Файл: Фотиева, Н. Н. Расчет обделок тоннелей некругового поперечного сечения.pdf

Из равенств (1.121) и (1.123) определим радиальные наряжения а“ и нормальные тангенциальные напряжения о* в массиве на линии контакта его с обделкой. Получим

Перейдем к определению напряжений в обделке. Нап­ ряженное состояние обделки характеризуется комплекс­ ными потенциалами фх(£) и %(£). Первый из них имеет вид

V= 1

71

Поскольку на внешнем контуре сечения обделки радиаль­ ные напряжения будут такими же, как в массиве на ли­ нии контакта, и определятся первой формулой (1.127), то, чтобы вычислить величины нормальных тангенциальных

напряжений Од на внешнем контуре обделки, можно вос­ пользоваться формулой

туре сечения обделки равны —р, то для определения нор­

мальных тангенциальных напряжений на внутреннем контуре обделки следует воспользоваться формулой

(1.132)

куда подставляются значения величин, вычисленных при

Р = Ri-

Касательные напряжения в массиве и обделке на линии контакта одинаковы и определяются формулой (1.125) при р = 1.

6. Порядок и этапы расчета

Исходными данными для определения напряженного состояния обделки тоннеля являются: заданные форма и размеры внешнего и внутреннего контура ее поперечного

ветственно для материала обделки и вмещающей породы. Первым этапом расчета является построение конформ­

ного отображения любым из известных способов (один из таких способов, особенно удобный в случаях, когда конту­ ры сечения обделки заданы графически, будет описан да­ лее) и определение коэффициентов разложения в ряд ото­ бражающей функции qx, q2, ..., qn и радиуса окружности R i < 1, в которую переходит внутренний контур сечения, когда его внешний контур преобразуется в окружность еди­

72

ничного радиуса. Отметим, что построение конформного отображения должно осуществляться в каждом конкретном случае, весь остальной расчет может быть запрограмми­ рован и выполнен на ЭВМ.

Расчет ведется в следующем порядке: определяются

(1.97), (1.98) и (1.99), причем количество этих величин определяется в зависимости от числа членов ряда отобра­ жающей функции п и количества уравнений г и s, удержи­ ваемых в системе; затем находятся корни уравнения (1.100) ak и их модули и аргументы по формуле (1.101).

После выполнения этих операций вычисляются вели­ чины A k, B k, Ch, D k, СУ и D k' из соотношений (1.103), (1.105) и определяются значения uk, vh, ик и vk' по форму­ лам (1.102) и (1.104).

Следующим этапом является вычисление коэффициен­ тов матрицы системы линейных алгебраических уравнений (1.110) по формулам (1.111)—(1.П4) и свободных членов в долях pR из (1.116) и решение этой системы относительно неизвестных cv, av.

После нахождения указанных неизвестных коэффициен­ тов определяются напряжения в массиве на линии контакта с обделкой по формулам (1.127), (1.125), причем вспомога­ тельные величины, необходимые для этих вычислений, находятся из соотношений (1.120), (1.119), (1.125) и (1.126) при значении р — 1.

Нормальные тангенциальные напряжения Oq на внеш­ нем контуре сечения обделки отыскиваются из соотноше­ ния (1.131), куда подставляются значения вспомогатель­ ных величин, найденные по формулам (1.120) и (1.130) при р = 1; напряжения же на внутреннем контуре опреде­ ляются формулой (1.132), в которую подставляются те же величины, вычисленные при значении р = Rx. Усилия в обделке определяются по обычным формулам сопротив­ ления материалов для внецентренного сжатия бруса ма­ лой кривизны.

Отметим, что в результате конформного отображения по­ перечное сечение обделки имеет переменную толщину, не­ сколько увеличивающуюся в боковых стенках и лотке по сравнению со сводом и уменьшающуюся в окрестности угловых точек контура выработки. Это происходит вслед­

7 3

ствие принципиальной невозможности построения указан­ ного отображения для некругового кольца постоянной толщины, поэтому напряженное состояние реальной об­ делки определяется последующим переходом от усилий М я N к напряжениям по формулам сопротивления материа­ лов с подстановкой в них проектного значения толщины обделки.

