Файл: Основы динамики сооружений учеб. пособие.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 23.10.2024

Просмотров: 100

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

Аналогично по формуле (5.3) определится максимальное зна­ чение потенциальной энергии:

 

 

=

I El d 2X ( x )

dx.

 

 

 

 

 

 

d x 2

 

 

 

 

Подставим значения

Rc,

Ѵітх и Umax в уравнение

(5.7),

пере­

несем члены, содержащие А2,

в левую часть

и сократим

на А.

Тогда

 

 

I

 

 

 

 

 

I

 

 

 

 

 

 

 

А [El d2X{x)

dx — р 2 т (х) X 2(х) dx +

тхХ 2 (а)

--QX (а).

d x2

 

 

 

 

 

 

 

 

Вынесем в левой части множитель при р2 за

фигурные скобки:

 

 

I

 

 

 

 

 

 

 

А [ j т (х) X 2(х) dx + тхХ 2 (а) ] X

 

 

 

/•»

d2X ( X )

dx

 

 

 

 

 

J

El

 

 

 

 

 

 

dx2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

X

 

 

 

Г

 

QX(a).

 

j" m (x) X 2(x) dx + mxX 2 (а)

Заметим, что первое слагаемое в фигурных скобках является квадратом частоты свободных колебаний балки ы2 [см. форму­ лу (5.4)]. В результате из последнего выражения получаем сле­ дующую формулу для определения амплитудного коэффициента А:

А = Q ----------------- ^ ----------------. (5.8)

ш2 — р 2

J т (х) X 2(х) d x -f- тхХ 2 (а)

Зная коэффициенты А, можно определить ускорение в любой точке балки с координатой х:

-

^ = — А Х (х )р 2sin pt.

Величина ускорения при sinpt—i будет

шах

д2У(х, t) — А Х (х) р 2.

 

дР.

Тогда наибольшие значения распределенных и сосредоточенных

сил инерции соответственно будут равны:

 

шах і (х) =

— т (х) шах Ö

^

— Am (х) X ( х ) р 2; (5.9)

,, \

<?2j/(x,

t)

 

шах J (а) = — тхmax— dt*

—-

А т хХ (а) р 2. (5.10)

100

Таким образом, при расчете балки, на которую действует вибрационная нагрузка, определение максимальных усилий необ­ ходимо производить от постоянной распределенной нагруз­ ки q = m(x)g, постоянной сосредоточенной силы P = m{g, макси­ мального значения распределенных и сосредоточенных сил инер­ ции, выражаемых формулами (5.9) и (5.10) и амплитудного зна­ чения возмущающей силы.

Пример 8 . Требуется определить максимальный изгибающий момент в про­ стой балке от действия вибрационной нагрузки, вызываемой двигателем. Двига­ тель установлен посередине балки. Масса балки не учитывается.

Дано: вес

двигателя Р = 6

тс,

амплитудное значение возмущающей силы

Q= l,5 тс, угловая скорость вращения ротора двигателя

р = 35

1/се/с. пролет бал­

ки 1 = 6 м, сечение балки — два двутавра № 36; 2/ = 26 760 сл4.

19):

Определяем частоту свободных колебаний балки

(см. п. 4 §

 

со2 =

48Ш = 48-2 -107-26760-981 =

і д 4 5

_ 1 _ .

 

 

 

mg3

 

6-216

 

сек2

 

 

» =

|/ Ш 5 =

44,2 — .

 

 

 

 

 

'

 

сек

 

 

 

Определяем значение амплитудного коэффициента А по формуле (5.8). В ка-

 

 

 

 

TZX

 

 

 

честве подходящей функции принимаем X (x)=sin — .Предварительно вычисляем

I Г\

%1

 

1

 

 

 

X (а) = X I ~2 ~I — sin j2

= 1. Тогда

 

 

 

 

 

А = .

1,5

-M L = 3,4-10- 3

м.

 

 

 

1945—1225’

 

 

 

По формуле (5.10) получаем максимальное значение сосредоточенной силы инерции:

шах У (в) = 3,4-ІО“ 3-

-1225-1 = 2,54 тс.

’9,81

Находим суммарное значение сосредоточенных сил, действующих на сере­ дину балки:

Р + Q + шах У (я) = 6 + 1,5 + 2,54 = 10,4 тс. Определяем максимальный изгибающий момент:

-ЛТшах = \Р + Q + max У (а)]

= *в-4~6 = 15,6 тс-м.

