Файл: Основы динамики сооружений учеб. пособие.pdf

Производим интегрирование по стойке:

ИЛИ

РV т

Точное значение низшей частоты для этой же рамы, рассматриваемой как система с бесконечно большим числом степеней свободы, следующее:

,л _ 12,65 - і / Ш

Р\ т

Таким образом, приближенное решение дает ошибку в 4,6% в сторону за­ вышения.

§22, Энергетический метод определения частот колебаний арок

иколец

1. Особенности работы криволинейных элементов. Зависимость между перемещениями и изгибающим моментом

При изучении поперечных колебаний прямых стержней пред­ полагалось, что движения их точек происходят только перпендику­ лярно оси и не сопровождаются ее растяжением или сжатием. В криволинейных стержнях дело обстоит иначе. В силу изогнутости оси перемещения смежных точек по нормали к оси обязательно должны сопровождаться ее растяжением или сжатием (рис. 46,а). Если же кривой стержень испытывает деформацию чистого изгиба, при котором длина оси не меняется, то смежные его точки не могут получать смещения строго по нормали к его оси. Они обяза­ тельно должны иметь составляющие смещения и в тангенциаль­ ном направлении (рис. 46,6).

106

В силу отмеченных особенностей ясно, что зависимости между перемещениями точек кривого стержня и его деформациями, а сле­ довательно и действующими в нем усилиями, будут существенно иными, чем в прямых стержнях. С установления этих зависимостей и надо начать. Ими мы будем пользоваться при исследовании колебаний криволинейных элементов.

а )

mi 'T”J

/

'V

Арочные, кольцевые и другие криволинейные конструкции, применяемые в строительстве, как правило, имеют радиус кри­ визны R, значительно превышающий их толщину h, т. е. являются

стержнями малой кривизны ^ -^ -> 5^.Э то позволяет считать, что

напряжения по их толщине меняются по линейному закону, а нейтральная ось совпадает с центральной.

и

Положение точки на оси кривого стержня принято характери­ зовать криволинейной координатой s или координатным углом Ѳ. Отсчет s и Ѳ можно вести от любой заранее выбранной начальной точки. Четко должно быть оговорено и положительное направле­ ние их отсчета.

В арочных конструкциях (рис. 47) отсчет s и Ѳусловимся вести от левой опоры по направлению к правой. В этом случае положи­ тельный угол Ѳбудет отсчитываться по часовой стрелке.

107

Перемещения и удлинение оси стержня

В качестве компонентов смещения точек стержня удобно при­ нять смещение и по касательной к его оси и прогибы ш по нормали к ней. Смещение и будем считать положительным, если оно про1 исходит в сторону возрастания координаты s или угла Ѳ, а про­ гибы w положительными, если они происходят к центру кривизны.

Рис. 48

ним отдельно связь этого удлинения с тангенциальными смеще­ ниями и прогибами W.

Возьмем произвольный элемент ds (рис. 48, а). Допустим, что он сместился только по оси s и его концевые точки переместились соответственно на и и u + du. Неодинаковое их смещение указы­ вает, что элемент ds получил удлинение на величину du. Разде­ лив du на первоначальный размер ds, получим относительное удли­ нение оси стержня, связанное с тангенциальными смещениями и,

Теперь допустим, что тот же элемент сместился к центру кри­ визны (рис. 48,6). Сперва предположим, что это смещение про­ изошло равномерно, что по обоим его концам возникли одинако­ вые прогибы ш и элемент из положения тп перешел в положе­ ние пі\П\. Ясно, что такое перемещение также связано с измене­

108

Знак минус указывает, что при положительных прогибах w, направленных к центру кривизны, происходит укорочение элемента. Если прогибы будут неравномерными, то перемещения точек бесконечно малого элемента ds могут отличаться на бесконечно малую величину dw, показанную на рис. 48, б отрезком п хп'. Свя­ занное с этим перемещением дополнительное удлинение элемен­ та ds является величиной высшего порядка малости и в рассмат­ риваемой нами линейной теории не учитывается. Поэтому и при неравномерных прогибах w связь между ними и удлинением оси выражается зависимостью (б).

Как правило, перемещения в кривом стержне имеют обе состав­ ляющие и и ш, поэтому удлинение его оси выражается суммой за­ висимостей (а) и (б):

du w

(5.13)

l s ~ ~ R -

Поворот касательной

Неравномерность прогибов, о которой говорилось выше, сопро­ вождается поворотом касательной т к оси стержня на некоторый

Рис. 49

ны W; а осью абсцисс служилось s. Поэтому указанную производ-

109

Написанная формула предопределяет и правило знаков для угла ф. Он считается положительным, если положительному при­ ращению абсциссы ds отвечает положительное приращение орди­ наты dw. Принятым направлениям отсчета s и w будет соответ­ ствовать поворот касательной по часовой стрелке.

К зависимости (в) можно прийти и непосредственно из рис. 49,6. Можно принять, что поворот касательной равен повороту хорды, а он по малости угла выражается отношением щп'/пцпх или,

Если точка, через которую проведена касательная, получит перемещение и по оси s (рис. 49, б), то касательная повернется дополнительно на угол <]>а, который равен углу поворота радиу­ са R, т. е.

Суммируя (в) и (г), получим угол поворота касательной, свя­ занный с обеими компонентами смещения,

Связь между перемещениями и изгибающими моментами

Если рассмотреть две точки m и п, расположенные на расстоя­ нии ds, то в точке п касательная может повернуться больше на

110