Поскольку отклонения толщины обделки от проектного значения, появившиеся вследствие конформного отобра­ жения, как правило, невелики и, кроме того, в натуре не может быть строго выдержано постоянство толщины обделки по всему периметру выработки, по-видимому, погрешность, возникающая по этой причине в результатах расчета, не будет иметь существенного значения.

Все формулы, необходимые для вычислений, содержат величину п, т. е. пригодны при любом количестве членов ряда отображающей функции. Поскольку на практике в ос­ новном встречаются тоннели корытообразного (сводчатого) и коробового очертаний, а также других форм, контуры поперечных сечений которых достаточно точно отобража­ ются при сравнительно небольшом количестве членов ря­ да отображающей функции, в дальнейшем мы будет про­ изводить вычисления при п = 4. Кроме того, в системе урав­ нений будут удерживаться четыре уравнения первой группы (г = 4) и шесть уравнений второй группы (s = 6), что, как показали подсчеты при г = 7, s = 9, дает погрешность в величинах напряжений, не превышающую 5%.

Этапы расчета

Определим напряженное состояние обделки напорного

внутреннего контура сечения (от лотка до пят свода) к его пролету hJ2b~-1,2, относительная толщина обделки в замке

Для осуществления необходимого конформного преоб­ разования отобразим сначала внешность внутреннего кон­ тура поперечного сечения обделки на внешность единичной окружности, а затем путем еще одного преобразования пере­

74

ведем окружность радиусом Rt* > 1, в которую при ото­ бражении переходит внешний контур сечения, в окружность единичного радиуса, при этом внутренний контур сечения преобразуется в окружность радиусом Rx < 1.

Указанное конформное отображение можно осуществить различными способами. Очень удобным в случае, когда контуры сечения заданы графически, является графоана­ литический способ П. В. Мелентьева [53], которым мы и бу­ дем пользоваться.

хх

О

О

Построение производится следующим образом. Вычер­ чивается в Масштабе внутренний контур поперечного се­ чения обделки. Начало координат располагается внутри контура на оси симметрии, с которой совмещается ось Ох (рис. 4), причем его положение выбирается так, чтобы мож­ но было провести окружность, описанную вокруг контура с центром в начале координат. Затем половина симметрич­ ного контура разбивается лучами 0, I, II, ..., VI, исходя­ щими из начала координат, на шесть частей (лучи прово­ дятся под углом 30° друг к другу). Далее из того же центра проводятся вписанные окружности (их может быть несколь­ ко). Если один луч пересекает две окружности, то для сле­ дующего построения выбирается окружность большего ра­

75

диуса. На отрезках лучей /, II, .... V, заключенных между описанной около контура и касающимися контура изнутри окружностями, как на диаметрах, строятся вспомогатель-

от начала координат и из нее на соответствующий луч опускается перпендикуляр. Расстояние этой точки от луча

76

обозначается vn, а длина луча от начала координат до пе­

ресечения с перпендикуляром — ип. Значения п^0) читают­ ся на шкале прозрачной палетки (рис. 5), которая накла­ дывается на чертеж таким образом, чтобы шкала ип совпала с п-м лучом, а шкала vn •— с перпендикуляром, опущенным на луч из точки пересечения вспомогательной окружности

с контуром. Отметим, что оо0> и Об0> равны нулю, поэтому в качестве «о0) и г40) принимаются длины соответствующих лучей до пересечения их с контуром. Затем решается систе­ ма семи уравнений относительно а„ \ у которой в качестве свободных членов берутся измеренные значения i4,0). Матри­

v= 0

Для нахождения следующего приближения Un) проз­ рачная палетка со шкалами ип, vn (см. рис. 5) накладыва­ ется на соответствующий луч, после чего передвижением

77