§ 21. Энергетический метод определения частот колебаний рам

Полученная в § 18 формула для определения частоты попереч­ ных колебаний стержней энергетическим методом применима также для определения частот рам. В этом случае интегралы, стоя­ щие в числителе и знаменателе формулы (5.5), необходимо рас­ пространить на все стержни рамы, т. е. взять сумму интегралов, охватывающих все стержни рамы:

пlk

 

 

Eh

& Х М

dx

о k=1о

 

d x 2

 

 

 

(5.11)

0+ =

------

 

 

 

і ] j

mk (jc) X \ (x) dx

k=\ 0

Здесь k — номер стержня рамы, ага — количество стержней.

101

Заметим, что

 

 

d*Xk ( x ) _

Mk

 

d x 2 “

EIk ’

w

где M k — изгибающий момент по &-тому стержню, определенный для принятой формы изгиба рамы.

б)

Форму изгиба рамы необходимо выбрать таким образом, чтобы она соответствовала общему характеру деформации рамы при ко­ лебаниях и чтобы удовлетворялись граничные условия. Удобнее всего форму изгиба получить от действия какой-либо простой ста­ тической нагрузки, вызывающей деформацию рамы, сходную с предполагаемой формой колебаний. Например, при симметрич­ ных колебаниях П-образной рамы можно принять, что форма из­ гиба каждого стержня рамы будет определяться уравнением изо­ гнутой оси этого стержня от действия сплошной нагрузки, равно­ мерно распределенной по ее ригелю (рис. 42, а), а при обратно симметричных колебаниях — как от нагрузки, распределенной по стойкам рамы (рис. 42,6). Построенная от той или иной подходя­ щей нагрузки эпюра M k и может быть использована при опреде­ лении числителя выражения (5.11) с помощью зависимости (а). Подставив значения (а) в (5.11), получим

ш

й = 1

О

(5.12)

2

л lk

 

 

 

Yi \ mk (X) Х \ (х) dx

 

 

k=\ о

 

 

На тех стержнях, где

эпюра

M k меняется по закону

прямой

линии, интегралы, стоящие в числителе, могут быть вычислены по правилу Верещагина.

102

Аналитическое выражение формы изгиба X k (x), которое необ­ ходимо для вычисления знаменателя, может быть найдено также с помощью выражения (а) для M k путем его двукратного интегри­ рования:

d X k (x)

Мь

 

dx

JEI, d x + Cp,

(6)

X k (x) =

1 CMk dx dx “I“ C^x -{-■C2

(в)

 

.\ Eh

 

Постоянные Ci и C2 найдутся из граничных условий по концам стержней.

Рассмотрим определение частоты колебаний для рамы.

Пример 9. Определить частоту первого тона симметричных колебаний П-об- разной бесшарнирной рамы (рис. 43). Будем считать, что форма изгиба при симметричных колебаниях совпадает с эпю­ рой прогибов от действия нагрузки, равномерно распределенной по ригелю ра­ мы. Расчет будем выполнять в следую­ щей последовательности: сначала произве­ дем статический расчет рамы на равномер­ ную нагрузку по ригелю, затем раздельно вычислим числитель и знаменатель выра­ жения (5.12), после этого определим частоту колебаний.

П о с т р о е н и е

э п ю р ы

М.

Для

ра­

 

 

 

счета применим метод перемещений,

На

 

 

 

рис. 44 показаны эпюры изгибающих мо-

 

 

 

ментов в нулевом и единичных состояниях.

 

 

 

Составляем каноническое уравнение ме­

 

 

 

тода перемещений:

 

 

 

 

 

 

 

гіХ і + Еір = 0.

 

 

 

 

 

 

Коэффициенты

канонического

уравнения

определяем

из равновесия

узлов

рамы в элементарных состояниях:

 

 

qß

 

 

 

Гц = 6/; Я1Р 1

 

 

 

12 '

 

 

Из канонического уравнения

находим неизвестное перемещение — угол по­

ворота одного из жестких узлов

рамы в действительном состоянии:

 

 

 

71

 

гп

72і ■

 

 

Далее методом

наложения

по формуле М = М р -f-ZiAfi

строим эпюру

изги­

бающих моментов от статического действия нагрузки, равномерно распределен­

ной по ригелю (рис. 45).

 

 

 

В ы ч и с л е н и е ч и с л и т е л я ф о р м у л ы . (5.12).

