Файл: Фотиева, Н. Н. Расчет обделок тоннелей некругового поперечного сечения.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 23.10.2024

Просмотров: 105

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

— Ye Ht __ p___ i_ c i dt

 

4

2

J

 

Учитывая, что в преобразованной

области t =

co ^a),

имеем

 

 

 

f ( R 1o) = ~ y B^Ha> (RlCг)-- |-co2 (R1a) —

 

---- ~1 j<o(Ri o)d [со (/?! o)]J .

(6.6)

Принимая во внимание соотношения

 

d [со (Rxa)] = со' (Rx a) Rt dcr,

 

to (R| 1 a) = R \ R 1 a - i +

2

<7v^rvav

 

 

V= 1

 

w'(^j(j) = R 1— 2 vqv R j v~ l a~v~ l

\V=1

возьмем интеграл, входящий в формулу (6.6):

§ со (#! о) d [со (Rxa)] = § со (R1 а) со' (Rt о) do=R2 R\ §

+ 2 9v^ rv- !°V) ( l -

2 vyv /? -v - ia-v -i)d a =

V= 1

 

 

 

v= 1

о

2

9v'Rrv_1°V— 2 vqv R~v~ l a~ v ~ 2 —

 

v= 1

 

 

v= 1

- 2 v q lR ~ 2

(v+i) 0 i__ 2 2 * &7v 9ft R~(v+k+2>av~*_1 do=

v= 1

 

 

V=1 k—l

= Я2 Я? (f In a +

2

(av+1 + va~v- ') +

 

(

 

v=i

v+1

 

"

n

ka

a » - <v+*+2)

 

+ 2

2 * - ^ —1---------

 

v= 1

£=I

 

v —A

Звездочка в последней сумме означает, что v ф k. Ве­ личина F определяется формулой

F = 1— 2 vqlRT2{v+X)-

(6.7)

V = 1

 

173

Подставляя значение вычисленного интеграла и функции со(7?jo) в формулу (6.6), получим

f(R1 a) = —Ув

 

2 gvRxvo

R2 'R\ о2 +

 

 

 

V — 1

 

 

 

 

п

 

п

 

+ 2Rxa 2

<7v^rV(7_v+

2

 

2 gvqhRT{v+k) ° ^ v+k))

v =

1

 

V =

I

k — I

( 6.8)

 

 

 

 

R i -v—1

R 2 R i

F ln o + 2

q

 

 

 

■(av+ ! + vo-v—1)-

 

 

V = 1

v+ 1

 

 

n

n * k a a P ~ ( v+ * + 2)

 

 

2

^

K1______

tv—A

 

 

v = 1k= 1

v — k

 

Определим значение главного вектора внешней нагруз­ ки. Как известно,

X-\-iY — § (Хп + iYп) ds, Lt

т. е.

X + i Y = - i y B^ - F \ n a \Ll.

Так как при обходе контура Lx по часовой стрелке величина In а приобретает приращение — 2л/, то

X + iY= — /ув

2л/) = —ув R2 nF. (6-9)

Таким образом, с учетом (6.9) и (6.3) формула (6.5) прини­ мает вид

В (R± о)—

ув | HR

о 1-[- 2

<7v Ri v

-----—

о 2+

+ 2/?!

2

q v R T ' - 'o ' - ' + Rl

2

2

g v ^ ^ r (v+*+2)ov+*V

 

V — 1

 

 

 

n

v = l i = l

 

 

/

y BR * R \ F ,

R 2R \

n

p—v—1

 

 

2 ‘K *4

 

(a~v_1 + vav+ 1) —

------------ In a ----------

V =

1

V-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

n b n

n p — ( V + * + 2 )

 

 

yBR 2R \ F

In a-

- 2

2 ' ^ * ^ —

-

0 * - v

 

 

v = l k=l

V—k

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y * R 2 R * F “ ( Т у

 

1

 

 

 

 

2 (l+ x x)

 

 

Rxa

 

174

После приведения подобных членов правая часть гранич­ ного условия (6.7) имеет вид

 

 

г

 

“ ( о /

1

I

где

 

 

 

 

 

 

(6. 10)

 

 

 

 

 

 

 

f*№<,)“ й

 

 

— 1

 

 

 

 

+vlV

^ Rrv_‘°v)- т ("-а+

+ 2 2 <7V

av_I +

2

2

^v^jt^r(v+*+2) av+*) —

V = 1

 

 

v =

1k=

1

 

 

n

n—V—1

 

 

 

 

2

- - - | . -(o ~ ^ -1+Vffv + 1) +

 

V = 1

v + 1

 

 

 

 

 

+ J ,

J ,* ^ v ‘? ^ r (V+ &+ 2)

T&—V

(6. 11)

