Файл: Брело, М. О топологиях и границах в теории потенциала.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 23.10.2024
Просмотров: 95
Скачиваний: 0
Г л. IV . Квазитопологические понятия |
33 |
Будем говорить, что некоторое свойство имеет место р-квазивсюду, если оно справедливо всюду, кроме множества е с р(е) = 0.
Имея дело с фиксированным весом р, мы будем писать просто „квазиоткрытое“ и т. д. вместо „р-квази- открытое“ и т. д.
П р о с т е й ш и е с в о й с т в а . П ред л о ж е н и е IV . 2.
а) Если множество а квазизамкнуто (соответственно квазиоткрыто), то функция квазиполунепрерывна сверху (соответственно снизу).
Доказательство. Пусть а квазизамкнуто. Рас
смотрим замкнутое |
ß er а, такое, |
что |
p ( a \ ß ) < e . |
|
Функция |
полунепрерывна сверху, |
а функция |
||
Xa | C ( a \ ß ) |
равна |
на C ( a \ ß ) . |
Следовательно, |
|
Ха квазиполунепрерывна сверху.
b) Если вес р непрерывен справа, то верно также обратное.
Доказательство. Рассмотрим открытое множеством с р(е) < е, такое, что функция %а \С е полунепрерывна сверху. Тогда функция хй\ е также полунепрерывна
сверху, так что а \ е замкнуто.
c) Пусть вес р непрерывен справа. Если функция f
квазинепрерывна, то множество f~ l (со') квазиоткрыто для любого открытого множества со': если f квази полунепрерывна сверху, то множество {х|/<А. ) при любом к будет квазиоткрыто.
Доказательство. Для доказательства первого утвер ждения рассмотрим открытое множество е с р (е) < е, такое, что функция f \С е непрерывна; тогда множество
f -1 (co')nCe |
открыто в Се, |
и поэтому (/-I |
(co') fl Се) U е |
открыто. Таким образом, |
/-1 (co') содержится в этом |
||
открытом |
множестве с |
точностью до |
множества |
веса ^ р (е).
Рассуждение для второй части аналогично.
d) Пусть вес р счетно субаддитивен. Если для
функции f: Q —> Q', где Q' имеет счетный базис, f~ l (а/) квазиоткрыто для любого открытого со', то f квазине прерывна. Если для вещественной функции f множество2
2 М. Брело
34 |
Ч. 1. Внутренняя тонкая топология |
{л: I / (лг) < Я} |
при любом % квазиоткрыто, то f квази- |
полу непрерывка сверху.
Доказательство. Для доказательства первого ут верждения рассмотрим счетный базис (ш„) открытых
множеств |
Q'. |
Пусть еп а |
Q — такое открытое множе |
||
ство, что |
f |
1(со,,) cz еп |
и |
р (еп \ |
Г ‘ (“ »)) < Ф '1- Рас |
смотрим множество А = |
и ( е » \ г ' |
(со,,)). Имеемр(Л)<е. |
|||
Достаточно убедиться в том, что для любого п мно
жество |
/-1 (©„) Г) С/1 открыто в С А. Но это следует |
из того, |
что f_1 (со,,) П С/1 = е„ П С/1. Аналогично полу |
чается второе утверждение, но только вместо со,, следует воспользоваться множествами (х|/< Л „), где числд %п образуют плотное множество.
Подчеркнем, что в случае непрерывного справа веса можно, как это делают некоторые авторы, в определении квазиполунепрерывности считать мно жество а открытым. Поэтому представляет интерес следующее замечание.
З а м е ч а н и е . |
Определим внешний вес р* сле |
||
дующим |
образом: р '{ е ) = inf р (в>) ^ р {е), где ©— от- |
||
|
|
|
е |
крытое |
множество. |
Внешний вес всегда непрерывен |
|
ш=> |
|
||
справа. Он будет тонким или счетно субаддитивным,
если р является таковым. Отметим, |
что (р‘)* = р*. |
К л а с с и ч е с к и й п р и м е р в R" |
(я 3). Описан |
ная выше тонкая топология совпадает с так назы ваемой классической тонкой топологией. Внешняя ньютонова емкость является весом, непрерывным справа, счетно субаддитивным и тонким. Как мы увидим ниже, последнее свойство не столь элемен тарно, как первые два. Напомним, что множества нулевой емкости совпадают с полярными множе ствами. Более подробно см. об этом гл. V I —V III.
3. Сравнение квазинепрерывности и тонкой непре рывности. Докажем сначала одну простую теорему, достаточно известную в классической теории потен циала (см., например, Дени и Лионе [1]).
Т е о р е м а IV. 3. |
Если вес р гонкий, то всякая |
|
р-квазинепрерывная |
функция /; П -> |
тонко непре- |
Г л. IV . Квазитопологические понятия |
35 |
рывна р-квазивсюду, а всякая р-квазиполунепрерывная функция тонко полунепрерывна р-квазивсюду.
Доказательство. Выберем множество <хп так, чтобы функция f |Cct,i была непрерывна и чтобы р (а„) < 1/п. Тогда р(й„)<1/л и р(Пй„) = 0. Если х ф [)5 „, то существует такое п0, что х ф й„0. Множество Сй „0 тонко открыто, а функция f |Сй„0 непрерывна и, следовательно, тонко непрерывна в х. Поэтому функ ция / на £2 также тонко непрерывна в х и, значит, тонко непрерывна р-квдзивсюду в Q. Доказательство для случая полунепрерывности аналогично.
С л е д с т в и е . Если вес р тонкий, то для всякого квазизамкнутого множества а имеет место равенство р{а \ а) = 0. Аналогичный результат верен для квазиоткрытых множеств.
