Файл: Брело, М. О топологиях и границах в теории потенциала.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 23.10.2024

Просмотров: 118

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

90

 

 

Ч.

1,

Внутренняя тонкая

топология

 

 

 

множеств и I

Gx dm Ф

 

оо‘, р, (Q),

где

р — мера,

соответствующая

R y, — являются все

весами типа

Шоке,

причем

последняя — в

любом Q' cz Q' cz Q.

Доказательство. Свойство монотонности всех этих

функций

является

следствием аналогичного

свойства

для

R{y.

Первый

 

вес

обладает

свойством

Шоке

со­

гласно

предыдущей лемме, в которой со следует

за­

менить

на ш'= со U Сё.

Далее,

существует

 

убываю­

щая

последовательность

множеств

(co,'t),

 

содержа­

щих С ё ,

такая, что для

всех х

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

inf R ^

(х) =

0,

 

 

 

 

так

что R^J]o>n-^ 0

квазивсюду.

Пользуясь

 

последо­

вательностью

 

j

, Q.pczQ ,

=

получаем для

подходящего

Я,

всех

п

и фиксированного

р,

что

J Re^ П"р dm ^ Я J Gx (y)dm(y) и, значит,

j R*y “ п П°P dm -> 0.

Выберем n = iip так, чтобы этот интеграл был < е/2-р.

Тогда J (и ш«рп”р) dm < е, и для второго веса вопрос

решен. Наконец, Д^,Пш'іП~ есть потенциал некоторой

меры рп (на £У)- Пользуясь тем же самым

W, что и

в части с) доказательства теоремы V III. 12,

находим

J ^ ПипП£2 d v = J W d\in= p„ (£2)—>■ 0, откуда получа­

ется свойство Шоке в Q' для третьего веса.

З а м е ч а н и е . Интерпретация полярных множеств как множеств, у которых вес А т(е) равен нулю для подходящей меры /п, приводит к следующему резуль­ тату:

Всякое тонко замкнутое множество является с точ­ ностью до полярного множества множеством типа Fa

Гл.

V III.

Применения к выметанию, весам и емкостям ■ 91

(см. предложение IV . 5),

а также множеством типа Gj

(гл. V II, п.

3).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6.

 

Некоторые

дополнения,

а)

Тонкая

топология

играет важную роль

при изучении

весов

возрастаю­

щих и в особенности убывающих последовательностей

множеств.

Например,

емкости А т{е), у(е)

из

тео­

ремы V III.

12 для убывающих тонко замкнутых мно­

жеств

е,„

содержащихся

в

компакте

R,

стремятся

к соответствующим емкостям множества П еп. Это—

следствие

равенства

inf R^n — Щ вп,

и

этот

результат

обобщается

на случай

направленных

семейств

{ef}

(см. Брело [30]).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Более

глубокое

изучение

весов R\ (х0), |

Rb dm

(для любой функции ff

 

V,

где V — супергармониче­

ская функция, удовлетворяющая условию J

V dm <

оо,

а мера т не нагружает

полярных

множеств)

для

убывающих е проведено в статьях

Брело

[27,

30,

32, 33], главным образом для случая неотрицатель­

ной супергармоннческой

 

функции XF.

Эти

веса обла­

дают свойством Шоке.

Ь) Статистическая разреоісенностъ. Нам встреча­ лись (см. теоремы V III. 12 и V III. 15) емкости, являющиеся также весами типа Шоке.

Т е о р е м а V III. 16 (Брело [27]). Следующие утвер­ ждения эквивалентны:

a) В пространстве Q множество е разрежено квазивсюду на множестве а (с т а т и с т и ч е с к а я р а з ­

р е же н н о с ть

на а);

 

 

 

 

 

b) i n f i ^ n° =

0

в какой-нибудь

одной

точке или

©

 

 

 

 

 

 

л

в каждой точке (или

то же

условие

для

)?,), т. е.

семейство {е П со)

(где

a — переменная

окрестность

множества а) является 1-исчезающим.

 

 

Доказательство.

В

самом

деле,

в силу

свойства

Шоке семейство (ef)ö)

будет

1-исчезающим для ок­

рестностей б множества С ё , т. е. множества тех точек

92

Ч. 1. Внутренняя тонкая топология

из С е , в которых е разрежено. Отправляясь от ста­ тистического свойства а), мы получаем то же самое для окрестностей следующих полярных множеств: 1) части множества а, где е неразрежено, 2) части множества е, где е разрежено. Отсюда и следует Ь).

Обратное просто. Исходим из Ь); если а0 — часть множества а, где е неразрежено, а со — переменная окрестность а, то е П со неразрежено на сс0, и, поскольку

R] — R], мы получаем

Я?0

inf Ri n “,

 

Я іПш. Следовательно, множе­

ство а0 полярно.

 

 

 

 

 

 

З а м е ч а н и е .

Эквивалентными условиями

яв­

ляются:

 

 

 

 

 

 

a) 1-исчезание тонких окрестностей а;

 

 

 

b)

существование супергармонической

функции

V >

0, сужение

которой на е

стремится к +

оо в точ­

ках

множества

а П ё (равно как аналогичное условие

с тонким пределом в точках а[)ё\

см. лемму V III.

