Файл: Основы динамики сооружений учеб. пособие.pdf

Использование данной зависимости поможет облегчить реше­ ние задачи, так как в ней момент выражен через одну составляю­ щую смещения, а не через две, как в более общей формуле (д). Располагая зависимостью (5.17), можем перейти к исследованию колебаний круговых арок.

2. Колебания двухшарнирных круговых арок

Колебания арок могут происходить в форме растяжения-сжа­ тия их оси и в форме изгибных деформаций: симметричных и об­

В чистом виде они наблюдаются редко. Наиболее легко возникают изгнбные колебания обратно симметричной формы. При одинако­ вых абсолютных смещениях они сопровождаются меньшим изме­ нением кривизн, чем симметричные колебания, и связаны с мень­ шей энергией деформации. Поэтому при одинаковых внешних импульсах они будут происходить с наибольшей амплитудой, а их

Рис. 51

резонанс. Таким образом, для арок обратно симметричная форма колебаний является наиболее опасной. Определение ее частоты мы и рассмотрим.

Поскольку при изгибных колебаниях арок длина их оси почти не меняется, мы сделаем допущение, что ее удлинение е равно нулю. Это позволит нам выразить изгибающий момент через про­ гибы по зависимости (5.17) и тем упростить решение задачи.

Рассмотрим двухшарнирную арку кругового очертания с мас­ сой, равномерно распределенной по ее дуге. Найдем частоту сво­ бодных колебаний такой арки, воспользовавшись энергетическим методом. '

Поскольку арка является стержнем малой кривизны, то для определения потенциальной энергии воспользуемся той же исход­ ной формулой, что и для прямых стержней:

а

но выражение М через прогибы подставим по зависимости (5.17).

Учитывая, что при колебаниях прогибы w являются функцией двух переменных 0 и t, производные по одной из них, например по Ѳ, будут являться частными производными. Тогда

Вошедшее сюда выражение прогибов w(Q, t) надо, как обычно при применении энергетического метода, подобрать приближенно. Будем подбирать его, как и при исследовании колебаний прямых стержней, в виде произведения двух функций, одна из которых должна характеризовать форму изогнутой оси арки как функцию угла Ѳ, а другая — изменение ее прогибов во времени t.

касается изменения прогибов во времени, то его, как всегда при гармонических колебаниях, выразим функцией sin (ш/Ч-т). С уче­ том этих двух функций выражение прогибов можно принять в виде

w (Ѳ, t) — A sin sin j). (e)

Остается лишь проверить, удовлетворяет ли оно статическим граничным условиям. При шарнирном закреплении арки в опор­

обращаться в нуль выражение, стоящее в скобках этой формулы. Заменив, как и ранее, полную производную на частную и исполь­ зовав выражение (е), получим

Видим, что при 0= 0 и Ѳ= а это выражение обращается в нуль, следовательно, будут равны нулю и изгибающие моменты в пятах арки.

Убедившись, что принятое выражение ш(Ѳ, t) удовлетворяет

нее записать в форме вычитания меньшего числа из большего, т. е.

Вошедшее сюда перемещение и определим с помощью зависи­ мости (5.16). Подставив в нее подобранное для двухшарнирной арки выражение w согласно (е) и выполнив интегрирование, най­

дем

ѳ

Если положить в этой формуле Ѳ= 0 и Ѳ= а, то увидим, что полученное выражение и граничным' условиям удовлетворяет, т. е.

и (0, t) = 0 и и (а, t ) = 0.

Имея теперь выражения обоих смещений, можем пррдифферен-

114

Вошедшие сюда интегралы легко вычисляются:

Для решения задачи нам надо знать максимум кинетической энергии. Он достигается при cos2 (ю^-ff) = 1. С учетом вычислен­ ных интегралов будем иметь

Полученная формула решает поставленную задачу. Она позво­ ляет вычислить низшую (основную) частоту свободных коле­ баний двухшарнирной арки с массой, равномерно распределенной по ее дуге.

Формула (5.20) выведена нами для круговой арки, но если кривизну арки постепенно уменьшать, то в пределе получим про­ стую балку. При таком предельном переходе дуга арки станет равна пролету I, ее радиус будет стремиться к бесконечности, а угол а к нулю. После подстановки предельных значений aR — l

чили выражение, совпадающее с точной формулой для частоты второго тона свободных колебаний простой балки [см. форму­ лу (4.15) ]. Это следовало ожидать, так как выражение w мы подо­ брали, исходя из колебаний по двум полуволнам, что для простой балки соответствует колебаниям с частотой второго тона. Если бы для арки мы приняли выражение прогибов, отвечающие искривле­ нию оси по одной полуволне, как это делали для определения пер­ вого тона колебаний простой балки, то такое выражение w, удовле­ творяя граничным условиям арки, соответствовало бы ее симмет-

ричным колебаниям по рис. 51, а. Как уже говорилось, такие коле­ бания возможны лишь за счет растяжения сжатия оси арки, и для нахождения их частоты выведенные в настоящем параграфе фор­ мулы (5.15) и (5.17) использованы быть не могут, поскольку они получены в предположении нерастяжимости оси арки.

горизонтального диаметра, то линию прогибов, нанесенную пунк­ тиром, можно приближенно трактовать как косинусоиду, ординаты которой отложены от круговой оси кольца. При изменении Ѳ от О до 2л кривая прогибов описывает две полных волны косинусоиды. Исходя из этого, ее форму можно выразить функцией Лсоз2Ѳ, а для получения полного выражения прогибов при гармонических

116