Доказательство. Функция %а квазиполунепрерывна сверху (см. предложение IV . 2, а)); следовательно, она тонко полунепрерывна сверху вне множества е нуле вого веса. Далее, в любой точке r e â \ a функция %а равна нулю, в то время как ее тонкий lim sup равен 1, так что она не будет тонко полунепрерывной сверху в точке X . Таким образом, о \ а с е .
У п р а ж н е н и е . Дать прямое |
доказательство |
последнего следствия. Для случая, когда Q' имеет |
|
счетный базис, а вес р непрерывен |
справа и счетно |
субаддитивен, вывести из него теорему IV . 3.
4. Свойство Шоке. О п р е д е л е н и е IV . 4. Для данного веса р свойство Шоке состоит в следующем: всякое тонко открытое множество является р-квази- открытым (или всякое тонко замкнутое множество является р-квазизамкнутым).
-Эквивалентная форма свойства Шоке такова:
(а) Для любого множества е и любого е > 0 тон кая внешность в может быть заключена в открытое множество со, такое, что р (со (] е) < е.
Заметим, что отсюда вытекает такое свойство:
2*
36Ч. 1. Внутренняя тонкая топология
(ß)Всякая вещественнная функция со значениями О или 1, тонко полунепрерывная сверху '), квазиполуне прерывна сверху.
Если вес р непрерывен справа, то, обратно, (ß)
влечет (а) и является, следовательно, эквивалентной формой свойства Шоке.
Вес, обладающий свойством Шоке, будем называть
весом типа Шоке.
П р е д л о ж е н и е IV . 5. Если вес р — типа Ш оке, то всякое тонко замкнутое множество есть объедине ние множества типа F0 и множества нулевого веса. Если р к тому же непрерывен справа, то всякое тон кое борелевское множество есть объединение борелевского множества и множества нулевого веса.
Доказательство. Первая часть очевидна. Что ка сается второго утверждения, то заметим, что тонкие борелевские множества образуют по определению сг-алгебру, которая является наименьшей ст-алгеброй, содержащей все тонко замкнутые множества. Множе ства, являющиеся объединением борелевского множе ства и множества нулевого веса, также образуют сг-алгебру (это следует из рассмотрения счетного пере сечения и дополнения к счетной сумме таких мно жеств). Эта а-алгебра содержит все тонко замкнутые множества и, следовательно, всю тонкую борелевскую o-алгебру.
П р е д л о ж е н и е IV . 6. Если |
вес р тонкий и типа |
Шоке, то, каково бы ни было в > |
0, любое множество е |
можно представить как объединение множеств ву и е2, таких, что р (ё\)^ р (е) а р (е2) < в.
Доказательство (такое же, как в оригинальной работе Шоке)' Тонкое замыкание ё содержит замкну
тое множество е0, |
такое, что р (ё \ |
е0) < в, причем |
р (е0) ^ р (ё) — р (е). |
В качестве ех мы |
возьмем е (1 е0, |
а в качестве е2— множество е \ е 0. |
|
|
‘) Можно предполагать тонко полунепрерывным сверху лишь сужение этой функции на дополнение к множеству нулевого вес а
Гл. IV . Квазитопологические понятия |
37 |
5.Эквивалентность квазинепрерывности и тонкой
непрерывности |
квазивсюду. Т е о р е м а |
IV . 7. |
Пусть |
|
вес р — типа |
Шоке и счетно |
субаддитивен. |
Тогда |
|
всякая функция f : Q —>Q', где |
имеет счетный базис, |
|||
тонко непрерывная р-квазивсюду (или |
даже |
такая, |
||
сужение которой на множество Е с р (СЕ) = 0 тонко непрерывно) будет р-квазинепрерывной. Всякая вещест венная функция f, тонко полунепрерывная (сверху или снизу) р-квазивсюду (или даже функция, сужение которой, аналогичное указанному выше, тонко полу непрерывно) будет р-квазиполунепрерывной (сверху или снизу).
Доказательство. Предположим сначала, что f тонко непрерывна. Рассмотрим базис (со„) открытых мно
жеств в Q', п о л о ж и м |
еп — |
(а>п) и выберем открытые |
||||
множества е'п по еп так, чтобы р (е'п \ |
еп) < |
е/2". |
Поло |
|||
жим Е = (J (eh \ |
еп). |
Тогда |
р ( Е ) < г . |
Покажем, что |
||
функция f \СЕ непрерывна.-Рассматривая |
прообразы |
|||||
открытых множеств в Q', видим, что достаточно убе |
||||||
диться' в том, |
что |
ел( ] С Е |
открыто |
на С Е . |
Но это |
|
следует из того, |
что епП С Е — е'пf] С Е '). |
|
|
|||
Пусть теперь для некоторого множества а с р(а) — 0 |
||||||
функция f jC a |
тонко непрерывна на С а . |
Применим |
||||
предыдущий результат к функции / на С а , |
используя |
|||||
тот же самый вес р и индуцированную топологию. Мы получим, что f квазинепрерывна на Q \ а и, сле довательно, на Q. Аналогичные рассуждения можно провести в случае, когда f тонко полунепрерывна сверху (или снизу), рассмотрев множества {х \f < Я„), где {Я„] всюду плотно, и открытые множества е'п тэ еп, такие, что р (е'п \ еп) < г/2п.
Д а л ь н е й ш и е с в о й с т в а э к в и в а л е н т н о с т и -
Из теорем IV . 3 и IV . 7 и определения IV . 4 (в форме (ß)) вытекают две следующие теоремы:
Т е о р е м а IV. 8. Предположим, что вес р — тон кий, счетно субаддитивный и типа Шоке.)*
*) Это рассуждение принадлежит Дубу. В классическом примере и. 2 мы получаем для ньютоновых потенциалов свойство квазинепрерывиости, указанное А. Картаиом.