Файл: Основы динамики сооружений учеб. пособие.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 23.10.2024

Просмотров: 93

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

Кинетическая энергия каждой сосредоточенной массы тк, рас­ положенной на балке, совершающей поперечные колебания, опре­

деляется по известной

формуле

теоретической механики:

, ,

1

о

1

dy{ak, t)

Ѵт =

— mkv\ = — ть

dt

 

 

 

 

где ak — абсцисса точки, в которой расположена масса; скорость движения массы.

Аналогично вычисляется кинетическая энергия элементарной

массы m(x)dx:

 

ду (х, t)

 

dVm(x)

т (л ) ѵ2 (х, t)d x = -^- т (х)

dx.

 

 

dt

 

Тогда полная

кинетическая энергия всех

распределенных и

сосредоточенных масс, расположенных на балке, при ее попереч­

ных колебаниях будет

 

 

 

 

1

г

ду (х, t)'

d x + S>, Щ2

dy(ak, t)

Ѵ =

т (х)

 

dt

dt

 

 

0

 

k=\

 

Потенциальная энергия изгиба балки может быть вычислена по формуле, известной из курса сопротивления материалов:

I

Ж 1 (х) dx

Ш

Используя дифференциальное уравнение изогнутой оси балки

 

 

 

rd*y

 

можно написать

М {х ) = -

ЕІ d x 2

 

I

 

 

 

 

д2у{х, t)

 

U-

E l

dx.

 

дх2

 

ц

 

 

 

 

 

 

В § 13 была получена формула

(4.3), по которой прогиб у{х, t)

балки может быть представлен как произведение двух функций,

из

которых

одна зависит только от х,

а

вторая — только от t.

Поэтому будем искать прогиб балки в виде

 

 

 

Х(х)

у ( х , t) = X ( x ) T ( t) ,

 

 

где

— функция,

описывающая форму колебаний

в зависи­

 

 

мости от х;

 

свободные

гармониче­

 

T ( t ) — функция,

характеризующая

 

 

ские колебания балки около положения статического

 

 

равновесия,

 

 

 

 

 

 

Т { t ) ~ А sin (<ot -f

т),

 

 

©— частота свободных колебаний;

Аи у ■— постоянные коэффициенты, зависящие от начальных

условий.

87

С учетом этого

у(х, t) = А Х ( х ) sin (<at -f if).

Подставим значения у(х, t) в выражения для кинетической и потенциальной энергий. Предварительно вычислим значения про­ изводных, входящих в эти выражения:

- А Х (X) со cos К +

т);

 

 

ШCOS К + т);

д2у (х, t)

d2X

(х)

,

 

 

-

л T

T “

(»' +

t)-

После подстановки будем иметь

 

 

 

I

 

 

 

 

V =

J т (х) А 2Х 2 (х) со2 cos2 (<ot +

f ) dx-\-

 

о

 

 

 

 

 

П

 

 

 

 

+

tnkA2X 2 (ak) <ъгCOS2 (u>£ +

т) =

: -g- Л2«2 COS2 (®^ + у)

tn (х) X 2 (х) dx +

tnkX 2 (ak)

U = — I EIA2 sin2 (co£ -f- t)

I

— ~ A 2sin2 (co^+ y) j* EI

Кинетическая и потенциальная энергии получают максимальное значение в том случае, когда станут максимальными функции, за­ висящие от времени, т. е. когда

cos2 (со£ т) = 1 и sin2 (ш£ -j- т) = 1 •

Таким образом, будем иметь следующие выражения для макси­ мальных значений кинетической и потенциальной энергий:

I П

Ѵ„

1

Л2оЛ

 

 

" ^ ^ т (х) X 2 (х) d x ^ т ^ Х 2(ак)

 

 

 

 

*=і

 

 

EI

d2X (x )

dx.

 

 

 

dx2

 

(5.2)

(5.3)

88

Приравняв

согласно (5.1)

эти значения,

прийдем

к

формуле

для квадрата частоты колебаний:

 

 

 

 

 

 

 

El

d'-X (л)

2

dx

 

 

 

 

 

 

d x 2

 

 

 

 

 

(5.4)

 

 

 

 

 

 

 

 

Для балки постоянного сечения, несущей только постоянную

равномерно

распределенную

массу,

 

т.

