Файл: Фотиева, Н. Н. Расчет обделок тоннелей некругового поперечного сечения.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 23.10.2024

Просмотров: 99

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

3. Решение граничной задачи

Умножим полученное граничное условие на ядро Коши

2 ] da ^ и проинтегрируем его почленно по контуру Г,

считая точку р последовательно расположенной вне и внут­ ри Г. Интегралы типа Коши от выражений, находящихся в левой части граничного условия, выписаны в главе 1. Приведем здесь значения интегралов от слагаемых, входя­ щих в правую часть (6.34).

»

Представим выражение ^ а У У (k— 1) hhR~k a~k в виде ©' №.0) *=i

со I ------

I

0)'(^ с )'

n+1

п

У (k— 1) hb R~k a - k =

k=1

' h

1

 

 

=(Ло + hI a + ... + h'nan) (h2 R r2 a~2+ 2h3 R^3 o~3+...~h

+( n - \ ) h ni?r "o-«) +

+ 2 J ~ r t 2

» - ‘) К «г* » - * = 2

* +

*=1

hk=l

 

jS)

 

■

n+1

 

 

 

 

 

 

+ 2

'4- ^ “ ‘ +

2

t f - O M r * ® " * - (6.35)

k = l

 

k=\

k = l

 

Коэффициенты Ak,

 

A'—k, выражаются соотношениями

n - ( k + l )

Ak = 8 k+i

2

vhv+l R ^ v+l>hv+k+i

V= 1

(* =

0,1 .......n —2);

П — k

(6.36)

AJk = 6*_, 2

 

(v + k - 1) К hv+k RT(v+A)

v=0

 

(*= 1,2, ..., n).

Тогда интеграл типа Коши от выражения (35) имеет зна­ чения:

182

 

 

 

- ( Я Л

n

 

,

 

 

 

 

(О ---

 

 

=

 

 

—Г

 

У ( k ~ 1) К R -ь o-k

 

 

2tu J

со' (^ ict)

I

a - r r)

 

 

p

 

 

k =

 

 

 

 

 

л-Н

 

„

'

n

 

 

 

 

-2

 

Rigk

ft Y1—ft.

 

 

 

 

 

 

2 ( ^ — !)4 -R rftl1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

— 2

 

•‘4—ft "П- *. П вне Г

(6.37)

 

 

 

 

 

ft=i

 

 

 

 

 

 

n—2

 

 

 

 

 

 

62

 

2

 

11 внутри Г.

 

 

 

 

 

ft=0

 

 

 

Запишем далее

выражение

 

со

\ ст /

I

 

 

 

 

«+t

.-L. (6.38)

 

„ X 1 А,.'O -irrft-14-V —5 liL -

с о ^ Г ^

* «, а “

 

^

 

CT“ Kft Л1а

Интеграл типа Коши имеет вид

 

■Г.со (*) .

 

da

 

ч (ад+! ^ ) ’г‘

 

 

Т1 вне Г

2 ni J со' (Ri a)

RiO

a —т)

 

 

 

г

 

 

 

 

 

—- У h'k rj*—1, т] внутри Г.

Ri ft=i

(6.39)

Вычисление интегралов типа Коши от остальных членов

(6.34) не представляет трудностей.

После интегрирования получим два функциональных уравнения относительно неизвестных функций Pi(t]), ф('П) вида (1.66), (1.67) с правыми частями соответственно:

2

 

 

/

d

 

2 (ALk- R T k A - k)r\~k+

 

 

^

1+Х0

ft=i

 

 

П+1

 

 

 

 

 

 

- f t n

- k

 

 

 

 

 

 

 

b=1

Rif] — a k

~

 

 

 

 

11

я

ft=l

 

 

 

ft=l

 

 

■

""

 

 

 

"n+1 n

'

 

 

 

n - l \ —

 

^

Ri gk — gk

-(ho— h0)

- 1

l+ * i

 

 

Я1 4

—ah

« Г ‘ П

 

 

 

 

 

183

 

 

 

 

n-f-1

 

}

(6.40)

 

 

 

 

k=\

 

}

 

 

 

 

 

 

D,=

Vb« 2^

f

/ I

1 "

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

~

y h

k 4 ^ ( / R ^

+ dR l^) -

 

 

 

1+* « £ i

 

 

2/«i/lг

 

 

 

n — 2

 

 

I

 

1+Xo

6 =2

 

Л ) ^ > + у

• (6.4i)

 

 

*=0

 

 

*=0

J

Разложим все члены первого функционального урав­

нения по отрицательным, а второго — по положительным

степеням гр Выражение ALk — R j k Л_* представим

в виде

 

 

 

 

 

n — k

 

 

 

 

 

ALk — Яг*Л_й=6*_, 2

(v + Л— 1) hv+k{RT ^+k)

 

 

 

 

 

 

V=0

 

 

 

 

 

Av

*) — 6*-i

 

n — k

(v-f k— 1) hv+k (R^v ht,—hv).

 

k 2

Тогда

 

 

 

 

 

^

 

^

^

 

fi

 

 

 

 

 

 

 

2 (Л1й- / ? г *л_Л)г|-* = 2

 

S ( v + £ - i)Av+4x

 

 

 

 

 

&=1

 

v=0

 

 

 

 

 

x ( ^ r v K — hL)vrk.

