Файл: Фотиева, Н. Н. Расчет обделок тоннелей некругового поперечного сечения.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 23.10.2024

Просмотров: 97

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

 

 

n — 2

RA

-

( l

 

■<u,

(01

“ ю

и -

 

^ »

д , - ‘ ч Ч ^ 11

 

r

1'1' p,(R.4>-

П+ 1

 

ft= 0

< *> ' ( *1

4)

 

 

 

 

 

 

 

- 2

,

 

Г p i <“*>+» .= -

p r

У,

* Rr* ч‘- o-67)

■“

7\1

4--«ft

 

■“

 

ft= 1

 

 

 

 

ft= 1

 

3. Составление системы линейных алгебраических уравнений

Полученные функциональные уравнения (1.66) и (1.67) в качестве неизвестных содержат функции ф (т]) и Рг (т]), которые определяются разложениями в соответствующие ряды с неизвестными коэффициентами av, <V Чтобы полу­ чить систему линейных алгебраических уравнений отно­ сительно av и cv, необходимо разложить все члены уравне­ ния (1.66) по отрицательным степеням тр а члены (1.67) — по положительным степеням ц и в каждом из них приравнять коэффициенты при одинаковых степенях переменного тр

"tJ R^k - Bh в ряд по отрицатель­ Разложим выражение ^ Ящ — “ft

*=i

ным степеням г). Учитывая разложение

оо

,т+ 1

=2 «ft1- RTmх\~т->

т—1

получим

2

(# ig'k— gk)(Rx4— ah)-l =

2 (Rigk— gk) х

 

* = 1

 

 

 

* = 1

 

 

т— 1 г>—т ~

oo

rt-f-1

 

. . V 1

=2

2 (Rigk—gh) a k ~ l R7m-

X 2l

ak R 1

11

m= 1

 

 

m=1

£ = 1

 

 

Это соотношение можно представить в виде

 

 

я+ 1

*1 8 ь-_8 к = — у

c*mRTmn

( 1.68)

 

у

 

М

 

— ah

**

 

 

 

k—1

 

 

т~1

 

 

53

где коэффициенты Cm определяются формулой

 

 

 

 

П-j-I

 

 

 

(1.69)

 

Cm — Ri 2 (^1

8k

8к) ак

 

 

 

 

А=1

 

в (1.66) выражение ALk —

Рассмотрим далее входящее

A - k R j k. Согласно

(1.60) и (1.32)

 

 

ALk- R J k A - h= 2

(v + £— l)av+*_, (RTiv+k)h'v- R T khv) =

 

 

v=0

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

= RTk2 (v + &— 1) (R^v h'v— hv) av+k~\.

Тогда

 

V=0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

oo

 

 

00

 

 

 

 

n

 

2 iA-m —RTmЛ_т)т]~т= 2 RTm2 (v +/n—1) x

m=1

 

 

 

 

m=I

v=0

 

 

 

 

 

 

 

 

OO

T"* X

X(RtvK—hv)av+m- 1KTm= 2

/г-f (m—1)

 

 

 

 

m=1

 

Vdv(/?-(v-m+1) Av'_m+! _/iv_m+j).

X 2

 

v=m—1

 

 

 

 

 

 

Разложим

по отрицательным степеням

т] выражение

tl-\~ 1 n

 

t

 

 

 

 

 

 

ч>'(Я,ч)

I Т1 —«ft

 

 

 

 

ft=l

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ф '

( R i 4]) = — 2

vav R Y v~ l

 

 

 

 

 

V — 1

 

 

 

 

Тогда, учитывая формулу (1.68), получим

 

 

 

 

 

И+ 1

_

/

 

 

 

 

ф'(ЯхТ1)

Rigk—gh =

 

 

 

 

-«л

 

 

 

 

 

 

 

 

оо

 

 

 

 

 

оо

 

 

= 2 wv^rv~‘ Л- ''- 1

2 с*т R~m ц~т=

V = 1

 

 

 

т = 1

 

 

оооо

= 2 42 vav £f-(«H-v+1)- ri(m+ v+ 1>=

т — 1 v — 1

оо

оо

 

 

= 2

2 cm-v-ivavRrm,n_m=2 RrmyГтх

m=v+2 v= 1

 

m=v+ 1

X 2 Vflv 4 - V - 1 F =

 

m—2

2 ^T m rl_m 2 vav c*m-v -i.

v=l

 

m= 3

v = l

54

Таким образом,

имеем

 

Л+ 1

„ '

ОО

*'' <fi‘ ''О 2

-

2 <л1‘ ■- «г*■- м ч-‘ -

А= 1

1 я

А= 1

=2

Дги*г,п2 vavСш-v-i+2 /?rn’rMх

m = 1

v = 1

m= 1

 

rc+(m—1)

 

oo

 

X 2

Vflv (/lv_m+1

hv—m+l) = 2

Тт Ц~т ,

v=m—1

 

m = 1

(1.70)

 

 

 

 

где коэффициенты разложения

T m определяются формулой

 

ОО

 

 

 

i

т 2

vav [8n_ m+ v + 1 Cm—v— i -f- 6v—m (1 ■т— б/г—m +v+ 1 ) X

 

V=1

 

 

 

 

X (/iv_m+i —tf7(v~m+1)^v-m+i)].