е.

при

£ / = const,

m (x)=m = const и/и*=0, формула (5.4)

 

упрощается

и принимает

вид

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

d2X ( x )

 

dx

 

 

 

 

 

 

d x 2

 

 

 

 

 

 

E l

 

 

 

 

 

(5.5)

 

i

 

 

 

 

 

 

m

 

 

 

 

 

 

 

 

j X2 (x) dx

 

 

 

 

Таким образом, пользуясь

энергетическим

методом,

удалось

получить в явной форме выражение для определения частоты свободных поперечных колебаний упругого стержня, являющегося системой с бесконечным числом степеней свободы. При выводе этой формулы мы основывались на тех же предпосылках, что и при составлении дифференциального уравнения движения стержня в предыдущей главе. Единственное допущение, которое было использовано дополнительно, — однотонность колебаний. Поэтому, если в формулу (5.4) вместо Х(х) подставить точное уравнение стоячей волны Х п (х), соответствующее n-ой главной форме коле­ баний, то мы определим точное значение ее частоты свободных колебаний. Однако зависимость (5.4) может быть использована для приближенного определения частоты основного тона колеба­ ний, если вместо Х{х), которая, как правило, бывает неизвестной, подставить любую функцию, удовлетворяющую граничным усло­ виям и отвечающую общему характеру деформирования стержня. Такие функции называют «подходящими».

Заметим, что если при определении частот колебаний исполь­ зовать подходящие функции, то по формуле (5.4) получим зна­ чение частот колебаний, которые будут несколько выше истинных. В самом деле, принимая вместо действительной формы колеба­ ний Х п(х) какую-то другую Х(х), мы предполагаем наличие до­ полнительных сил, вызывающих прогиб Х п (х)—Х{х). Эти силы можно рассматривать как дополнительные упругие связи, нало­ женные на балку и стесняющие ее движение, т. е. повышающие ее жесткость. Увеличение же жесткости, как известно, ведет к уве­ личению частоты колебаний.

89

-j-\
—- = Ао>гт (x ) X (x);
^ = Ан>2ткХ (ak).

Идея замены истинной формы колебаний балки подходящей функцией, удовлетворяющей граничным условиям, принадлежит английскому физику Рэлею (1842—1919), и поэтому в технической литературе этот метод называется методом Рэлея. Иногда удобно в качестве подходящей функции использовать линию изгиба балки от статического действия заданной нагрузки.

Следовательно, энергетический

метод

позволяет

приближенно

и с достаточной точностью (как

будет

показано

в

следующем

параграфе) определить частоту того или

иного тона

колебаний

балки, если удастся подобрать подходящую функцию для соответ­ ствующей формы колебаний. Энергетический метод применим не только к стержням, но и к любым другим упругим системам.

Энергетический метод, как и другие приближенные методы, как правило, используется для приближенного определения часто­ ты основного тона колебаний. Зная частоту основного тона коле­ баний, можно вычислить максимальные значения сил инерции (распределенных и сосредоточенных) как произведение массы на максимальное значение ускорения, взятое с обратным знаком.

Выражение для ускорения точки оси балки с координатой х имеет вид

д2У(х, t)

— А Х (X) (a2 sin {at + f).

dt*

При sin(oi/-bT) = 1 получим максимальное значение ускорения:

шах ~P yf t2 f) = -

(*).

Тогда максимальные значения сил инерции будут:

— распределенные

$2V

шах i (х) = — т (л:) max —

— сосредоточенные

max J (ak) = — mk max ^ У

Определив максимальные значения сил инерции, можно про­ извести расчет балки на совместное действие сил инерции и ста­ тических нагрузок.

Знание частоты основного тона свободных колебаний балок важно также при расчете вынужденных колебаний (особенно при действии вибрационных нагрузок), так как позволяет установить частоту возмущающей силы, при которой возникнет резонанс.

§ 19. Вычисление частот свободных колебаний для однопролетных балок при различных опорных закреплениях

/. Простая балка

Определим частоту свободных колебаний балки длиной I, с по­ стоянной жесткостью ЕІ и равномерно распределенной массой m

90

Смотрите также файлы