,

то мы получаем Ч; > XV на öf]e, и

ЯчРѴ'о) <

XV (х0).

Следовательно,

inf Вт/1“ (.г0) =

0

(где

со =э ё \ ё,

со

открыто), и

это

0)

для

любой

верно

точки х0 ф е.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Тот же

самый

результат и то же доказательство

сохраняют

силу для

со го ё \ В е

при х0ф е (этот ре­

зультат можно

получить как следствие леммы).

 

Доказательство свойства Шоке получается теперь

просто. Мы

установим1 его

сейчас даже

при более

общих предположениях.

 

 

Т е о р е м а

V III.

15. Если

функция Чг

неотрица­

тельна и локально

ограничена, то следующие функ­

ции множества: Вѵ (*0) при любом фиксированном х0;

J Rb dm (х), где мера m ^ 0 не нагружает полярных

Смотрите также файлы