Файл: Фотиева, Н. Н. Расчет обделок тоннелей некругового поперечного сечения.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 23.10.2024

Просмотров: 98

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

hn = - R l + I *>.-*>

; кП+1

 

(n — 1) qn - i h n R i .

 

 

 

 

Щп

 

 

 

 

 

 

Щп

 

 

 

 

 

 

 

hn+ 2 = ~

q1(RTl- R i)R l+l + (n-2)qn-2Rlhn +

 

 

 

 

 

 

Щп

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

—у ~ К Я — В Яп- i R i hn-j- 1 .

 

 

 

 

 

 

 

 

я?71

 

 

 

 

 

 

Ал+з =

92 (#i 2 —ffi) -Ri^

1 + (я— 3) qn- з ^?i

+

 

 

 

 

 

 

Щп

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+ (n — 2 )

9 n —2

f t n + i +

( n — 1)

9 n - 1

R%hn+2 .

 

 

 

 

 

 

 

n ? n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

? n - 2 t f ? + 1 ( « r ' 1 + 1 - « r 2) + 9 i ^ r 1 * » +

 

 

 

 

 

 

 

 

«<7n

 

 

 

(1.99)

~b 2 ? 2 ^?i

^ я + 1 Ч~

 

— 1)

q n - l R i h.2n—2 .

 

 

 

 

 

 

Щп

 

 

 

 

 

 

hi2 rt :

 

9n.-i ^i+1 (/^Г'г+1-^ 1 +1) +

 

 

 

 

 

 

Щп

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+ 9 i

Ri~^~^

h /t-f-i -f- 2q% R i ^

^ n - f 2 -f-

• • • -j-Щ п R i h^n— i .

 

 

 

 

 

 

Щп

 

 

 

 

 

 

h"

 

 

R n+\ (R T n _ R n ) _ R n+ 1

Д»

 

 

 

 

1n

 

 

 

 

 

 

 

 

n 2n+ 1 =

------------

«9n.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

m-\-n— 1

 

 

 

 

 

 

 

j

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= —

 

2

h'n+i (m — i) q ^ m R^+ n- i\

 

 

 

 

Щп

i=m — 1

 

 

 

 

 

 

 

 

Определим далее значения gk и g'k. Величины

§k

яв'

 

 

 

 

 

 

_ / I \

 

 

 

 

ляются

вычетами функции

(О

 

в точках

а

ak,

где

со' (а)

a,h — корни

знаменателя,

 

 

 

 

т. е.

корни уравнения

 

 

 

 

 

ап+ 1 — 2

П

 

 

 

 

 

 

 

 

 

vqv on-v = 0 .

 

( .

)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 100

V—\

Это уравнение имеет п + 1 различных корней, которые можно представить в виде

“а= “ * + гаГ = rh (cos cpft + i sin <pfc).

62

Здесь rh и tpft — модули и аргументы этих корней, величи­ ны которых вычисляются по формулам:

 

Гк--= V a f + а Г 2;

 

arctg

**

 

 

a l >

0 ,

*

У

 

 

ak

**

 

 

 

 

 

 

 

 

я — arctg

ak

,

ot%< 0 ,

*

 

 

ak

 

 

 

 

 

**

 

 

 

я +

arctg

ak

,

a* <

0 ,

*

 

 

ak

 

 

 

 

 

**

 

 

 

2 я — arctg

ak

,

a%>

0 ,

*

Jt

 

ak

 

 

 

 

 

 

at = 0 ,

Т ’

 

 

 

 

 

 

 

 

Зя

 

 

 

a% =

0 ,

2 ’

 

 

 

 

 

 

 

 

0 ,

 

 

 

at >

0 ,

я,

 

 

 

a * <

0 ,

ft**

V О

S *

 

« Г > 0 ;

at* < 0 ;

at* < 0 ; ( 1. 101)

at* > 0 ;

c c f < 0 ;

оГ — 0 ; a f = 0 .

Вычеты функции (1.27) gk определяются следующим

образом:

 

 

gk = Uk + ivk =

 

 

2 /г

/1+3 .

-{- 2 I

Чп «1а+1+<1п-1*1п + - + Я г * Г * + Я 1

+

(« + 1)«А— Ях(п — 1) a nk~ 2 — 2q2 а " - 3 (« —2)— ... — (л—1)?л_х

Разделяя действительные и мнимые части, получим

AhCk+ BkDh

Ah Dk — Bh Ch

( 1.102)

Al + Bl

vh = -

A% +Bk

 

Здесь приняты обозначения:

63

A k = (n-f-1) rl cos n y h —

П

—

2

v(n — v)q v r k ~ v~ l cos(/i — v — 1) cpfe;

 

 

V =

1

 

 

 

 

 

 

 

(« + i) r*sin/i(pft—

 

 

 

 

—

2

V (n — v) £7v / - r v

Sin (я — v — 1) q>ft;

(1.103)

 

v—1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

Ck =

/'ft cos ri(fh +

2

<7v /A+V+1cos (/г +

v + 1) cpfe;

 

 

V =

1

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

Dh — rnk sin ncp/t+

2

qv rnk+v+l sin(n +

v+l)q>ft.