V=1 ft= 1

V — fe

 

 

 

Выражение /i(i?ia)

можно представить в форме

 

 

n-f 1

 

 

2n

 

 

/ i ( ^ o ) =

2

ah RTk e - k+ 2

 

(6-12)

 

k= 1

 

 

k= 0

 

Коэффициенты рядов, входящих в (6.12), как следует из (6.11), при принятом значении п = 4 выражаются фор­ мулами:

« 1 = ~н + <7i <?2 R

Г 4 + 2 ^ 2 <7з R

Г 6 + 3<7з R Г 8 ;

 

«2= — ^-(^1 + 91—^х^з^Г4 —2(72^4 ^ Г в);

 

« 3 = ------^ - ( ^ з — ^1 Q i R i * ) ' , « 4 = ---- 1- % - , а 6 = —

^

<3

 

4

О 9 4 ,

Р о = — ? i # r 2;

 

 

 

pi = K r4 ( Y ^ - ^ ~ 2 9 i < 7 2 ^ r 2-

 

—З^г^з^г4—4^3<74K r6j

;

 

Г 2Я

<7з

 

1

р2 = /?г6 "Л Г ^2

 

А

 

 

1 (6 .1 3 )

175

----— (q\ ~Ь Qi R\ "f-3(7j <7з R i “ -f- 4^2Qi R 1 )

2 H

„ „

2

{Яг Я\-\~^Я\Ях Pi 2)

33 = R t * ■^“^3

^4 ЯхЯ1‘

g

2 H

 

Т

<72-

<73Pl

Р4 = ^ Г 1° (^ < 7 4 - ? 1?з-

P5= — Pi"” ^ 92^3+ ^1^4+ Y^4^1 );

P6= — |рРГ14 (^3 + 2(72<74)'-

P7= — Р Г 10<7з^ Р в = - у Я Г 1в<71.

Таким образом, граничные условия поставленной задачи на внешнем контуре имеют вид (1.5), (1.6) с дополнитель­ ными членами в правых частях:

УвЯЩ F

1_________1

Лх(а) =

P l(l+ X l) Ро (1+Хо)_

2

 

• (6 Л 4)

4bR*R\F

1______

1 1

Л2 (а) =

со' (а) 1+ х0 1 + X iJ

2

Правая часть граничного условия (1.7) на внутреннем контуре сечения обделки имеет вид (6.10).

2. Переход к краевой задаче для односвязной области

Решение поставленной краевой задачи теории функций комплексного переменного производится тем же методом, что и в главе 1. Умножаем условия на линии контакта на

..

1

•

da

ядро Коши

 

а _ ^ и интегрируем их почленно по кон­

туру Г, считая точку £ последовательно расположенной вне и внутри Г.

Значения большинства необходимых нам интегралов типа Коши приведены в главе 1, остается лишь вычислить интегралы от дополнительных членов, входящих в гранич­ ные условия.

176

В частности,

поскольку

 

 

 

 

1

 

 

 

П+1

 

 

 

2

hb a k~ l

 

 

 

и ' (о)

+

y

. ~

r l

 

 

^

a — a ft

 

 

k—0

 

 

k=\

 

 

интеграл типа Коши от этого выражения имеет вид:

1 Г со

1

-(/г0+

2 - ^ - 1 Г 1, С вне Г

\ a J da

2л1 J «то)' (гг) ст— £

п

(6.15)

 

2

£ внутри Г.

 

 

 

 

k=i

 

После почленного интегрирования при £ вне Г получим выражения (1.14), (1.15) с добавлением в правых частях соответственно членов:

—ГА , (о) — yb

2

1

1

X

2лi j

a — t,

.H-i (l^-Xj)

ЦоО+^о).

 

г

 

 

 

 

 

 

 

п + 1

 

 

 

 

хUo"f 2

8k

 

 

 

 

k=i t — ah

 

(6.16)

 

 

2

l____ __ i_

- L f A 2( a ) - ^ - = M

^

 

1 +Ko

X

 

2m-J

■ o — Z

2

1+Ki

 

 

 

Л+1

8 k

 

 

 

x \h0+

2

 

 

 

 

k=\ £— a h) £-

 

 

После интегрирования граничных условий при £ внутри Г получим, выражения (1.16), (1.17) с добавочными членами в правых частях:

—ГАЛо) —

YbR 2R 2, F X

2n i )

o — Z

 

 

1

 

 

X _____________!___1 v h

-lCi(l+K i)

fi0 (1 +

>to)J k — l

_L [ a 2 (o ) - * L .

(6.17)

Y b R 2R \ F X

2m'Jг

 

o—Z

 

X

i— n H 21

 

1+x0"

1 + X i J £=

 

%0

 

 

177

Смотрите также файлы