Файл: Основы динамики сооружений учеб. пособие.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 23.10.2024

Просмотров: 96

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

по первой главной форме. Упругая линия в этом случае должна быть представлена уравнением кривой, пересекающей ось абсцисс только в точках опирания балки. Рассмотрим два варианта зада­ ния такой кривой: ^

—с помощью тригонометрических функций,

—с помощью степенной зависимости.

1-й в а р и а н т . Примем, что упругая линия представляет собой полуволну синусоиды, т. е. примем в качестве подходящей функ­

ции

X (х) = С sin

.

 

 

 

 

 

 

 

Нетрудно убедиться, что эта функция удовлетворяет граничным

условиям:

равенству

нулю прогибов Х(х) и изгибающих

момен­

 

 

ту

(х)

 

 

 

 

 

 

 

 

тов М = —El

d x 2 '

на опорах,

т. е. при х = 0 и х = 1.

 

Воспользовавшись формулой (5.5), будем иметь

 

 

 

 

d2X (х)

dx

 

C ^ -

, ‘КХ

dx

 

 

 

 

dx2

 

sin1“

 

 

 

„2 ^

Ш

 

Ш

L ll

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

tn

/4

 

 

т

j X 2 (х) dx

tn

 

 

 

 

 

 

 

C2 I

sin2 —7- dx

 

 

 

 

 

 

 

 

0

I

 

 

 

Тогда

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n2

f Ш

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

T

V

tn

 

 

 

 

Сравнивая полученный результат с формулой

(4.15), видим, что

он

точно

совпадает

с частотой

2первого

тона колебаний

простой

балки. Это естественно, потому что в качестве подходящей функ­ ции взято уравнение первой формы колебаний простой балки

(см. § 16).

Кроме того, замечаем, что при определении частоты постоянный коэффициент С, входящий в выражение для Х(х), сокращается. Поэтому в дальнейшем при выборе подходящих функций Х(х) коэффициент С будем полагать равным единице.

2-й в а р и а н т . Примем, что упругая линия при колебании балки представляет собой ее изогнутую ось от статического дей­ ствия равномерно распределенной нагрузки. Из курса сопротивле­ ния материалов известно, что в этом случае уравнение прогиба балки имеет вид

У(■*) =

Я?

X'

24El

I1

Опустив постоянный множитель, представим уравнение стоячей

волны в виде следующей «подходящей»

функции:

\г / \

X

rS

х 4

х а

 

X (X)

I

2 і^л

F '

 

 

 

91

Эта функция, описывающая с точностью до постоянного множителя изогнутую ось балки при действии конкретного типа нагрузки, удовлетворяет граничным условиям.

Вычислим интегралы, входящие в формулу (5.5):

I

X 2(X) dx — ' '

- 2 Г 4 Ѵ +

2

31/

 

 

 

 

 

 

 

 

I

I

 

*

630

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

d2X ( x )

12

X

X*

 

 

 

 

 

 

d x 2

l2

T

/ 2

 

 

d2X (x)

 

,

144

- 2

 

 

24

dx 2

 

dx

— ^

 

+

dx = 5/3 ’

Тогда по формуле (5.5)

получим

 

 

 

 

 

 

 

г

El

24

. 31/

97,548 Ш

 

 

 

 

 

Ш

т

5/8

630

 

т

 

 

 

 

 

 

9,88

/ ;'Ш

 

 

 

 

 

 

 

~

/2

V )т

 

 

7Г2

/ £ / _

Сравнивая

этот

результат с точным

значением

~12

У т ~

9,8696

 

 

 

 

 

 

 

 

 

§

(см. §

17),

видим,

что

погрешность составляет

У

/2

V

т

 

 

 

 

 

 

 

 

немного более 0,1% в сторону завышения истинной частоты, как это и отмечалось в предыдущем параграфе.

2. Балка с защемленными концами

Определим низшую частоту свободных поперечных колебаний однопролетной балки с защемленными концами длиной /, постоян­ ной жесткостью ЕІ и с равномерно распределенной массой т.

Рис. 38

Первая главная форма колебаний балки должна быть пред­ ставлена в виде плавной кривой, пересекающей ось абсцисс в точ­ ках опирания. У опорных сечений касательная к этой кривой долж­ на быть горизонтальной (рис. 38). Представим форму стоячей

92

волны в этом случае с помощью’ тригонометрической функции, т. е. в виде косинусоиды, имеющей длину волны, равную пролету балки, и отсчитываемой по оси ординат от линии у= 1. Уравнение косинусоиды будет иметь вид

у ( Х ) — 1 = — COS —J- .

Тогда подходящая функция для уравнения стоячей волны запи­ шется следующим „образом:

Х ( х ) = у(х ) = \ - c o s —

Из рисунка видно, что заданная таким образом «подходящая» функция граничным условиям (отсутствию прогибов и углов по­ ворота сечений на опорах, т. е. при х = 0 и х — 1) удовлетворяет. Убедимся в этом. Вычислим первую производную по х:

d X Ос)

. 2ъх

d x ~

Т sm ~ Т '

На левом конце балки при х = 0 имеем

Л'(О) = 1 — 1 = 0 ;

dX (0)

0.

dx

 

 

На правом конце балки при х = 1

X (/) = 1 — cos - 0;

— ~ sin 2п — 0.