 

 

v= 1

 

 

 

'

Вычеты функции

 

в точках

 

опреде-

ляются

по формуле

со' (Яхо)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

*x«£ +

2

?v ^ r (2v+1) 4

+v+1

gk = Uk + Wk-

_______ у—1__________________

 

 

 

 

(n + l)«ft—

2 v(n—v)a£~v_1

 

 

 

 

 

 

v—1

 

 

Таким образом, после разделения действительных и мнимых частей имеем

 

,

 

Ah Ck +

Sft Dft

, AhDk — BftCft

(1.104)

 

uk = -------1------- :

Vk =

At Ф Bk

 

 

 

A l +

B l

 

 

где

 

 

 

 

 

 

 

 

С* =

Ri rnk cos пфй +

 

 

 

 

 

+

2

<7v t f r (2V+1)^ +V+1COS(n +

V +

l)cpfc;

 

 

V= 1

 

 

 

 

 

(1.105)

Dk = RirkSinn,(i>h +

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+

2

 

qvRT{2v+1) rk+v+l sin (л +

v +

l)<pfc.

 

 

y= 1

 

 

 

 

 

 

Разделив далее действительные и мнимые части в выра* жениях D m и Dm, получим

64

D m = R \

-m+ I

VCv

2 r k +v

2 {(/?! [uh—Uk)x_

 

 

 

k—1

 

xcos(m+v—2)q>h—(R-* vh—v^) sin (m+v—2) q>k+

+i [ ( R - 1ик~иь) sin (m + v—2) cph +

+(R ~ l vk— v'k)cos(m + v — 2) ф&]};

( 1. 106)

D*m = R ? + *

2

vcv "2

r r m_2{(/?r'% -«*) X

 

V= 1

k=

1

Xcos(v m

2) q>h—(R~l vh—v'k) sin (v—m—2)cp&+

+i l( R r 1uk ~ u 'k) sin (v—m — 2) (pfe +

+( R r 1vh — v'k)cos (v— m -~2) cpfe]}.

Корни ah могут быть либо действительными числами, либо попарно комплексно-сопряженными. Если ak — дей­ ствительный корень, то cpft = 0 либо cph = л; кроме того, vh = Vk — 0, и мнимая часть выражений D m и D m* обра­ щается в нуль. Если же а г и аг+1 — пара комплексно­ сопряженных корней, то

+ + 1 — — — H j , + -{- 1 ”

V[ j

U - i^ i = + ,

Фг-к = 2я

срг

и при суммировании п+ 1

2—M/)sin(m + V — 2)фг +

г= I

+ (# Г 1vi—vl)cos (m + v—2) q>i = 0;

Л - f 1

2—«/)sin(v —m—2)q>,+

i= 1

+(# Г 1Vi— v!) cos (v—m—2)q>i == 0.

Таким образом, D m и D m* — суть действительные ве­ личины, определяющиеся формулами

ООП-\- 1

0 „ = R t " +1 2

VCv s

C?+V” 2 x

 

 

V=1

fe=I

 

 

X [(# Г 1uh — Wk) cos (m + v—2) фЛ—

 

—

1vh— v'k) sin (m+ v—2) фь];

(1.107)

ос

П~\-1

 

 

 

D*m=-R f+! 2

vcv 2 rfe_m~2 [(/?—

—u'k)cos(m—v—2)фЛ—

V = 1

k = \

 

 

 

~ { R r l vh — v'k) sin (v — m—2) q>k].

(1.108)

3 Зак. 488

65

Аналогичным путем, разделяя действительные и мнимые

части выражения

(1.69) и учитывая те же

соображения,

получим

 

 

tl -J- 1

 

 

c*m = R х 2 rk

1 \ { R ^ Xuh — u'k)cos{m— \)qk—

— ( R r ' vi,— t»*)sin(m— 1)фЛ].

(1.109)

Сгруппируем далее в уравнениях (1.78) и (1.94) коэф­ фициенты при неизвестных и приведем полученную систему линейных алгебраических уравнений относительно неиз­ вестных cv и av к удобному для вычислений виду. Посколь­ ку при решении бесконечная система укорачивается, ограничимся количеством членов разложения в ряд функ­ ции Рх (т]), равным г, и функции ср (т]), равным s. Это при­ водит к удержанию в системе (1.78) г уравнений, а в (1.94) — s уравнений. Первое уравнение второй группы, получае­ мое из (1.94) при т = 0, определяет лишь величину неиз­ вестного Ь„, которая для вычисления напряжений нам не по­ надобится. После преобразований приходим к системе г + $ линейных уравнений относительно неизвестных cv

иav, которую можно представить в виде

ГS

2

Сщ, vCv 'ф 2

&т, v ®v — dm

(pi = 1, 2,

..., /");

v;

‘

v; '

 

 

 

(l.iio)

2

Cm, v cv +

2

&т, v &v ~ d m

( ш — 1, 2,

...,

s ) .

v = I

 

v = l

 

 

 

'

 

Коэффициенты при неизвестных cv и av определяются

следующими соотношениями:

 

 

 

 

n+ 1

 

 

 

 

— vR ~ m+ 1 2

rvp+m 2 [ (R - l up— u'p)cos{m + v — 2)<pp—

 

P = 1

 

 

 

 

 

—(# Г ‘ vp ~ V p)sin(v + m — 2)фр];

(1.111)

 

X (hv—m+ 1—■R 1 Xv m+ I ) /iv —m-f- l)l —[~

 

 

 

n — (v — 1)

 

 

 

 

 

hp—m-l- l) fop-\~v-f- I

d8n+ 2 —f X

 

66

Смотрите также файлы