Файл: Фотиева, Н. Н. Расчет обделок тоннелей некругового поперечного сечения.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 23.10.2024
Просмотров: 89
Скачиваний: 0
занных с напряжениями известными формулами Колосо ва — Мусхелишвили [52], полностью определяющих напря женное состояние кольца и окружающей упругой среды, из граничных условий (1.5) — (1.7).
2. Переход к задаче для односвязной области. Решение задачи
Комплексные потенциалы ф (£), ф (£), характеризую щие напряженное состояние массива, голоморфны вне ок ружности Г, включая бесконечно удаленную точку, т. е. имеют при достаточно больших £ разложения:
0 0 оо
Ф(£)= X |
«vS -v; Ч>(£)= 2 bv £-v. |
(1.8) |
v = 0 |
л>= 0 |
|
Не меняя напряженного состояния, можно принять
а 0 — 0; С = О,
и, следовательно,
ф ( оо ) = 0.
Комплексные потенциалы фх (£), фх (£), определяющие напряженное состояние обделки, голоморфны в области
кольца Р х |
^ г ^ 1 |
и могут быть представлены в виде: |
<Pi (£) = |
P i (О + |
Р* ($); ^ (S ) = Qi(0 + Q2 ( a (1.9) |
где P x (£), Qx (£) |
— функции, голоморфные внутри единич |
||
ной окружности |
и, следовательно, разлагающиеся |
в ряды |
|
|
оо |
оо |
|
Рх(£) = 2 |
cv £ \ Ql( £)= 2 <U V, |
(1.10) |
|
|
V — 0 |
v = О |
|
а функции P 2 (£), Q2 (£) — голоморфные вне окружности радиусом Р х< 1, включая бесконечно удаленную точку, выражаемые формулами
оо |
оо |
|
р 2 ( 0 = 2 |
/ v £ - v ; Q 2 ( £ ) = 2 f v Z ~ v . |
( 1 . 1 1 ) |
v = 1 |
v = 1 |
|
В силу геометрической и силовой симметрии относитель но оси Ох все коэффициенты разложений в ряды вещест венны.
Подставим, следуя [48], выражения фх (£) и фх (£) из (1.9) в граничные условия (1.5) и (1.6). Получим на Г:
30
|
|
|
|
- |
/ 1 |
|
|
|
|
|
|
Ко. |
|
|
|
CD |
а |
ф'(а) + г|;(а) |
= ^ Р г |
||||
Ho■ф — — Но L со' (о) |
|||||||||||
|
|
|
Hi |
|
|||||||
|
|
^ |
р |
2 |
1 |
со |
|
|
|
|
|
|
|
со' (а) Р{ (а ) + Qi (ст) |
|||||||||
|
|
Hi |
V о |
Hi |
|||||||
|
|
|
|
____1_ |
ш |
|
|
|
|
( 1. 12) |
|
|
|
|
|
со' (а) |
Pi (о) -f- Qz (о) |
||||||
|
|
|
|
Hi |
|||||||
ф |
|
|
|
(о (а) |
|
|
|
Vа |
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
со |
|
|
|
|
со |
|
|
|
|||
+ |
о/ (а) |
^'(aH -Q ila) |
' |
( т ) |
Pi (°) 4~ |
2 |
|||||
' ' ' ' |
^ 4 7 |
со' (о) |
Q (о). (1.13) |
||||||||
Умножим обе части условий (1.12) и (1.13) на ядро Коши |
|||||||||||
1 |
da |
^ |
и |
проинтегрируем |
почленно |
по |
контуру Г, |
||||
2 ^ • g |
|
||||||||||
считая точку £ расположенной последовательно вне и вну три Г. Ниже приведены результаты почленного интегри рования (обход контура ведется против часовой стрелки):
2яг J \ о J а— 5 |
J _ |
av \ о , da |
|
2ni |
|
о —5 |
|
г |
v= 1 г |
|
|
О, |
5 вне |
Г |
|
ф] , £ внутри Г;
|
v~ о |
г |
|
|
|
A(£) + A |
£ вне Г |
|
|
||
ь0, |
|
5 внутри |
Г; |
|
|
^ da |
■ 1 |
A R |
А |
= |
|
/ о - 5 " |
2яс |
V = 0 |
J |
о— 5 |
|
|
|
г |
|
|
|
М т) + с0, 5 вне Г |
|
|
|||
Со, |
|
5 |
внутри Г; |
|
|
31
|
_L Гp2 (_L \ da - 1 |
^ |
|
da |
|
||||
|
2ni J |
\ a / a— £ |
2 ni 2 |
^ °vo— S |
|
||||
|
Г ■ |
|
|
|
V = 1 |
|
Г |
|
|
|
|
|
О, |
£ |
вне Г |
|
|
|
|
|
|
Pi (‘ y1 ) ’ |
£ |
ВНУТРИ Г; |
|
|
|||
_ 1 . Г Ql(ff)_*E_ = _ L y |
