ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 23.10.2024
Просмотров: 97
Скачиваний: 0
а при sin2(w*1+ '[) = 1 найдем
Qr,FJ |
(л) |
и т^ = - ^ г А \ |
Подсчет кинетической энергии будем вести по формуле (5.19), но предварительно найдем общее выражение и. Для этого исполь зуем зависимость (5.16) и введем в нее принятое для данной за дачи выражение w по (к):
а = J w db = A sin (ші + 7) J |
cos 29 dO= — |
sin 2Ѳsin (u>t + t). |
|||
о |
0 |
|
w |
|
и, найдем скорости, |
Располагая общими |
выражениями |
и |
|||
соответствующие этим перемещениям: |
|
|
|
||
dw |
. |
, |
, |
, . |
|
— = Ли) cos 2Ѳ cos (or + f),
^(о sin 2Ѳ cos ( о Д -f >f).
Теперь эти зависимости подставим в формулу (5.19): 2тс
V = |
А2<о2 cos2 (оd -f 4) J (cos2 29 + |
sin2 29j db, |
0
где
2it
j cos2 29 db = J sin2 29 db = те,
следовательно,
ч
V = -g- itRm.A2u>cos2 (u>t + 7).
При cos2((o^+ T) = l будем иметь максимум этого выражения:
^max = -g- KRmAW. |
(и) |
Приравняв потенциальную и кинетическую энергии, т. е. фор мулы (л) и (м), найдем
. |
36 El |
|
|
|
|
W ~ 5R4' т |
|
|
|
||
и |
2,68 |
/ |
Ш |
|
|
1,2 |
(5.21) |
||||
R 2 |
/?2 |
| / |
т |
||
|
|||||
Полученная формула выражает частоту собственных колеба ний свободного кольца. Если на него будут наложены связи в виде каких-либо опорных закреплений, то этими связями колебания кольца будут стеснены. Частота их станет больше, а амплитуда, при одинаковых внешних возмущениях, вызывающих рассматри ваемые свободные колебания, будет меньше.
117
Глава 6. ИССЛЕДОВАНИЕ СВОБОДНЫХ КОЛЕБАНИЙ
МЕТОДОМ ПРИВЕДЕНИЯ МАСС
§ 23. Определение приведенной массы для прямолинейного стержня
Как отмечалось выше, одной из задач динамики сооружений является вычисление частот свободных колебаний. Причем прак тически для многих случаев вычисление низшей частоты представляёт одну из первостепенных задач динамического расчета.
Метод определения частот, основанный на интегрировании дифференциального уравнения, даже для простейших систем, со стоящих из одного-двух стержней, при постоянных массе т и жесткости El, связан с большим объемом вычислительной работы и становится особенно трудоемким в системах, содержащих боль шое число стержней и переменные массы и жесткости.
На практике при определе нии низшей частоты собственных колебаний часто применяют при ближенный метод (метод приве дения масс).
Этот метод состоит в замене распределенной по длине стерж ня массы одной сосредоточенной в какой-либо определенной точке массой, в результате чего система с бесконечным числом степеней свободы обращается в систему
с одной степенью свободы, для которой частота колебаний опре деляется так, как это было показано в § 4.
По методу приведения масс надо найти такую одну сосредото ченную массу М, которая, будучи приложена к стержню, обуслов ливает частоту свободных колебаний, близкую к наименьшей часто те в системе со сплошной нагрузкой.
Сосредоточенная масса, удовлетворяющая этому требованию, называется приведенной массой.
Таким образом, для расчета по этому методу в первую очередь необходимо правильно определить величину приведенной массы.
Рассмотрим стержень, несущий распределенную по произволь ному закону массу т(х). Жесткость ЕІ меняется по длине стерж ня. Концы стержня закреплены произвольным образом (пусть для
определенности |
левая опора |
шарнирная неподвижная, а |
пра |
вая — шарнирная |
на катках). |
Заменим эту систему (рис. |
53, а) |
невесомой балкой с теми же опорами, несущей в точке на расстоя нии а от левой опоры одну сосредоточенную массу, которую обозначим М (рис. 53, б). Потребуем, чтобы обе системы были динамически эквивалентными. Это условие означает, что кинети ческая энергия системы с сосредоточенной массой должна быть равна в любой момент времени кинетической энергии системы с распределенной массой. Из этого условия и определим величину приведенной массы.
В § 13 было установлено, что общий вид уравнения изогнутой оси колеблющегося стержня будет таким:
у (х, t) = X {х) Т (t).
