Файл: Фотиева, Н. Н. Расчет обделок тоннелей некругового поперечного сечения.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 23.10.2024

Просмотров: 88

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

1 +Xl-Qi(S) + ^

Hi

-

—

Г —

0

 

^ р'2( о ) Л ? - .

Hi

 

 

2n

i J

 

со' (a)

 

 

’

a —£

Отсюда определим

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

-

/

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

CO

 

 

 

 

 

 

 

Q i( 0

= s q 5 ( ^ - W /- ^

Г - --, ° j

 

ф' (a) —

 

 

V £ J

 

 

2r a j

(0

(a)

 

 

 

a —

 

CO

 

 

 

 

 

 

(0

i

 

i

 

 

 

 

- - L f

0 7 p; (a) —

 

2ш J

o)

(a)

 

 

a —£

2ni J a»' (a)

 

 

 

 

г

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

( 1.22)

где

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

X^p—x0 p,t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(1.23)

 

 

 

 

Ho ( 1 + >*l)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Умножением равенства (1.17)

на 1/px

и сложением его

с (1.16) получим

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Xo_Hi + И? ~ /'J_\ j_ Но—Hi

1 Га >Vф/

 

a

 

do

Но Hi

\ £ /

Но Hi

2ixtJ

 

 

(a)

 

 

a —£

+ ^ ^ L b 0==l- ± ^ c 0+ -1± ^

 

p

j ~ )

 

 

Обозначив

Но Hi

 

Hi

 

 

 

Hi

 

 

\

Ъ /

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

^ _

Яр Hi 4~Ho

 

 

 

 

 

 

(1.24)

находим

 

 

 

Ho (1 +

*i)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

-

/

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

CO

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(т) = ,ф ( f )+^ / 4 | г Ф'

 

 

+

(1.25)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Определим значения входящего в выражения

искомых

функций интеграла типа Коши 2n

 

со ' 1

'

/

/ \

WUda

i

j со'(a)

Ф

(о)

при

 

 

 

 

 

 

 

г

 

 

 

 

 

 

 

£ вне и внутри Г. Исходя из (1.1), где п — число членов ряда

2* 35

отображающей функции, необходимое для получения отоб­ ражения достаточной точности, запишем выражение произ­ водной со' (С) на контуре Г:

 

со'(a) = #

( l — 2

vqv o - v~

 

( 1.26)

 

 

 

V ~

1

 

 

Тогда, учитывая,

что

со ( — \ = R | о- 1

+ 2 c?vcrv |> от-

 

I

 

 

 

V=1

 

 

 

 

 

 

 

ношение

со

можно записать в виде:

 

со'(сг)

 

 

 

 

 

 

 

-

1 1

 

 

 

 

 

со

а

a~1+q1a + q2a2+ ...+qn on

 

со' (о)

l —q1a-2 — 2q2a-3— ... —nqn<3-n- 1

 

 

on + q1 оп+2+ q2 an+3-f ... -4-qn a2 n + 1

(1.27)

 

arl+1— q-ia" - 1 — 2q2a" - 2

-nqn

 

 

После выделения целой части функцию (1.27) можно пред­ ставить следующим образом:

(О f

'j

п-\~ 1

 

— — ■— = h0-f- hx о -f h2a2 + ■•. + hn on-f- 2

~ ~ — >(1-28)

со

(a)

k= l

o—ah

где hi

(i = 0 , 1 , 2 , ...,

n) — коэффициенты

целой части,

определяющиеся делением многочлена на многочлен (что будет выполнено далее); ak — корни знаменателя (1.27);

gh — вычет функции (1.27)

в точке а — ак. Всего корней

ak п + 1 , и среди них

 

нет равных.

 

имеет вид

 

Производная ср' (а),

согласно (1.1),

 

 

 

 

оо

 

 

 

ф'(о) =

 

— 2 vav a - v-

‘.

(1-29)

 

 

 

V= 1

 

 

 

Представим произведение

со'(о) ф' (а)

следующим образом:

со' (а) ф '(°)=

— (Ao + ^ a - f

... + hn о п) Х

 

 

 

 

 

 

П~\- 1

■ q— .

X (а1о~2-ф2 а20 “3+ ... +

по„ а г " - 1-ф ...)ф-ф'(а) 2

 

 

 

 

 

k=ia—ak

36

Выпишем коэффициенты

при положительных

степенях о

в полученном многочлене:

 

 

A0 = a1h2 + 2a2h3 + ... +

 

п — 1

(n— l)a„_1/in = S1

2

vav/iv+t;

 

 

 

V — 1

Ах = axhz-\- 2 а2 /г4 +

 

(п—2 )a n_2 /in = 8 2

я— 2

... +

2

vav^v+ 2 ;

 

 

 

v= 1

 

 

(n—3)an_zhn = 6 3

n — 3

Л2 = a4 /i4+ 2a2 /i5 +

... +

2

vavAv+3;

 

 

 

V =

1

+1-2 = M n -

Здесь принято обозначение, часто встречающееся в даль­ нейшем:

1 1 при i < п

(1.30)

(О при i ^ n '

Обобщая предыдущие формулы, получим коэффициенты при положительных степенях:

Ak = 8k+1

«-(*+ 1 )

 

 

 

 

 

 

 

 