<*„(>_da |
f |
0, |
£ вне Г |
|||||
2 шО' |
СГ— £ |
2яс ^ |
VJ |
a |
£ |
lQi(£), |
l |
внутри Г; |
|
|
|
v—о |
г |
оо |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
2яс |
A = I y / v ( ff- v A = |
|||||||
|
a— £ 2 ju |
|
|
J |
a— £ |
|
|||
|
|
|
|
v = |
1 |
Г |
|
|
|
|
|
_ ( —Qz(Q, |
l |
вне Г |
|
|
|
||
|
|
1 |
0, |
£ внутри Г. |
|
|
|||
После |
подстановки |
полученных |
значений |
интегралов |
|||||
в проинтегрированные при £ вне Г условия (1.12) и (1.13) получим
- / 1
Ро |
2ni J ----—— |
|
|
da |
|
|
^(S)---- ~ |
^ 0 |
: |
|||||
|
|
г |
, ,, |
ф 'И - ^ Н - — |
|
|||||||||
|
|
O)' (a) |
|
|
a —£ |
ц0 |
|
|i0 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(t\ |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I — |
гл / / |
\ da |
||
= — ~ P i ( — ) + — c0 |
|
1 |
1 |
|
|
a j |
||||||||
Pi |
2л( J |
co' (a) |
Pi (P)------ |
|||||||||||
Pi |
V t 1 |
Pi |
|
|
o— £ |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Г |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- - - |
• ^ |
f |
co |
(a) |
P2 (a ) - ^ r + |
— Qi (S); |
|
(1.14) |
||||||
|
jiii |
2m |
J |
|
|
a —£ |
|
juj |
|
|
|
|||
|
CO |
a J |
, |
, . |
da |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2яг J |
co' (a) |
cp'(a) |
a—£ |
■ty ( 0 |
+ |
fy)= — |
^ 1 ( 4 |
“ ) + |
||||||
|
|
|||||||||||||
Г |
|
|
|
|
|
|
- / |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
co |
|
|
|
|
|
|
|
+ < V -ft ( 0 |
+ |
^ f -4 fr ^ |
(®) - ^ r 4 |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
2m J |
co ' (a) |
|
a — £ |
|
|
||||
|
|
+ |
|
|
CO |
a |
/ |
f / \ |
|
da |
|
|
(1.15) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
2 я( J |
co' (a) |
/ > 2 |
(a) |
a —£ |
|
|
||||||
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
32
Подстановка значений интегралов в условия (1.12) и (1.13), проинтегрированные в предположении, что точка £ расположена внутри Г, дает
х0 — |
|
|
± . j _ r |
|
|
|
|
|
Ь0 = |
|||||
— Ф |
|
|
|
|
о—£ |
Но |
|
|||||||
Но |
|
|
|
Но |
2ш J ©'(а) |
|
|
|
|
|
||||
= ^ |
CQ+ ^ . p 2 |
£ |
■ |
I ( - M ( |
v ) Pi(o) |
|
|
da |
|
|||||
Hi |
|
|
Hi |
|
Pi |
2ni J |
©' (a) |
|
|
a —£ |
||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 1 С ©V a / n' / \ da |
|
L Qi(t); |
|
|
|
(1.16) |
||||||
|
------ ------------П~7~Р2 CT) ----r |
|
|
|
||||||||||
|
|
Pi |
2 я1 |
J |
to |
(a) |
a—£ |
pi |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
г |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
© |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ф (■-j-) + |
|
f - А т г |
ф'' (a) ~ ^ Т + b° = c° + M |
1. |
- Г ) + |
|||||||||
V £ |
/ |
2 m J |
©' (a) |
|
a—£ |
|
|
|
£ |
/ |
||||
+ Qi (D + — |
» f 1 |
Pi ( o ) - ^ _ + — |
s / |
l |
|
|
(a) |
da |
||||||
f — |
|
f —^ p ' |
|
|||||||||||
|
|
2nt J |
© '(0 ) |
|
о— £ |
2 ni J ©' (0 ) |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
г |
|
|
|
|
(1.17) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Одинаковые по написанию интегралы по контуру Г от личаются друг от друга тем, что в равенствах (1.14) и (1.15) они вычисляются при £ вне Г, а в равенствах (1.16) и (1.17) — при £ внутри Г.
