Файл: Брело, М. О топологиях и границах в теории потенциала.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 23.10.2024
Просмотров: 111
Скачиваний: 0
158 Ч. 2. Граничные теории и минимальная разреокенность
Пусть Е |
разрежено в X; |
согласно лемме XV . 4 |
|
мы можем |
считать |
его открытым. Тогда существует |
|
такая точка |
Z <= Q, |
что |
|
К х (Z) > R eKx (Z) = |
JК х (У) db!z (у) |
||
(см. гл. V I п. 12). Покажем, что мера bfz удовлетво ряет соотношению (2). Рассмотрим функцию Vz (x) =
= J К{х, y)dbfz {ij). Так как функция у ^ К ( х , у )
супергармоннчна и положительна, то на Е
У г (X) = К (X, |
Z) -> ?mK (X, Z) = |
J |
Кх (У) db?z (у) |
||||
|
|
при х —> X, |
|
|
|
|
|
что даже более точно, чем (2). |
|
|
|
|
|||
Обратно, |
предположим, |
что X |
лежит в ^.„-замы |
||||
кании множества Е и р |
удовлетворяет |
соотноше |
|||||
нию (2). Возьмем |
число у, заключенное строго между |
||||||
правой и левой |
частями (2), и окрестность 6 |
точки X |
|||||
в Q (б ф уо), |
такую, что | |
К (х, у) dp (у) > |
у на ö f|£ . |
||||
Тогда [ G(x, |
у) dp {у) > y G |
(я, уа) |
|
на б (\Е |
и для |
||
каждого X |
|
|
|
|
|
|
|
J G (х, у) dp (у) > y R a ^ (х) = у Щ Е (у0) = |
|
|
|||||
|
|
|
= у J |
G(x, |
y)dbl^(y). |
||
Следовательно, |
|
|
|
|
|
|
|
Кх {Уо) = 1 > у j Кх {У) dy (у) > Щ Е (у,).
Отсюда мы заключаем, что множество Е {] б, а также множество Е разрежены в X.
С л е д с т в и е . |
Для |
любой меры р ^ О на Q и |
любой точки |
|
|
6Гш- lim inf |
1 К (X, |
у) dp (у) = Г Кх (У) dp {у). |
Х е й , х->Х J |
J |
Гл. X V . Пространство Мартина и разреженность |
159 |
|
Т е о р е м а X V .7. Рассмотрим |
на пространстве |
|
Мартина Й конус Ф функций вида |
J Д'(х, У)^ц(у) ‘)> |
|
где (X— положительная мера на й, |
и конус Ф; |
суже |
ний этих функций на QUÂi - |
|
|
i) Тонкая топология, соответствующая |
и про |
|
странству QU Ai c топологией Мартина STm (она ин
дуцирована тонкой |
топологией, соответствующей ко |
|
нусу Ф на пространстве Й), |
совпадает с минимальной |
|
тонкой топологией «а QUA] . |
|
|
ii) Ф] состоит из + оо и |
полунепрерывных снизу |
|
(в топологии !7~т) |
продолжений на Q U А ( функций |
|
вида v/G' (х, у0), где |
ѵ — потенциал на Q. |
|
Доказательство. Утверждение іі) вытекает из пре дыдущего следствия. Что касается і), то разрежен ность, отвечающая Ф ,, в точках Q совпадает, оче
видно, с классической разреженностью. |
Для Е сд Q |
|||
эта разреженность |
в дочке Z e |
А, есть минимальная |
||
разреженность (предыдущая теорема). Согласно |
тео |
|||
реме X V . 3, тонкая |
топология |
на Q (J Аі, соответст |
||
вующая Ф 1 и Т ш, |
совпадает с |
минимальной тонкой |
||
топологией. |
|
|
|
|
З а м е ч а н и е . |
Теорема сохраняет |
силу, |
если |
|
G' (х, уо) заменить на GUa, и v/GUa определить в точке у 0
как lim inf |
в yQ по |
множеству й \{г/0}- Э то — след |
ствие того |
факта (см. |
гл. IX), что v/Gy, на множестве |
й \ [t/о) имеет тонкий предел в у0, равный упомяну тому lim inf.
У п р а ж н е н и е . Доказать без использования тео ремы X V . 3, что топология, соответствующая Ф І( является слабейшей топологией на QUA), индуци рующей классическую тонкую топологию на й и обладающей тем свойством, что окрестности любой точки І е Л, пересекают Q по множествам из %х .
Т е о р е м а XV. 8. Обозначим через Ф' семейство функций, полученных полунепрерывным снизу (в
‘) Определение функции К'{.к, у) см. в гл. XIV, п. 1, ііі).—
Прим, перев.