(1.71)

Запишем далее, принимая во внимание (1.64) и (1.44), выражение

 

 

 

п — 1

 

 

 

2 {BLm~ R TmB - m) v r m =

 

 

 

т = 1

= 6 2

2

2

vAv (Ry (v+1) K - m+l — R j m hv- m+l) ц~т =

 

т = 1 \ = т — 1

= б2

2

2

RTm4 - mvAv (R Y^ -m+ " X - m+l — Av-m+i).

 

m= 1 v=m—1

Учитывая (1.31), имеем

■П—1

2 (Д1«—я г т Д -« )т гя =

т= 1

= ба 2 2 ^ 7 m^_m(^ r(v_m+1)/lv-m+i —

т = 1 \ = т —1

 

п—(v+1)

 

^v—m+l)'V&v+l 2

рЯрбр+v+i.

Р = 1

 

Таким образом, справедливо представление

Я—1 ОО

2

(BLm - R T™В —т) ТГ" = 2

'П~т . (1-72)

т = 1

m = 1

 

55

где коэффициенты Рт определяются соотношением

п—2

Ят = §2^,(г ^Т"1

2

v

 

/Zv—»i— l) 6V+ I X

л,__1

 

 

 

 

/4n—VV“r(v+1)/

 

 

'*

'*• VH

 

X 2 p a p V fv + i = t f r mM m 2 v a v 2 V f i P X

P= 1

 

 

v = l

p=m — 1

 

p = l

 

 

 

X { R p ^ p

 

~\h-1p - m^p—m-(-1) ^p+v+1=

 

 

 

oo

П—(V+1)

6V+1 pX

 

*=Rl m62 2

^Vn+v—1 2

 

 

 

v = l

p=m — 1

 

 

X ( ^ - ( p - m + i ) f i ' p _ m + l — h p - . m + 1 ) h p + v + 1 .

(1 .7 3 )

Проделаем аналогичные операции с остальными членами

уравнения (1.66).

В частности,

 

 

^

Ri n ~ a h

А

 

 

ооп — 2

= — 2 с*т R z m Ч~т 2 P ^p Rpp~ l Ц- р~ 1 =

т = 1

р=0

ОО п—2

 

= — 2 2

с ^рЛ „# 7 <'И-/’+ 1) г]-("г+р+1) =

т= 1 р=0

ооп—2

=— 2 2 с*т_р_! рАр RT">X]-™=

т= р + 2 р=0

оо

е—2

 

оо

=—2

я?" 1 чгт 2

c^_p_iрлр = —2 Ягтir_mх

т = 3

р=1

 

т = 3

е—2

п—(р+1)

оо

X 2 ^m—p—l ^ p + l P

2

VGv^v-f-p+1г=—2 *^пг1Т-т>

р = 1

 

v= 1

т = 1

 

 

 

(1.74)

где е = Е (т, п) — наименьшее из чисел т и п .

Коэффициенты разложения S m выразятся следующим образом:

ООС—2

^ т ®n-f2-e

га 2 VGv

2 ^p+V Р ^ т — р— 1 ^v-f-p+1 • {1.75)

 

V = 1

—р=1•

 

 

М-^ R г

Рассмотрим далее выражение V 1<l8k~ 8k p[(ak),K0 T0 -

рое будет иметь следующее разложение:

56

°° n + 1

'г=1 1 1

й

m=l£=I

 

X

А 1

 

 

 

оо

 

 

 

Х г \ - тР [ Ы = - ^ Dm^

,

(1.76)

где

 

m= 1

 

 

п+ 1

 

 

 

 

 

 

 

А» =

2

 

(«*) =

 

 

А= 1

 

 

 

 

п+1

( R T 'g k - g 'd a k - 'P 'i fr J .

 

= Я Г " + 1 2

(1.77)

 

k =

i

 

 

Таким образом, уравнение (1.66) после приравнивания коэффициентов при одинаковых степенях т) преобразуется к виду

tTm+ d62 Pm- d 8 2 Sm+ c m (R T + -L -R -

—An — —pRRl^m , ( m — 1,2,...),

(1.78)

где введено обозначение

 

 

О

т Ф 1;

(1.79)

%т >1

т = \ .

 

Разложим все члены уравнения (1.67) по положитель­ ным степеням тр Два первых члена дают

со

*ф( — ) + 5ф (-бУ

= * 2

amRTm^ +

\ л /

\R i4 /

«=о

 

оооо

 

+ s 2 amR f a

m4]'n ( t Ri m+ sR>").

(1.80)

 

m — Q

m = 0

 

 

 

Следующий член,

учитывая (1.31),

имеет разложение

п — 2

 

п — 2

п— (m+1)

 

 

2

ЛAbR^nk =

2 /R'г ?nm&бтm+i1

2

V«vhv + m + 1

=

ft= 0

 

m= 0

 

V—1

 

 

 

 

2

Nmr f .

 

 

(1.81)

 

 

m = 0

 

 

 

 

Здесь

принято

 

 

 

 

 

 

N m =

6m_j_ i R ™ 2

Vflv ^v+m ^v+ m + 1 •

(1.82)

 

 

V=1

 

 

 

57

Смотрите также файлы