Умножим (1.15) на v-Jv-i и вычтем (1.14). Получим
Xiро -р pi |
I f |
V0 ! |
rr,r t„ \ |
da |
i<ip0-|-pi |
||
|
|
- Г |
\ _P . J - ( p '( q ) |
|
|
||
р0 pi |
2ш 0 |
©' (0 ) |
|
a - £ |
Ho Hi |
||
|
*1 Ho+ Hl A |
_ 1 +Xi |
|
© ( - 1 |
|||
+ |
1 |
V 0 ^ P ' (a) - A . |
|||||
---------- |
0 O— |
2ni J |
|||||
|
Ho Hi |
|
P i |
©' (0 ) |
|
||
|
|
|
|
|
г |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
+ |
i+ x i |
1 |
r |
© |
p , (ff)_ ^ 0 |
_ L±xi q2 (0 . |
|
|
Pi |
2ju J |
© (o) |
|
0 —£ |
pi |
|
|
|
|
Г |
|
|
|
|
2 Зак. 488 |
33 |
Отсюда, |
введя обозначение |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
^_ЩНо + Hi |
|
|
|
|
|
(1.18) |
||||
|
|
|
|
Но (1 +Ях) |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
имеем следующее выражение для функции Q2 |
(Q: |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
Q2(£) = /ф (9 - |
|
со I — |
|
|
d o |
||||||||
lbо- |
/ -L Г — liLZ. ф' (а) |
||||||||||||
|
|
|
|
2я,£ J |
|
со' (о) |
|
о—? + |
|||||
, |
» ( - Ч |
|
Г |
|
|
» ( - Ч |
-р*(ст)^ та —£ |
||||||
+ Гju-J\ ~ (0^ Т(ст)Г Р{ (а) 0 —1 г +2 mт~j- f |
~СОЧ(стт) |
||||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
г |
|
|
|
|
|
|
|
г |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1.19) |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Умножив (1.15) на l/p^ и сложив с (1.14), получим |
|||||||||||||
|
|
3 (1 ] |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Но—Hi _ 1 Г |
V° > |
у ' {а) |
d° |
|
^ |
Ф Й |
) + |
||||||
Но Hi |
2 яг J |
со'(а) |
а —£ |
||||||||||
|
Но Hi |
|
|
||||||||||
|
|
Но—Hi |
= _1~bxi р |
|
( |
1 |
I |
1 + И 1 |
с0. |
||||
|
|
Но Hi |
|
Hi |
|
|
|
|
|
Hi |
|
|
|
Обозначив |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
Но —Hi |
|
|
|
|
|
(1.20) |
|||
|
|
|
|
Но (1 +щ) |
|
|
|
|
|
|
|||
находим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- |
( |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
со ( i )ср.'(а) da |
|||||
|
|
("r)_T Co+‘"+i J 17(ст) |
|
ст — £ |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1.21) |
|
Умножим далее равенство (1.17) |
на >сх/р1 1 |
и вычтем из |
|||||||||||
него (1.16). |
Имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
KiHo —«оН1 |
~ / 1 \ |
j XiHo + Hi_ 1 |
|
Г 5 |
Ж |
|
_ . |
(о) а — с + |
|||||
Но Hi |
|
V S / |
Но Hi |
|
Г |
|
<в'(ст) |
ф' |
|||||
|
|
|
|
- |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
/ |
1 |
|
|
|
|
|
||
j_ xi Но Hi ^ __ 1+ И 1 |
со |
|
|
|
|
|
|
da |
|||||
1 Г |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
Но Hi |
Hi |
2га J |
со' (ст) P i (о) о—£ |
|||||||||
|
|
|
|
г |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
34