Таким образом, принятая функция X{х) граничным условиям удовлетворяет.

Вычислим интегралы, входящие в формулу (5.5):

I

 

I

 

2ъх\ 2

,

 

X 2 { x ) d x = \

1

cos

 

- j - I

dx

 

d2X {x) ‘

 

 

l

2kx

 

8^4

 

 

An2

2

d x2

dx

=

~ p C0S~ T

dx =

IF ‘

 

 

J

 

 

 

 

Тогда по формуле (5.5) получим

.

ш

8u*//3

i6 ^

m

 

a)z =

m

3//2

3

E m

 

 

4

r2

/

E l

22,8

f El

ш ~

 

/*

X

m

l2

у m

93

Ранее было получено точное значение частоты колебаний пер-

*

22,373 • _ / £ ?

вого тона для балки с защемленными

концами: ш = —

-

\ /

—.

 

11

 

у

т

Погрешность составляет 1,8% в сторону завышения от истинного значения частоты.

3. Консоль

Определим низшую частоту свободных поперечных колебаний консоли. Консоль имеет длину /, постоянную жесткость ЕІ и рав­ номерно распределенную массу т.

Первая форма колебаний консоли должна быть представлена

как плавная

кривая,

имеющая горизонтальную

касательную

 

 

 

 

 

 

в

месте

 

закрепления

 

 

 

 

 

 

(рис. 39). Форма стоячей

 

 

 

 

 

 

волны

может

рассматри­

 

 

 

 

 

 

ваться в этом случае как

 

 

 

 

 

 

четверть

косинусоиды

с

 

 

 

 

 

 

длиной волны 41, отсчиты­

 

 

 

 

 

 

ваемой по оси ординат от

 

 

 

 

 

 

линии у = \. Уравнение коси­

 

 

 

 

 

 

нусоиды будет иметь вид

 

 

 

 

 

 

 

У

(х) — 1 =

— COS- j j - .

 

Отсюда подходящая функция может быть задана следующим

образом:

 

 

 

 

 

 

ЪХ

 

 

 

 

 

 

X (х) = у (х) = 1

 

 

 

 

 

 

 

C0S 27

•

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Проверим,

удовлетворяет ли эта функция граничным условиям:

 

 

й

ѵ , ,

и угла поворота

сечения

d X (х)

— отсутствию прогиба

Х(х)

dx

 

на защемленном конце консоли при х = 0\

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

— равенству нулю

изгибающего

момента

M = - E I d2* ^

и поперечной

„

dM

 

CTdBX ( x )

 

 

 

 

d x

2

силы Q

dx

 

= — Ы

-А^3— на правом свободном

конце консоли при х = 1.

 

 

 

dxs

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Вычислим предварительно первую,

вторую и третью производ­

ные по X от принятой функции:

 

'

d X (х)

л

. IX

 

dx

2/ Sin 27

 

d*X (х)

 

cos

тгХ

d x 2

 

27

dsX ( x )

 

1 . ’KX

dxB

 

sm 27

94

На левом конце балки при л;= 0 имеем

* (0 ) = 1 - 1 = 0 ;

^ = 0 .

На правом конце балки при х = 1 имеем

=

l J L ) ' cn,! L =

0;

d x 2

I 2I ) C0S 2

d3X (/)

2/ ) Sm 2

8/:i

dx 3

Следовательно, принятая функция удовлетворяет не всем усло­ виям: на правом конце балки поперечная сила не равна нулю. Тем не менее воспользуемся этой функцией для приближенного опре­ деления частоты. Вычислим для этого интегралы, входящие в фор­ мулу (5.5):

I

 

I

'

«jc\ sdx = l [ ~ — - -

X 2 { x ) d x =

1

 

 

 

' C0S 2/ )

 

d2X( x)

 

- ;

p

 

dx2

dx

TeT^J cos1 У - 32/3

Затем по формуле (5.5) получим

E l ,

2 = £ /

ГС4/32/3 ,

 

7Г4

m

/(1,5 — 4/it)

32 (1,5 — 4 !Tt)/4

m ’

Ранее было определено точное значение частоты первого тона колебаний консоли:

3,515 f m

W~ /2 V т ‘

Погрешность составляет только 4,1%, хотя функция Х( х ) и не полностью удовлетворяет граничным условиям.

4. Простая балка с распределенной и сосредоточенной массами

Определим

низшую частоту колебаний балки

пролетом

I для

случая, когда

жесткость

и

погонная масса балки

постоянны:

£ / = const, m = const и посередине балки расположена

сосредото­

ченная масса гп\.

 

 

 

 

 

 

 

Подходящую функцию

примем такую

же,

как

и

в

п. 1

(1-й вариант),

положив C=l :

Z (x )= sin -r-.

Выбранная

функция

граничным условиям удовлетворяет.

95

Смотрите также файлы