Файл: Фотиева, Н. Н. Расчет обделок тоннелей некругового поперечного сечения.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 23.10.2024

Просмотров: 96

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

Интеграл типа Коши от этого выражения равен:

 

 

-/Ях

 

 

 

 

 

 

 

 

П Т

 

da

 

 

 

 

2 п

i J ю'

( R 1 о)

ф '(Ях <*)-0 —Г]

 

 

 

 

г

 

л + 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

•*».

*—фЧ ^ хЛ) У

p^ lgA

,1,

> 11 вне Г;

 

 

 

 

 

1 И 0

 

 

 

А= I

 

 

 

А= I Я Ц — «ft

 

 

(1.62)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

- 8 а " s W

,

 

 

Т| внутри

Г.

 

А =

0

 

 

 

 

 

 

 

 

Запишем далее произведение

 

 

 

 

^ГТТГТ

 

* Г * " ’ ° -

ft-

1 = {К +

h[a + ... +

К о»)х

® ^ 1 °) aS ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

х ( Л Я г 2 0 - 2 + 2 Л2 R -

3 а -3 + ...+ (л —2 )Лп _ 2 Я?

+ 1

а~л+ Ч-

+

У - Hl- 8± . у

k A k R r k ~ 1 o ~ k ~ x.

 

 

^

R ^ —аь ^

 

h

 

 

 

 

* = 1

1

я *=о

 

 

 

 

 

Коэффициенты при положительных степенях а выра­ жаются следующим образом:

в;= АхR r 2К +2Л2ЯГ 3Л;+...+(л—2) Лп_2ЯГ П+:1A»-i =

=б2 2 v ^ B r (v+1)/iv+i;

в ; = л Г яГ 2 л; + 2А2Яг 3 к + • • ■+ (Л - 2)Лп _ 2 Яг " + 1 Лп =

= 6 а ” 2

v H ^ r< v+1)^ + 2 ;

 

 

v = о

 

 

В„ - 2 =

Я г2

К-

 

Итак,

 

л — (А+1)

„

В* = 6 ft+i

2

v A ,# r (v+1)^+A + i(& = 1 , 2 ,

п — 2 );

 

 

v=o

(1.63)

 

 

 

 

 

л — 2

 

 

в 0= б2 2

v A , B r (v+1) /K + i -

 

 

v = о

 

 

Коэффициенты при отрицательных степенях а имеют вид

49

В ' - ^ А г Я г ^ К ± 2 A 2R r 3K + ...+

+ ( п - 2

) л „ _ 2 ^ - « + 1 / г '_ 2= б 2

2

2 vA , a x - (v+I) ;

 

 

 

v=o

5 1 2 = Л ^ Г 2 Л; + 2 Л2 ^ Г 3^ + - +

 

+ .(я—2 ) Л„ _ 2 R ^ n +

1 /гА—з = 6 2

л — 2

2

v4v/ ^ _ i £ r (v+,) ;

 

 

 

v = 1

Таким образом,

 

 

 

В 1 а = 6 2

2 2 v A , t f r

( v + 1 ) ^ - A +

i

(k = 1, 2 , ... , п — 1 ) .

v = A — 1

(1.64)

Следовательно, упомянутое произведение можно предста­ вить в форме

—( Ri \

П— 2

 

 

 

 

 

 

 

л — 2

 

СОI

I

 

 

 

 

 

 

 

 

V 1

'

А = 0

 

 

 

 

 

 

 

А = 0

 

я — 1

 

 

я + 1

„

/

л —2

 

 

 

 

 

f 6 1 У В 1 * о -* +

У

#l£A

У

М Л/?Г ‘ - > 0 ^

. (1.65)

k= 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Учитывая (1.58) и (1.62),

получим

 

 

 

 

 

 

 

 

- ( R 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

со

—

 

 

 

 

d a

 

 

 

v

a

'-я ; ( а д

 

 

 

 

2 ni

a —ri

 

 

 

J со'

 

a)

 

 

 

 

 

 

г

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

л - ы

 

/

 

 

oo

ALkT] —k

 

— t

 

 

/..i

 

- “>•

 

 

2

 

 

 

 

 

 

* .

 

 

-db„

 

 

 

 

" + l

 

*

l S ;

x

 

2 B i » n - ‘ +

2 \ ^ii1

 

 

 

 

—aft

 

 

 

\ k = \

 

 

 

 

 

 

 

 

л — 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

X

У

 

 

 

 

 

),

 

г] вне Г;

 

A = О

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

п — 2

 

 

 

2

 

 

 

Л внутри

Г.

