Файл: Фотиева, Н. Н. Расчет обделок тоннелей некругового поперечного сечения.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 23.10.2024

Просмотров: 106

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

В общем виде

 

 

 

 

 

 

П

 

 

(k=l, 2,..., n + l).

 

В*_а= 2 vqvhv_k+i

(5.12)

 

v = A—1

 

 

 

 

 

Тогда формулу (5.8) можно записать следующим образом:

5(Т

л 0)'+)=

1 + Xi

s2

2 ? ££<** + * 2 Я*-Аа -* +

(О' (0)

 

 

n+l

 

k = О

Л=5 1

 

 

 

п

 

 

 

 

+ 2

g k

2

v?vo ~ v_l

 

(5.13)

 

k = \

О — CCk V= 1

 

 

 

и интеграл типа Коши от этого выражения имеет значения

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Г « +

•

л 1 ~ к +

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Я Р г

 

2

в

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 + хх

k= 1

 

 

 

-

/ 1

 

 

 

 

 

+

я+1

г ^ ~

 

я

 

J

 

_со

 

 

 

 

 

 

2

 

2 v<7vt—v—!

-

f

P i ° y

(о ) —

 

 

 

 

 

*=i £ —

 

v=i

Г

2я1i

.) со

(a)

о —£

 

 

 

 

 

С вне

 

 

 

 

 

 

 

Г7ТГ бг 2

 

 

 

£ внутри Г.

 

 

 

 

 

 

 

с т

 

&=о

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(5.14)

и

 

После подстановки

(5.14)

 

и (5.5)

в

выражения (5.4)

(5.6)

получим

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Q<o) (£) = _

l+Xj

f ( хх-

 

 

4 - ) г 1+ " 2

 

в и

£ -* +

 

 

 

 

[Д

 

 

d J

 

*=i

 

 

 

 

 

 

n + l

n

 

 

vqvt~v~ l

 

 

 

(5.15)

 

 

 

+

2

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

fe=i £ — a bv=i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Q[0) (£)

RPi

 

*=o

№

+ * i 2

+

£* . (5.16)

 

 

 

1 + xx

 

 

 

 

 

 

 

k=■-

’1

 

Найденные выражения функций подставляются в гра-‘ ничное условие (5.3), которое теперь будет иметь правую часть:

/R

СО

-)

D= _Q(°)(Rl0)_ p (“)( - 1

 

(5.17)

6 Зак. 488

161

Далее, как и в главе 1, граничное условие с правой

частью (5.17) умножается на ядро Коши ~ •

и интегрируется почленно по контуру Г при последова­ тельном расположении точки т] вне и внутри Г.

Выпишем значения интегралов типа Коши от слагаемых, входящих в правую часть D:

1 \Q{0)(Ri ст)-^-

2я i J

О—Г]

1 Г p m / _^i_ \

da =

2ш J

\ о )

а ~ ц

Г

 

 

 

 

 

О, т] вне Г

 

 

 

Rpi

■

 

_2

 

 

 

s2

2

 

 

 

1

 

 

 

 

k = 0

 

+ « i

 

2

 

 

, ц

внутри Г

 

А= 1

 

 

 

(5.18)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

О,

т]

вне Г

 

^ Pl

 

2 <7v^rVTlv>’l

внутри Г.

1 + Х !

v = 0

 

 

 

 

(5.19)

П+1

 

RPi

*=1

 

 

1+*i

 

da

+

(я Г--- j \

R j 1т г 1+

n-И

 

 

 

 

а — г]

 

2

v<7v R-v-1 n - v- ‘

 

■f-s

r|—

 

fe=i

v=i

 

 

 

 

т]

вне Г

 

 

О,

г]

внутри Г.

(5.20)

Чтобы определить значения интеграла типа Коши от

третьего слагаемого выражения (5.17), представим его в виде

 

- (

Ri

1+ щ

и '

сг - P ^ ' i R . a ) :

R P i

( o ' ( R i a )

со

Ri

 

a

v vqv /?r v-i fj v l ^

 

О) ' (RiO) Ai

v = 1

— (ho -f h{ a + ... -f h n’ an) (q± R ~ 2 o~ 2 -f 2q2 R~3 g~ 3 -f

+ - + nqn R^n -1 a-" -i) +

162

П+1

Ri gk

 

V^v R\ -V—1(J—V—1

 

 

У

2

 

(5.21)

h= i

Rx 0 —akv=l

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

СО

где hi —коэффициенты

целой

части

функции

i * ) .

g'k = u'k-'r iv'k—вычеты

этой

функции

 

со' (Rio)

в точках a = ah/R v

Коэффициенты при положительных степенях а имеют

вид

 

 

 

 

 

 

 

 

■во — <7l в Г 2 ^ 2

+ 2^2 Ri 3 ^з + ---+

 

 

 

 

 

 

п — 1

 

 

 

 

+(н —1) <7,г_а в г" /in=8x 2

vgve r (v+1)ftv+r,

 

 

 

 

 

V = 1

 

 

 

 

в i ’ = <7 i в Г2 йз -f 2 qz R Г3 й4-f-... -f-

 

(5.22)

 

 

 

 

 

 

 

 

+ («—2)с/п_2 R j n + 1 К = Ь 2 2

v?v K r(v+1) K +2)

 

B ' n U ^ R T ' h ' n .