2

vav/zv+*+ i

(6 = 1,

2, ...,

л —2). (1.31)

 

 

V = 1

 

 

 

 

 

 

 

 

Коэффициенты

при

отрицательных

степенях а:

 

 

 

 

 

П

 

 

 

 

 

A„1 = a1h1Jr2a2h2-\- ...-\-rianhn= 2

vav/iv;

 

 

 

 

 

 

v= О

 

 

 

n

 

A-1— Clxft0 + 202^!+ ...+ (0 +

1) CLnilhn =

 

 

 

 

2

(v+ 1) Ov+l^v ;

 

 

 

 

 

 

 

v = 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

П

 

Л_з = 2а2 /1о+За3 /г1+ ... + (п + 2)ап+2 /1п=

 

2

(v+2)av+2 /v,

 

 

 

 

 

 

 

v= 0

 

В общем виде

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

— 2

(v + ^ — 1 ) /гv £jv+ а—i•

(1*32)

 

 

 

v = 0

 

 

 

 

 

 

 

Входящее под знак*отыскиваемого интеграла произведе­

ние, таким образом, имеет вид

 

 

 

 

 

-

/

1

 

 

 

 

 

 

 

 

со

(-4

 

 

 

 

 

 

A_ha - k+

 

 

СТ' ф '( о ) = —б 2 2 Л < + — 2

•

со' (ст)

 

k==o

А*

 

 

 

 

 

 

= 1

 

 

 

37

 

n + i

(1.33)

+

8 k

ф'( ог) k2 = i a — a h

 

а интеграл типа Коши, взятый по окружности Г от этого

выражения,

запишется

следующим

образом:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

п+

1

 

 

 

 

 

 

 

2

 

4

^

- ?

' © 2

г

 

 

 

 

 

 

 

* = 1

 

 

-

/ 1

*=l S—a ft

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

-

i

1

 

 

 

 

 

 

 

со

 

 

 

_1

. -со( - ч

 

 

 

 

 

 

 

<*>' (£)

Ф' © '

2лit

J

СО

(о)

а —

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

S

вне Г;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

- 6

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

*=о

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

п—2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

—б2

2

£ внутри Г.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

к=О

 

 

(1.34)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Подставив значение интеграла (1.34) при £ вне Г в фор­

мулы (1.19)

и (1.21), будем иметь

 

 

 

 

 

 

 

 

 

П-f- 1

 

 

со

 

 

 

1

 

 

 

& (£ )= /

ф' ( 0 2

— 2

 

 

 

J

+ а д - ^ 0+

 

 

 

 

k = il —ah

 

k=\

 

 

 

 

 

 

+ b

 

\

^

p[{G)— t

+ h

\ -

 

^

i

^ p 2' {o)—

r ' (L35)

2ncJco

(a)

a —£

2лс J

 

со

(cr)

 

a —£

 

г

 

 

 

 

 

г

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

'н£,=т Ч т ) - у с»+,'')-

 

 

 

 

 

 

я+ 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(1.36)

 

 

 

 

ф'( 9 2

^

 

-

2

k=\

 

 

 

 

 

 

 

k=\ l

— a.h

 

 

 

 

 

Подстановка (1.34) при £ внутри Г в выражения (1.22) и

(1.25)

дает

 

 

 

 

 

 

Qi (S) = scp ( 4 - ) — /б2 2

\

+

 

 

 

 

k= 0

 

 

 

 

1

гм(^

1 Г Ю(

° ')

Dt

(L37)

2ш* J со' (а)

Р'г И—a —£, ~ 2hяс Jf

CO (a)

p'2(a)^a —£

 

г

г

 

 

 

 

38

fl_2

Рг [ y ) = /(P ( y ) ~ d^ ^ 0Ah^k+ dbo ~ Co- (1-38)

Взяв комплексно-сопряженные значения от обеих частей формулы (1.38), получим на контуре Г:

п — 2

P2(o) = f(p(o) — d62 2 Aha ~ k+ db0 — с0. (1.39) k=0

Найденные значения ф (£) и Р 2 (0 из (1.36) и (1.39) подставим в выражения для Qx (£) и Q2 (£). Предварительно возьмем соответствующие интегралы, причем для подста­ новки в выражение Q2 (£) интегралы берутся при £ вне Г, а в выражение Qx (£) подставляются интегралы, найден­ ные при £ внутри Г.

Согласно (1.10),

 

P 'i

(о) = 2

vcv av “ 1.

 

 

 

v=o

 

 

Тогда произведение

© 1 a

Р[ (о) можно представить так:

со'(о)

5(-)

Р[ (a) = (/io+^i0

+

/i2 0 2+ ... + hnon) X

v а '

со' (a)

 

 

 

п + 1

 

X (c1 + 2c2 a + ... + псп ап~ 1+

 

...)-РР{ (а) 2

gh

 

 

 

 

k= i 0

—as

и интеграл по окружности Г от этого выражения запишется следующим образом:

п-\-1

-

S

- ^ Л

' К )

I вне Г;

 

ft=i

aft

 

 

d a

 

 

 

 

Pi (°)

 

©'(£)

Р Ш -

г

n+i

 

 

 

-

- Р \

К )

С внутри Г.

2 ~

 

ft=i £ —aft

 

(1.40)

 

 

 

 

39

Смотрите также файлы