 

(6.42)

Принимая во внимание разложение

 

 

 

n+ l

 

n '

 

 

 

oo

 

 

 

 

Y

tfigk—gb

 

v-1 * „

 

 

 

 

 

 

 

a6

 

m=1

1

1

 

получим

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

*=1

 

 

 

A=1

 

 

—* T]—* =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

OO

 

n

 

 

 

 

 

 

 

-

2

 

( k —

1) h k

C*m R - ( k + m ) „ -(ft+ m ) =

 

 

m = U = l

■

 

 

1

 

1

 

 

' « Д , J

1(* - l> A ,ftU R r ” »r"

 

 

 

°°

E (m — 1 ,n)

 

 

 

 

 

 

' Ж

 

Ж

{-k ~

l)hhCm-kR7mr r m,

(6.43)

184

где Е(т — 1, п) — наименьшее из чисел т — 1, п.

Кроме того,

 

 

 

Л+1 _

'

n_i „_i

""

 

'V' Rigk' gh

C*m / ? — ( " И - 1) T i - ^ + D

:

 

—«ft

R T \ 4 - l =

k=i

 

m=1

 

 

 

2 C*m- l R - 7 m r \ -m-

(6.44)

 

 

m = 2

 

 

После разложения по отрицательным степеням т] выражение (6.40) примет вид

д

fyr/_ d _

2 bk- i R i kv r k 2 (v + A— 1)х

2

1 \ l + Ко

,/г= 1

V—1

 

 

со /Г (/г—1 t n )

 

 

X /?v+ft (R jvK — hv)— 2

2

(m— 1) hmc|_m ^ 7

* rr*

 

ft=2

m=l

oo

 

1

 

 

 

(A i-A o)i?r14 - 1- 2 c J - , / ? r ft4 - ft

 

1+Ki

 

n+l

 

ft=i

 

 

я r &yj—^

(6.45)

 

— 2

 

*=1

 

 

 

Разложения членов уравнения с правой частью (6.41) по положительным степеням т] выписаны ниже:

2 { K - R \ h k) ^ - l= 4 (h'k+l~ R k+l hk+1) ^ . (6.46)

ft=i

 

ft—о

 

 

ti—i

2 Afc(/i?5-4-rf/?‘- * ) ^ - i = 2 аа+1(//?н ^ г й) лй;

ft=l

 

ft—0

n—2

л—(ft-b U

(6.47)

 

2 i f A +i

2

vAv+i (/?T<v4_I) Av+a+1 —R<lhv+k+i) =

ft=0

V=1

 

n — 2

n — (ft+1)

= 2

2

vAv+i(i?r(v+ft+1)Av+ft+i —Av+fe+I).

ft= 0

v= 1

 

 

(6.48)

Таким образом, соотношение (6.41) перепишется в форме

 

 

 

п — 2

 

2

(

2 ^ft+i Ri л* х

я—(*Н-1)

^ 1-Ь >с0 k~Q

vAv+i (tf-f(v+'H-»Av+ft+ i—Av+ft+i)—

х ' 2

V= 1

 

 

 

185

 

 

и—1

 

 

1+xi

2 ( ^ +1- ^ + < / г ,+1) ^ -

 

 

Ri k=o

]

1

n1—-11

2n

2 Afc+1 (//?? + dRTk) 4k) - 2 Pfc /?? ri*

• (6.49)

 

 

i=o

k=o

)

1+ к0 *

 

 

После приравнивания коэффициентов при одинаковых степенях ц придем к системе линейных алгебраических урав­ нений относительно неизвестных cv, av вида (1.110), коэф­ фициенты которой определяются формулами главы 1, а свободные члены выражаются следующим образом:

 

 

 

 

2

 

 

 

 

\

dx=

я

j F / _ 1

_ 2

vAv + , (/?r v h ' - Av) -

 

 

 

M + x 0 v=o

 

 

 

 

 

 

1

 

(Ao — A,,)4) — a , ) ;

 

 

 

1 +

K i

 

 

 

 

 

 

 

 

d

 

2 (v +

i)Av+2(^r vA;-

 

 

 

1 + Ко v=o

 

 

 

 

 

 

 

-Av)

 

1

Ci

 

a2

;

 

 

 

 

1+Xi

 

 

 

Vb«2

 

— [ 2

(v -f- 2) Av j3 (Rxv x

 

 

 

 

1 + Kq Lv=o

 

 

 

 

 

X A.v

Av)—A2c*l-|----

—&з|;

 

 

 

 

 

J

1+Xi

/

J

 

<*4=

*2 * V

l \ l

+ Ко [3A4 (A5 —A0)—Л2 c5-

 

 

-2 A3 c*] + ——

C3N —a. j.;

 

 

 

 

 

1 + X l

 

 

 

 

 

 

 

1+

2 vAv + 1 (/?r (v + 2 )^ + 2 .

(6.50)

 

 

К о V = 1

 

 

 

 

 

-Av+г)"

1

+K1 (RT*h'2 - h 2)-

 

 

- r s r ^ v + ' W r t ) - ? . } ;

 

 

 

 

1+Xo A2 (^Г4 A4 —A4)—

 

186

Смотрите также файлы