 

 

 

 

 

 

 

В общей форме

 

 

 

 

 

 

 

 

n — ( k + 1)

vqv R -^+ ^h'v+k+\

(k = 0, 1,...,

n —2).

e |'= 6 ft+1 2

V = 1

 

 

 

 

 

 

 

(5.23)

 

 

 

 

 

 

 

 

Коэффициенты при отрицательных степенях о:

 

B—i =Qi RT2 h\ -(- 2q2R \ z h-2

+ ... +

 

 

+ nqn Я к "-1К =

П

V7v # r v-1 К)

 

 

2

 

 

 

 

 

 

v = О

 

 

 

в1'2=(71вГ2^

+ 2с72в Г 3й, + ...+

 

(5.24)

 

 

 

 

п

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+ nqn R z n~ l h'n-i =

2

v^v

v—1/iv—i;

 

 

 

 

 

 

v= 1

 

 

 

в- W n —nQ nRrn'~1ho-

Вобщем виде

B!4 = 2 v < 7 v ^ v- a+ i (^=1> 2,..., n + 1). (5.25) v—k—1

6*

163

Таким образом, выражение (5.21) можно представить в форме

 

 

RPi

п —2

П+ 1

со' (Ri а) Р[0)’ {*!<*)

ба 2 5 * 'а * + S B*Jk a~k +

l+ ^ i

4 = 0

4=1

п+1

Pi gk

 

 

 

2

2

V9v R r v~ 1ГГ

(5.26)

4= 1

/?х ст — a ft v = 1

 

 

Интеграл типа Коши от этого выражения имеет значения

~ ( Е±.

1 _Г °Ч о

2ш J ©' (^х а)

г

п+1

PPl 2 1+*i *=1

 

da

 

 

Р (° )'(^ а )

 

 

 

a — т)

 

ВЕк ц - ь +

п+ 1

Rigk

 

V

X

 

4 = 1 R 11] — ад

X 2

V^vP-v-1T)-V~ I , т] вне Г.

(5.27)

v = 1

 

 

 

 

п - 2

 

 

-EEl . 62 2

Л4. Л внутри Г.

 

1 + К х

4 = 0

 

 

Таким образом, полученные в главе 1 функциональные уравнения относительно неизвестных функций ср(£) и Р ^ ) будут иметь тот же вид (5.66) и (5.67), но правые части их изменятся:

Ях =

Rpi

п% (В * л ~ в и р г *) тр Ч -

 

1+ Ki

 

П+1

4 = 1

 

 

 

 

4=1

Pi'll — Кд v = 1

 

 

«1— j ) R i 1 л "1

(5.28)

d2

Rpi

n —2

 

62 2 ( в г я ч - в у ) ^

 

 

1+Xj

4 = 0

 

 

+ 2

<7ft(#r4 + *i#i)r]*

 

 

4 = 1

 

 

164

После разложения членов первого функционального уравнения в ряды по отрицательным, а второго — по поло­ жительным степеням переменного ц и приравнивания коэф­ фициентов при одинаковых степенях ц получим ту же ли­ нейную систему алгебраических уравнений (1.152), но со свободными членами:

 

 

 

 

 

« r ‘ V

 

-Sm-2RTm 2

vqv (RT(v->"+') h ^ m + l-hv-m+l) +

 

V = m — 1

 

 

 

 

 

 

 

E ( m — 2,

n )

\

(5.29)

+ S 2 - m + n ^

r m

2

 

Cm — v — 1 ( ')

 

 

 

v — 1

 

J

 

d'm =

RPi

Sm-iqm(RTm + KiR?)-

 

 

l+ ^ i

 

n ~ ( m + l )

 

 

 

 

1 %?

2

 

(Ri

 

^v+m+l)

 

 

v= 1

 

 

 

 

Напомним,

что

 

 

 

 

 

 

Я

1

i — 1

 

П i'< n

 

 

о 1 ^ 1

’ бг = (0 г > п ;

 

 

 

 

Е(т — 2, п) — наименьшее из чисел /п — 2 и п.

Таким образом, отыскание неизвестных коэффициентов разложения в ряды функций PjXS), ф(£) — cv и av сво­ дится к решению системы уравнений (1.152) со свободными членами:

d f

 

 

RPi

%-----—+

2

vqv(K — R~vh'v)

 

 

R i (1 +Xi)

 

 

 

d

v =

l

d‘i

'

 

RPi

2 v q viK -i — R^-Vh'v-i)-,

 

 

 

 

R i ( l + x j ) v = i

 

 

d&—

RPi

<7iC*+ 2 V(7v(^v-2—Ri^v 2^ v —2 )

 

 

 

Ri (l+xi)

V = 2

 

 

 

 

 

 

 

 

.__ 5 £ l

q%c1 +2<72cf +

« 1(l+*i)

L'

165

Смотрите также файлы