Файл: Брело, М. О топологиях и границах в теории потенциала.pdf

Мы сейчас докажем большее и более глубоко проникнем в суть вопроса, введя некоторые новые понятия (при этом мы ограничимся здесь рассмотре­

/г-регулярностей эквивалентна существованию соот­ ветствующей функции о лишь в окрестности точки X . Однако легко видеть, что обычная /г-регулярность влечет за собой слабую /г-регулярность и вытекает из сильной. Далее, слабая /г-регулярность эквива­ лентна условию G,jJ/i— ->0 (очевидно, не зависящему

от уо), а сильная — условию R k {6nU)/ 0 для любой окрестности б точки X.

Если фильтр 5' задается пересечениями множе­ ства Q с (тонкими) окрестностями точки X, то эта точка называется соответственно (тонкой) слабо h-pe-

оісдое из следующих подмножеств в Д[ является h-npe- небрежимым:

a) множество (тонких) слабо h-иррегулярных точек, b ) множество тонких h-iipрегулярных точек,

c) множество тонких сильно h-иррегулярных точек.

186 с/. 2. Граничные теории и минимальная разреженность

Доказательство. Первое утверждение вытекает из теоремы X V I. 13, а кроме того, является следствием двух других. Второе утверждение было уже доказано выше; кроме того, оно также является следствием последнего утверждения, которое мы и докажем. Рас­ смотрим счетный базис открытых множеств простран­

ства й и обозначим через 6„ те из множеств этого базиса, которые пересекаются с ДіТогда отношение

д Р (6ппа)I h тонко стремится к нулю на 6ЯЛ Д( всюду, за исключением некоторого А-пренебрежимого мно­ жества еп (теорема X V I. 13, следствие 2). Следова­ тельно, U е„ А-пренебрежимо и содержит все тонкие сильно А-иррегулярные точки.

ними. Тогда сильная A-регулярность фильтра 5, схо­ дящегося к Х е Д | , эквивалентна A-регулярности этно-

тонкой границы можно получить лучшие результаты, чем для обычной евклидовой границы (гл. IX, п. 8). Данная гармоническая в Q функция и является реше­ нием D f, ! в том и только в том случае, когда она

равномерно интегрируема относительно гармониче­

ских мер ц“ г (здесь — относительно компактная

область в й и х0есй г). В этом случае функция f Рі-почти всюду равна тонкому пределу и.

Супергармоническая функция, которая щ-почти всюду имеет нулевой тонкий предел, будет потен­ циалом в том и только в том случае, когда она обла­ дает указанным выше свойством равномерной инте­ грируемости. Это легко обобщается на случай отно-

которые результаты могут быть получены с помощью важной теоремы Наим, согласно которой при усло­ вии АЛ общая задача Дирихле из п. 1 эквивалентна соответствующей задаче Дирихле для границы Мар­ тина (так как с точностью до двух /г-пренебрежимых множеств существует взаимно однозначное отображе­ ние исходной границы на Лі). Граница А наряду с евклидовой является наиболее важной из компакт­ ных границ, и было бы желательно провести более глу­ бокий сравнительный анализ этих границ, чем это сделано до сих пор. Конечно, основной топологией остается тонкая топология.

Имеются очевидные обобщения на случай функ­ ций комплексного переменного и важные приложения к римановым поверхностям (напомним, что гипербо­ лические римановы поверхности являются простран­ ствами Грина), а именно к проблеме соответствия

188 Ч. 2. Граничные теории и минимальная разреженность

между двумя гиперболическими поверхностями и их границами Мартина (см. Брело [17, 18, 29], Наим [1], Константинеску и Корня [1], Дуб [5, 7]).

В следующей главе будет предпринято более глу­ бокое изучение тонкой топологии и будут рассмот­ рены связи с более ранними классическими резуль­ татами.

Глава XVII

СР А В Н ЕН И Е Д В У Х ТИПОВ Р А ЗР ЕЖ Е Н Н О СТ И . ТО Н КИ Е И Н ЕК А СА Т ЕЛ Ь Н Ы Е П Р ЕД ЕЛ Ы (К Л А ССИ Ч ЕСК И Й С Л У Ч А Й . ПРИМЕРЫ )