- ^

2

2 4feT)* +d8 2

 

 

 

 

А = 0

 

 

А = О

 

 

 

 

 

50

Интегралы типа Коши от остальных членов граничного условия (1.50) выписаны ниже:

 

 

2 ш

QARi°y а

d a

 

 

 

 

—

ц

 

 

п+ 1

 

 

 

 

 

 

 

*'(*■’« 2

^

-

2

А = 1

 

 

 

 

 

й=1

^ т 1 - а Л

 

 

 

 

-j-d6 s

П—I

 

 

 

л+ 1

 

 

2

в - . « г * л - * + 2

^

 

 

 

_ft= 1

 

 

 

* = I

 

 

 

 

 

 

 

 

 

л + 1

 

X " 2

kAhR r k- ' i )

-ft—1

+ 2

 

# 1

ft = 0

 

 

 

 

 

*= i

 

l

°°

chR ~ k x\~k,

г\

вне

Г;

 

 

—-—

У\

 

 

d * = i

Л- +

X

■«л

8k

^ Ю -

T1 — «ft

 

 

 

o,

г) внутри Г;

 

l

R

i \

f—RRir]-1,

rj вне Г;

d a

y i qhR r kyt ’

 

2 n i J

\

a )

а—Ц |R

Л внутри Г.

г

 

 

1

*=i

 

Подставляя полученные значения интегралов в проин­ тегрированное при т] вне Г граничное условие (1.50), имеем

 

 

оо

 

Л+ 1

 

 

г

 

 

 

 

 

 

k=i

 

k= i

 

 

 

 

 

 

—t

n+ 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ST, Ki4\—«ft

ft= 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ft= l

 

 

 

 

 

 

 

л - 1

Л+ 1

 

/

 

n — 2

>—ft —1 n—A— 1

 

- g?6 ,

2

в - ^ ‘ + 2

* ^ : 2

^

+

г ‘ - ' Ч

 

ft=l

ft=l

Яш —«ь

 

 

 

 

 

1 1

ftft= 0

 

 

 

 

+ t

 

n+l

8h

 

 

 

 

ft n - f t

 

+

 

ф'№ л) 2

 

 

 

 

 

 

 

- У Л_к^ г *т)

 

 

 

 

n—1

 

 

 

 

Л +

1

 

 

 

 

"j" c?62

 

 

 

 

 

x

 

 

 

n — 2

 

 

 

 

n+l

 

gft

 

 

 

 

 

 

 

+ 2

 

)-

 

ft—о

 

 

Ri n—«ft r ; k

 

 

 

 

 

*=i

 

 

 

 

 

51

— Г 2 ch R r k i \ ~ k = p R R i i r 1-

 

d

k=\

 

 

 

После приведения подобных членов получим функцио­

нальное уравнение:

 

 

 

П-\- 1

/

 

 

t

Rigk — gk

2 (Л1 * - Я Г М _ * )т гА +

ф'№ п) 2 D

 

 

A

- ah

к = 1

 

 

п — 1

 

п + 1

_ /

 

+ d6 2 2 (В 1*-/?Г *Я -*)ГГ *+ 2

X

 

_k= \

 

k = 1

Pi Л —«ft

х

k=Q

л- *-1

+Д ск(/??+т/?гй)т,-А+

 

ГС-1- 1

R i g k — g k

P'1{ah) = - p R R 1r\-1. (1-66)

 

 

 

/г= 1

Ri4 —«ft

 

 

Подставив значения интегралов типа Коши в граничное

условие (1.50), почленно проинтегрированное в предполо­ жении, что точка г| расположена внутри контура Г, получим

 

(О

А

 

 

п+ 1

 

- ( 1

- Со

 

11

г ;< я .ч > - ! г т

 

со'

( R i V )

р ; м + ! *

Ri4

 

 

 

^

Rill—«й

 

 

 

п — 2

 

 

-

I 1

 

 

 

 

 

 

О)

 

 

 

 

+ А У . 4 . R 14s + ' 6« —

 

р ; № ч) +

 

 

k=0

_

 

 

 

 

 

 

 

п 1

p; (a^-rf68V v ? J * l fc+

 

 

 

, 'V

 

g h

 

 

 

 

ЛгЛ — «ft

 

k=0

 

 

 

 

 

 

 

n — 2

+

— c0 —

 

 

+ / ф( — W d 6 2 2

 

 

 

-/6a "2 AS 4k+ db2"2 в'кЛ* = -/>£ 2 ft Rr kл*.

 

 

ft= 0

 

 

ft= 0

 

 

ft=l

 

После преобразований

имеем

 

 

 

 

 

 

 

s ф

P „

, + A

2 2AkR r kr\k-

 

 

 

 

 

 

ч

>

*=o

 

 

 

 

+ db2" 2

(Bk -

R1 Bh) ^ - t b 2" 2

^ л6-

 

 

 

 

ft= 0

 

 

 

ft = 0

 

52

Смотрите также файлы