Интегрирование по

стойке производим по правилу Верещагина:

 

 

I

 

qß

l_

MACdx _

1 J_ W_2_ Я ± _ ± .о Е

EIА С

E I ' 2 18 \ 3 *18 3 ‘36

36

' El

103

При интегрировании по ригелю правило Верещагина неприменимо, так как

эпюра M CD криволинейна. Аналитическое выражение эпюры изгибающих

момен­

тов по ригелю следующее:

 

 

 

 

 

 

qß

qlx _qx2

_ ql- {__

, X

x 2\

 

M CD — — 18 +

~~2~ ~9

9~l

+ T

Wj

(Г)

Отсюда

 

 

 

 

 

 

^CD

d x = t t _

1

X _ X2

dx =

<y2/5

 

EI,CD

AEI

 

 

 

40-81 ~Ë7

 

Суммируя полученные результаты, будем иметь в числителе

зh

= 2

ql2 \ 2

/

7

qHb

1 ?2/s

36 j

' E l +

40-81

' ~ËI =

270 '~ Е І ‘

А=1 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

В ы ч и с л е н и е

 

з н а м е н а т е л я

ф о р м у л ы (5.12).

Предварительно

найдем аналитическое выражение изогнутых осей стоекХ АС (х) и ригеляX CD (х)

Изгибающий момент по стойке определяется следующей зависимостью:

 

ЛГ

_ Л

 

3

ql2

X

qp

 

 

АС -

36

 

2 " І 8 " Т

==36'

 

Подставим МАС в выражение (б):

 

 

 

 

(■*)

 

MАС

dx + Ct =

 

Jü L U i - 3

dx + Q =

dx

 

EI

 

 

 

 

 

■36£/ J

 

 

I

АС

 

 

 

 

 

 

 

 

36E l

[x

2

/ / + °i-

 

Так как в основании стойки жесткое защемление, то постоянную С, найдем

из условия: при х=0

d * A С ( х

- =0. В результате получим,

что Сі=0.

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

104

Далее используем выражение (в):

 

 

 

 

dXAQ (х)

dx + C2 -

3 6 £ /J Iх ~ 2 ■ I \ dx + t 9. -

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

qP jX2

x 3\

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

- ~ 36E l [ 2 ~ 2l j + c *

 

 

 

 

Постоянную C2 также найдем из условия неподвижности нижнего конца

стойки:

х=0

Х д С (х) =0 и,

следовательно,

С2 = 0.

 

 

 

 

 

Таким образом, уравнение изогнутой оси стойки

имеет вид

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

q l2

I

д:3\

 

 

(Д)

 

 

 

 

 

ХАС (х) = — 72£j (*2 — т ) •

 

 

 

Аналогично, на основании (г) находим

 

 

 

 

 

 

 

 

d X CD (Х )

AT,

 

-Di =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

со dx +

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= .f £7со

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

£ / ,

 

i - + — — — ) dx + Dt =

 

 

 

 

 

 

 

 

9

/

P

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

2 qP

I

_1

Jp

x * \

Di~

 

 

 

 

 

 

 

 

' 2EI

 

9 * + 21

'3/2

) +

 

 

 

 

 

 

 

Так как в среднем сечении ригеля угол

 

 

 

 

 

поворота касательной к оси ригеля

равен

 

 

 

 

 

нулю,

то постоянную

Di найдем

из

условия

 

 

 

 

 

X —

/

d X CD (■ *)

Л

Отсюда

следует, что

 

 

 

 

 

2

------------- = 0.

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

D - 12Е1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис.

45

 

 

Подставив это значение в формулу для d X CD (х )

получим

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

d x CD (х )

 

qP

'Зб'

X ,

X2 _ X 3

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

2EI

~9 '

2/

3/2

 

 

 

Интегрируем это выражение еще раз:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

JL

JL **

—

п —

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

~ 36 — ТГ + 2І ~ ЗР j dx + - =

 

 

 

 

 

дР

 

Іх

X2

X 3

X4

+ D2.

 

 

 

 

 

 

 

2EI

 

36

18

6 /

]2 / 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Поскольку при расчете рам изменением длин стержней обычно пренебрегают, то концы ригеля, опирающиеся на стойки, в вертикальном направлении переме­

щений иметь не будут. Поэтому постоянную

D2 найдем из условия при

х=0

X CD (х)=0. Отсюда следует £>2 = 0.

 

 

 

 

Таким образом, уравнение изогнутой оси ригеля имеет вид

 

 

дР

Іх

X 2 X3

X i

(e)

X CD (■ *) '

— ] 2і 7

6"

' " 3 + Т

2/2

Получив аналитические

выражения

для

упругих

линий стоек (д) и риге­

ля (е), вычислим интегралы,

входящие

в знаменатель

формулы (5.12).

 

105-

Смотрите также файлы