Взяв производную по времени от этого выражения, получим
значение скорости |
d y ( x ,t ) |
ѵ / ,л |
dT(t) |
|
|
|
|
|
|||
|
|
dt |
- X { x ) |
dt . |
|
Тогда выражение для кинетической энергии стержня с распре |
|||||
деленной массой будет следующим: |
|
I |
|||
|
m (х) |
~ду(х, ty 2d x - 1 |
dT( ty |
||
V, |
тп(л) X 2 (х) сіх. |
||||
|
2 |
dt |
2 |
dt |
|
Кинетическая энергия системы с приведенной массой М, сосре доточенной в точке с абсциссой х = а (рис. 53,6), будет
Ѵм = Іг М 'dy(a, |
t) 2 = І М Р ( Й) |
dT(t) |
dt |
|
dt |
По принятому условию |
кинетические энергии должны быть |
|
равны между собой, т. е. |
|
|
Из этого условия получим |
|
|
|
I |
|
I m (л) Х г (л) dx |
|
|
м |
Х*(а) |
( 6. 1) |
|
|
|
Из формулы (6.1) видно, что величина приведенной массы за висит от закона распределения массы по длине стержня, формы изгиба стержня, положенной в основу расчета, и от положения
119
точки приведения массы. Из сказанного следует, что формула (6.1) является приближенной. Позже будет показано, что на основе формулы (6.1) основная частота свободных колебаний может быть найдена с достаточной точностью.
Для случая равномерно распределенной по длине балки массы,
т. е. т(х) = m = const, имеем |
|
|
||
М = |
т |
I X 2(х) dx. |
(6.2) |
|
ХЦа) |
||||
|
|
|
||
Входящая в выражения (6.1) и (6.2) форма колебаний стерж ня Х(х), как правило, бывает неизвестна. Ее приходится прини мать приближенно в виде «подходящей» кривой, т. е. кривой, удовлетворяющей граничным условиям.
После того как масса приведена в одну точку, частота свобод ных колебаний определяется по любой из формул § 4 для систем с одной степенью свободы:
г
(6.3)
ЛГ
или
1
(6.4)
Ѵ М 8П ’
где г — жесткость балки в точке приведения массы; 6ц — прогиб этой точки от единичной силы.
Рассмотрим нахождение приведенной массы и частот для одно пролетных балок с различными условиями закрепления.
§ 24. Приближенное определение частоты свободных колебаний стержней при различных опорных закреплениях
1. Простая балка
Балку (рис. 54, а) с равномерно распределенной массой т, имеющую постоянное поперечное сечение Е1=const, заменим неве сомой балкой (рис. 54, б) с сосредоточенной массой в середине
пролета. Как и ранее в § 19, п. 1, примем X (х ) = С sin -j- .
Тогда X (а) •ХІі С.
Вычислим значение интеграла, входящего в формулу (6.2):
I |
I |
СЧ |
X 2(х) dx = С2 |
их , |
|
sin2 ~ j d x — — |
||
120
Подставляем это значение в формулу (6.2) и находим, что приведенная масса для рассматриваемой простой балки
,, |
т СЧ |
ml |
, ч |
М = С ^ -”2_ = = Т - |
(а) |
||
Теперь по формуле (6.4) |
можем |
определить частоту. |
Прогиб |
в середине пролета балки от сосредоточенной силы, приложенной
в середине пролета, у |
|
Р1Й |
|
|
т |
|
|
|
= 48£/ |
«JF |
LHА п . |
|
El т |
||
|
|
48ЕІ |
|
||||
Следовательно, 8П = |
Is |
|
|
|
Ч - |
||
|
Jr |
|
М |
||||
|
Рті |
|
—* |
||||
а частота |
48ЕР_ |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
I |
|
9,798 |
|
|
тгУ |
|
а=£/г |
|
"ZЕІ -777к |
/2 іV/ -т- |
|
|
I |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Т |
|
|
|
|
|
|
|
Рис. |
54 |
|
Точное значение частоты основного тона, найденное в § 16, |
|||||||
|
_ |
«а , ГЁІ |
9,87 |
.. Г~ЁІ |
|
|
|
Ші
Ошибка составляет всего 0,7%.
2. Балка с защемленными концами
|
|
mг |
|
|
4 |
И |
ТРІП |
5 |
? * |
Л |
a=t/2 f |
Е І |
||
0 4- |
|
t-EI |
||
г |
|
|||
Приведем равномерно рас пределенную массу m балки
всередину пролета (рис. 55).
Вкачестве Х(х) примем выра
жение, приведенное в § 19,
п. 5:
Х ( х ) = 1 — cos —j— .
Оно, как отмечалось в § 19,. Рис. 55 удовлетворяет всем гранич
ным условиям.
Найдем величины сомножителей, входящих в формулу (6.2):
|
Х ( а ) = х Ц ) = 2, |
|
|
|||
|
I |
|
|
2кх \ 2 |
, |
3 , |
J |
X 2 (х) dx = |
|
|
|||
|
cos —j— I |
dx = — l. |
||||
о |
о |
|
|
|
|
|
По формуле (6.2) находим |
|
|
|
|
||
|
„ |
m 3 |
, |
3 , |
|
(б) |
|
м = |
т |
l - |
W ml- |
||
|
|
2 |
|
|||
121