Файл: Брело, М. О топологиях и границах в теории потенциала.pdf

Гл. III.

Общие результаты о тонких пределах

29

теореме

II. 9

существуют окрестности ап точки ,ѵ0,

такие, что

е =

и(£мГ)<п)

строго

разрежено

в х0.

Следовательно,

С е

является тонкой окрестностью х0.

Если а — любая окрестность точки I в Q', то а го ап

при достаточно больших п.

Пусть л:<= ап Л Се Л Е сд Се„.

Тогда / ( х ) е а „

и,

следовательно,

f( i') e a .

Итак,

lim

Е

f =

l-

х-ь-Хо,

В *г=СеЛ

£У — это

расширенная

числовая

случае когда

ось R, можно получить более сильный результат для

функции

f,

определенной

на

множестве Ё , неразре­

женном в ха<£Е.

Т е о р е м а

III. 2.

Пусть f — вещественная функция

и тонкий

lim sup / — X. Предположим, что выполнены

условия

лі:)-» а-0,

х і = Е

и

іі). Тогда существует такая тонкая

окрестность

V

точки х0, что

lim sup f =

Â.

х- Хц.

Доказательство. Для любойі-фиксированнойl e f i f l V

тонкой

окрестности

V

имеем

Я, =

тонкий

lim sup

lim sup

f.

x ^ x 0, X f = E

j e E H l '

lim sup

тонкий

lim sup f.

веще­

Пусть A „—a -*.убывающаяv0, л -еЕП У

последовательность.t—».v0,

x<=E

ственных чисел, причем А,,-»

Л.

Для

любого и имеем

su p f< !A „ в некоторой тонкой

окрестности точки х0.

Поэтому множество еп— (і е

Е |/(.ѵ) > А„)

разрежено

в х0 и, следовательно, строго

разрежено в х0, Ѵ/г.

Но тогда можно найти убывающую последователь­

ность б„ окрестностей точки

такую, что е =

(J (епП 6 J

будет строго разреженнымЛ'0,в х0. Поэтому

С е

будет

тонкой окрестностью х0 и С е f) б„ сг С е п.

Следовательно, Ѵ/г,

sup

/ < А „,

inf

sup

/<А/г

х е 0 ,гП £ЛСе

6 А е б Л £ Л Се

и, значит,

inf

sup

с

т. е.

lim sup

fs^A ,

откуда и

б

X

G бП

Е

П С

X

-> .ѵ'о,

X

s

Е

П С

е

следует

требуемое

равенство.

З а м е ч а н и я ,

і)

Пусть

V — тонкая

окрестность

окрестности

er V имеем

->

lim sup

/ =

lim sup

f — %.

■ '

Действительно-V0,,

X

s

V

!П

E

X

’

e

у

f)

E

X

x0, X

lim sup

lim sup

/ =

A.

Но

-v->Л'о,

Иш sup

/^тонкий

lim sup

f =

A;

іеКіПЯ

,v->.v0, Д:e£

отсюда и следует наш результат.

іі) В предположениях і)

и іі)

теорем III. 1 и I I I .2

пусть

fn— последовательность

вещественных функ­

ремы III. 1 пли III. 2

имеет место по отношению к f,L.

Можно

найти

убывающую -

последовательность б„

окрестностей точки

такую,

что е = и ( С И я Г Ш

будет разрежено в х

0. Тогда С е

будет тонкой окрест­

а'0,

ностью

точки ,ѵ0, причем С е

б„ сі Ѵп для каждого п.

Следовательно,

Се

обладаетП

требуемым свойством.

ное значение

f на множестве Е , неразреженном

в х0ф Е , где

f — функция на Е е= Q со значениями

Гл. IV . Квазитопологииеские понятия

31

i i ) в точке л*о

неразреженность

влечет

строгую

неразреженность,

iii) в каждой точке Q' имеется

счетный базис

окрестностей.

Доказательство.

Пусть аа— убывающая последо­

вательность окрестностей точки J, в Q' и еп =

f-1 (ап).

На

ер,

р ^ п , имеем

f (.v) с= ар cz er;

следовательно,

со

то

же

верно на ( J (ер \

бр)

и, значит,

на Ьп{\е. Итак,

р = п

f — > X, X £= е, X — > X q.

Глава

IV

К В А ЗИ Т О П О Л О ГИ Ч Е СК И Е П О Н Я Т И Я ')

теоремы типа

Лузина (А.

Картан[1]), а именно что

в R3всякий потенциал допускает непрерывное сужение

на множество,

дополнение

к которому имеет сколь

зована Шоке в теории потенциала

с более общими

ядрами (Шоке [4],

см. также Брело [20]). С другой

стороны, в

одной

теореме

Шоке [6] утверждается,

что

точки

множества Се (для определенности в R3),

в

которых

е разрежено,

могут

быть заключены

в открытое множество со так,

чтобы со П е имело сколь