Файл: Основы динамики сооружений учеб. пособие.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 23.10.2024

Просмотров: 98

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

Воспользуемся формулой (5.4). Предварительно

 

вычислим

интегралы, входящие в эту формулу:

I

 

 

 

 

 

Ii

I

 

 

ч

 

2kx \

 

 

X 2(x) dx =

^ s’n2'y dx 1

 

 

 

 

 

 

 

1 — cos

—j~ I dx

оI -

о

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

1

/ .

2г:х\

 

1

 

 

 

 

 

 

2тсsin-7 - j

 

0

2

:

 

 

 

d2X (x)

 

/ U2\ 2

, КХ

dx =

1Г4

 

t:4

dx 2

 

\ Ё

sm2 /

 

Д

2

2/3 •

При a, = 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

* (e .) =

* ( 4

.

rd

 

 

 

 

 

,Sin/2 = 1 -

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Поэтому отсюда

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

EI

 

т:4

 

 

 

 

 

 

1 ml + да,

2^

 

 

 

 

 

 

 

r.4EI

 

_

 

 

 

 

 

 

да/4 +

2да,/3

’

 

 

 

 

 

 

ir.2

f

—

Ë L —

 

 

 

 

 

 

1'•

1 /

 

I

2mi

 

 

 

 

 

 

 

r

m + " r

Рассмотрим частные случаи, а) Сосредоточенная масса от­

сутствует (т ! = 0). Получаем точ­

ное значение частоты колебаний основного тона шарнирно опертой балки:

-f § L

>V т ■

б) Масса балки значительно меньше сосредоточенной массы (да/ <£ От]), и ею можно пренебречь. В этом случае прини­ маем т = 0. В результате получаем

, 48J E I да,/3

Для сравнения найдем точное значение квадрата частоты по формуле (2.8):

2

1

О)2 =

--------тхЬп5— .

9 6

Здесь би — прогиб балки в месте расположения массы от дей­ ствия единичной силы, приложенной в этой точке (рис. 40). Он определяется по формуле перемещений Мора с применением пра­ вила Верещагина:

/1

1 \ (

1 =

/3

'

8„ =

т і V

ЕІ “

48ЕІ

U '

 

 

 

Тогда

48£7

 

 

 

(!)* --

 

 

 

 

m,E

 

 

 

Погрешность приближенного

значения,

найденного

по фор-

муле (5.4), составляет 1,45%.

 

 

 

 

5.«Подходящие» функции для однопролетных балок

сразличными опорными закреплениями

Ниже, в таблице, приведены некоторые подходящие функции для однопролетных балок с различными опорными закреплениями:

 

 

 

Возможная форма подходящей функции X (х)

Схема балки

В виде набора тригоно­

В виде уравнения линии

 

 

 

метрических функций

прогиба от равномерно

 

 

 

распределенной нагрузки

 

 

 

 

 

 

 

 

.

1

(т-И(т)’+ (т)‘

 

 

 

TZX

 

і р

- .....

..т

Sin —

 

і—

*

 

 

 

р ^ — '-Р

1 -

cos ІІЕІ

(т)Чт)ЧП

 

 

 

 

1—

£ —

i

 

 

 

/.

 

 

1 -

COS —

‘(тМтИП

/ « — 4_______

/АА

* ------- 1

 

■21

«—

 

 

 

й—

*---------£ —

а

Т

Ttx „ Зкх

>(тМтМт)‘

COS — — COS —

 

Пр и м е ч а н и е . В приведенных выражениях постоянные множители опу­ щены.

7 Основы динамики сооружений

97

§ 20. Энергетический метод исследования вынужденных колебаний стержней при действии вибрационной нагрузки

Рассмотрим вынужденные колебания балки переменной жест­ кости, несущей распределенную массу т(х) и сосредоточенную массу ти расположенную в точке с координатой х = а. В этой же точке на балку действует периодическая возмущающая сила P(t) =Q sin pt. Закрепление концов балки может быть любым. Для

определенности на рис. 41 показана простая бал­ ка.

Будем изучать устано­ вившиеся колебания энер­ гетическим методом. При­ меним к рассматривае­ мому случаю закон кине­ тической энергии, извест­ ный из курса теоретиче­ ской механики:

і^іі — V\ = £/?. (5.6)

Напомним формулировку закона: изменение кинетической энергии системы равно сумме работ задаваемых сил, приложенных к точкам системы.

Левая часть уравнения (5.6) содержит изменение кинети­ ческой энергии. Как было установлено ранее (см. § 18), в положе­ нии II (рис. 41) Ѵи =0, а в положении I V) = V . Следова­ тельно,

Ѵц — Ѵі = 0 — Нтах = — Нтах.

В правой части уравнения записана работа всех задаваемых сил, которые могут быть разделены на внутренние и внешние. Ра­

бота внутренних сил Rt

при переходе из положения I в положе­

ние II равна изменению

потенциальной энергии

изгиба, взятой

с обратным знаком: Rt — — (Un — Ц ).

 

В § 18 было показано, что

а Un = U

. Следовательно,

Ri = — ( ^max— 0) = — f/max.

Работа внешних сил равна работе возмущающей силы при дви­ жении балки из положения I в положение //; обозначим ее Re. В результате закон кинетической энергии в рассматриваемом слу­ чае принимает вид

^m ax ==

^Лпах ~Ь R e

 

ИЛИ

 

 

^max =

^max + Re•

(5-7)

Уравнение (5.7) говорит о том, что в потенциальную энергию изгиба балки 7/шах при максимальном ее отклонении от положе­

98

ния равновесия перейдет вся кинетическая энергия Ѵтах и работа возмущающей силы R e.

Как и

в случае

свободных

колебаний, будем считать,

что у(х, t)=X(x)T(t). При установившихся колебаниях

 

 

 

Т (t) = А sin pt,

 

 

где А — амплитудный

коэффициент,

который

необходимо

опреде­

лить в результате расчета.

 

 

 

После умножения функции Х(х)

на этот коэффициент получим

наибольшие

отклонения точек стержня от

равновесного

поло­

жения.

 

 

 

 

 

Определим работу возмущающей силы при перемещении балки из своего среднего положения к крайнему. Это перемещение опре­

деляется зависимостью

 

 

 

 

 

 

у {а,

t) — АХ (а) sin pt

 

(а)

и изменяется от нуля до АХ (а)

в направлении оси у.

 

Из формулы (а) получаем

 

 

 

 

 

sin p t

=

у (д» О

'

 

 

А Х (а)

 

 

Тогда

 

 

 

 

 

 

P(t) = Q sin pt = Q У (a, t)

 

 

 

 

 

А Х (а)

 

 

Работа возмущающей

силы

будет

определяться

интегралом

 

А Х (а)

 

 

 

 

Re =

J

P (t)dy(a, t).

 

 

 

о

 

 

 

 

 

Подставляя выражение для Р{і), находим

 

 

А Х (а)

 

 

 

 

У2 (а, t) А Х (а)

J Ж Ш Н а - і ) а Н а - ‘) = А Ш

2

О

О

 

 

 

 

 

 

т. е. окончательно

R' = ^ A Q X { a ) .

Максимальное значение кинетической энергии определится так же, как и при свободных колебаниях. Необходимо только в фор­ муле (5.2) частоту свободных колебаний и заменить частотой вы­ нужденных колебаний р:

I

Vтах

m (х) X 2 (х) dx, + tnxX* (а) .

 

о

7*

99

Смотрите также файлы