13).

c) Некоторые определения и приложения (см.

Брело

[27, 30,

33]). А) Пусть

W — положительная

супергармоническая

функция

(с ассоциированной

ме­

рой р1Г/г). Полярное множество е называется W-поляр-

ным на Q, если

его внешняя

р^-мера равна нулю.

Эквивалентное требование: окрестности множества е образуют (^-исчезающее семейство.

П р и л о ж е н и е . Следующие утверждения эквива­ лентны:

1) Множество е разрежено на а всюду, за исклю­ чением ІѴ-полярного множества (W-статистинеекая разреоісенность на а).

2)Для окрестностей ю множества а в простран­ стве Q (равно как и для тонких окрестностей) семей­ ство {ef}(o} является ІѴ-исчезающим.

3)Существует супергармоническая функция U > 0, такая, что U (y)/W (у) (мы считаем это отношение равным + оо там, где U — W — оо) стремится к + °°

при у ^ е , у - > х ^ ё .

Аналогичный результат имеет место для тонких сходимости и замыкания.

Гл. IX . Дальнейшее изучение классической разреженности 93

В) Супергармоническая на Q функция W > 0 на­ зывается семиограниченной, если семейство е%=

= { х| Ц/>Л] является ІГ-исчезающим. Если

№ — по­

тенциал, то это эквивалентно

Ѵ^-полярности множе­

ства [W = + оо].

 

 

П р и л о ж е н и е (обобщение

результата

части а)

этого пункта). Если {ф(} — направленное по убыванию множество тонко полунепрерывных сверху неотрица­ тельных функций на й, которое мажорируется фикси­ рованным семиограниченным потенциалом V, то

inf = Rini

Глава IX

Д А Л Ь Н Е Й Ш Е Е И ЗУ Ч Е Н И Е

КЛ А С С И Ч Е С К О Й Р А З Р Е Ж Е Н Н О С Т И 1).

НЕК О ТО РЫ Е П Р И Л О Ж ЕН И Я

1.Выше была показана важность понятия разре­ женности для общих теорий типа теории выметания,

которые могут быть доведены до аксиоматического уровня. Естественно более глубоко изучить вопрос в классическом случае, что даст нам массу подроб­ ностей и примеров, полезных для классических при­ ложений. Мы будем рассматривать главным образом евклидовы пространства; обобщение на случай окрест­ ности точки на бесконечности легко получить, либо повторяя соответствующие рассуждения, либо исполь­ зуя инверсию и преобразование Кельвина. Аналогично можно рассмотреть и случай общего пространства Грина (непосредственно или каким-нибудь иным спо­ собом).

Напомним, что в пространстве Грина из разре­ женности следуют строгая разреженность и сверх­ разреженность.

') См. Брело [4, 5, 8] н Картам [2], а также приведенную в этих работах библиографию.

94

Ч. !. Внутренняя тонкая топология

З а м е ч а н и е о с о х р а н е н и и

р а з р е ж е н ­

н о с т и

или н е р а з р е ж е н н о е т и

при о т о б р а ­

же н ии .

Рассмотрим в R" ограниченное борелевское

отображение х>—> у == F(x) (это означает, что образ лю­ бого шара ограничен). Со всякой мерой Радона р можно связать другую меру ѵ, определенную усло­

вием I Q(y)dv(y) — J 0 (F (х)) dp (х), где Ѳ — любая

конечная непрерывная финитная (т. е. обладающая компактным носителем) функция. Мера ѵ называется образом меры р при отображении F; написанная фор­ мула сохраняет силу для любой rfv-суммируемой функции Ѳ.

П р е д л о ж е н и е

IX.

1.

Если

отобраоіеение F

биективно

и сохраняет расстояние

I х, — х2 \ с точ­

ностью

до

коэффициента

А(х,, х2),

причем 0 < а ^

<ІА,(Х|,

,Vn)^ß < +

°° ('V'h

х 2

лежат в окрестности х0),

то разреженность в точке ,ѵ0 эквивалентна разрежен­ ности образа в точке /7(х0) = г/0-

Доказательство. Имеем

 

 

 

J Іі{\у — Уі I) d v ( y ) =

I h{ l {x,

X,) IX

Xi |)dp(x).

Если

потенциал меры

p

конечен в х0

и стремится

к +

оо на е (при х - * х 0,

х Ф х0),

то потенциал меры ѵ

конечен в у 0 и стремится к

+ оо

на F (е)

(при г/ —> г/0>

УФ Уа)> и обратно.

Пр е д л о ж е н и е IX. 2. Если отображение F оста­ вляет точку х0 неподвижной, сохраняет расстояния

до

точки х0, а вообще расстояния

не увеличивает,

то

при применении отображения F

потенциалы воз­

растают, и поэтому множество, разреженное в х0, переходит в множество, разреженное в этой же точке.

П р и м е р . Отображение хн->г/ в R2,

где у лежит

на фиксированном луче,

исходящем

из точки ха,

а | у — х01= I X — х0\, удовлетворяет условиям пре­

дыдущего предложения.

 

 

Сделанные замечания позволяют нам,

отправляясь

от элементарных примеров,

строить много новых.

Смотрите также файлы