160 Ч. 2. Граничные теории и минимальная разреженность |
|
||||||||||||||
топологии Т п ) |
продолжением на |
|
функций вида |
||||||||||||
vjG' (х, уф, |
где |
ѵ — неотрицательная |
гипергармониче |
||||||||||||
ская функция на Q. |
Тогда |
семейство Ф' |
порозкдает |
||||||||||||
|
|
Q U |
А ] |
|
|
|
|||||||||
на |
Q 0 АI ТУ же тонкую |
топологию, |
что |
и Ф[, |
т. е. |
||||||||||
минимальную тонкую топологию. |
|
|
|
|
|
||||||||||
Это |
вытекает из следующего результата (Наим [1], |
||||||||||||||
теорема 7М6): |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Для |
любой |
неотрицательной |
супергармонической |
||||||||||||
функции V отношение vlGyo на |
|
имеет в |
любой |
||||||||||||
точке I g A! минимальный тонкий предел (г. |
е. |
пре |
|||||||||||||
дел по фильтру Z x), |
равный £Tm-liminf.Q |
|
|
|
|||||||||||
Доказательство. Будем предполагать, что указан |
|||||||||||||||
ный lim inf |
конечен. |
Обозначим его через Л. |
Нужно |
||||||||||||
доказать разреженность |
в точке |
X |
множества Ее,— |
||||||||||||
= {х 1V (x)/G ( X, |
у |
о) |
> |
Л + |
е, е > |
0, |
.ѵ ф у0]. |
Для |
вся |
||||||
кого і е |
£ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
V { х) |
(Л + |
е) Ще. |
(х) = (Л - f е) |
|
(г/0) — |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
I/O |
|
|
|
|
|
Л |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
— (А + е) [ Gx (y)dbfe, |
|||||
так |
что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
** |
|
|
Uo |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Далее, |
db*t(у)= |
|
|
|
|
|
|
у)d b ^ (уX) |
|
||||||
f Кх {У) |
|
lim inf |
|
f К (X, |
|
||||||||||
J |
|
ио |
|
|
|
Xs £2, .v->X J |
|
|
у0 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
< |
Т Г Г ^ т - |
lim inf |
— < 1, |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
" Г 8 |
j e E 1, X - > K G y a |
|
||||
и Щфх {уф)< |
1= Д х (іу0), чем требуемая разреженность |
||||||||||||||
и доказана. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
З а м е ч а н и е |
|
1. |
Предыдущим |
рассмотрениям |
|||||||||||
можно придать другую форму, если ввести, следуя Наим [1], некоторое продолжение на А отношения
G (х, y)/[G (х, уо) G (у, уф]. Мы получим на Q симме тричное ядро Ѳ (л:, уУ, соответствующие потенциалы неотрицательных мер определены na Q \ [уф (но могут быть полунепрерывно снизу продолжены в у0) и обра зуют конус, который порождает тонкую топологию,
Гл. X V . Пространство Мартина и разреженность |
161 |
совпадающую с минимальной тонкой топологией на QUAi - Ядро Ѳ оказывается полезным также при изу чении B LD -функций. (Дуб [6]).
В а ж н о е |
з а м е ч а й и е2 |
(Наим [1], теорема 8М7). |
||||||||
Последний |
результат предыдущей - теоремы стоит со |
|||||||||
поставить |
с |
поведением |
отношения |
vjK x |
(X е Ä J |
|||||
в точке X . |
|
Согласно |
теореме X II. 6, |
это |
отношение |
|||||
имеет |
минимально |
тонкий |
предел |
в |
X , |
равный |
||||
inf {vjKx), а также, |
очевидно, |
равный £Гш-1іт inf {v/Kx ) |
||||||||
в X . |
Кроме того, |
можно |
показать, что он совпадает |
|||||||
с р„ (IX)). Это вытекает из равенства рц ([X])=inf (ѵ/Кх)•
О
В случае когда ѵ есть потенциал, это очевидно, по скольку неравенство ѵ ^ &КХ (е > 0) невозможно. Для
гармонической |
функции ѵ это также легко получить, |
|
отправляясь от |
случая ptJ((X}) = 0. Тогда мы не можем |
|
иметь ѵ ^ г Д х , |
ибо отсюда |
следовало бы р ц ^ е р ^ . |
Наконец, в общем случае |
надо воспользоваться ад |
|
дитивностью величины іпі(ѵ/Хх)> вытекающей из того,
О
что она равна соответствующему тонкому пределу*
3. Строгая разреженность |
и неразреженность. |
|
Т е о р е м а X V . 9. На пространстве Q |JA i |
с тополо |
|
гией £Гт разреженность и неразреженность, |
отвечаю |
|
щая конусу функций ФІ; всегда |
строги. |
|
Доказательство. Для Q это известно. Для мно жества Е а Q, разреженного в точке X е Дь мы докажем строгую разреженность, построив меру р0 ■ на Q, такую, что
J K 'x d p o < |
+ |
° ° , |
I К ' (х, у) dp (у) -> ггт + |
оо |
(X <= Е , X -> X). |
Будем отправляться от меры р, удовлетворяющей соотношению (2); для некоторой убывающей последо
вательности ап |
открытых окрестностей точки I |
в Q |
|
и для сужений |
р„ |
меры р на сг„ П ß ряд 2 Рл Дает |
|
решение вопроса |
(подробное доказательство |
см. |
|
в Брело [33]). |
|
|
|
6 ' М. Брело