ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 23.10.2024
Просмотров: 95
Скачиваний: 0
Перемещение в средине пролета балки:
|
|
|
, |
11 |
|
I3 |
’ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
192EI |
|
|
|
|
|
|||
По формуле (6.4) определяем частоту |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
192Д/-8 |
22,627 |
Г Ш |
|
|
|
|
||||
|
|
|
БЗтІ |
|
Б |
I/ т |
' |
|
|
|
||
Точное значение частоты основного тона |
(см. § |
16) |
|
|
||||||||
|
|
“ і |
- |
22,373 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
/2 |
у |
т |
|
|
|
|
|
||
Ошибка составляет 1,1%. |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
3. Балка с левым защемленным и правым |
|
|
|||||||||
|
|
шарнирно спертым концами |
|
|
|
|
||||||
|
/77 |
|
|
|
|
|
Приведем равномерно |
рас |
||||
|
|
|
|
|
пределенную |
массу m |
бал |
|||||
|
|
|
|
|
|
|||||||
а) і |
I И 1 1 1 1 / \ 1 1ITT Ü ^ |
* |
ки |
(рис. |
56, а) |
в |
средину ее |
|||||
|
т ЕІ 777 |
|
пролета |
(рис. 56,6). |
|
|||||||
|
|
|
■І |
|
|
В качестве Х(х) примем |
||||||
|
а-^ІІ Т |
т |
|
I |
|
уравнение линии прогиба бал |
||||||
б) |
А |
|
ки от равномерно распреде |
|||||||||
|
E I 777 |
|
ленной нагрузки, которое при |
|||||||||
|
|
|
|
|
ведено в п. 5 § 19: |
|
|
|||||
|
Рис. 56 |
|
|
|
|
|
у2 |
|
|
■ 2 — |
|
|
|
|
|
|
Х ( х ) = 3 ^ - 5 ^ |
|
|||||||
Последовательно определяя |
величины, входящие |
в |
(6.2): |
|
||||||||
|
Х ( а ) = Х |
|
=X32'Т' |
' 5 І |
+ 2 'І!6 |
_1_ |
|
|
||||
|
|
4 |
|
|
|
|||||||
|
I X 2 (л) dx = |
|
|
|
|
|||||||
|
/ |
. X |
X4\ 2dx - J 9 / |
|
||||||||
|
оI |
о |
|
3 р |
5 7» + 2 F |
|
630 |
’ |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|||||||
находим приведенную массу |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
m |
|
19 |
|
152 |
|
|
|
|
|
(в) |
|
м = |
(1/4) 2 |
‘6301 = 315 ml = |
° ’482ml- |
|
|
||||||
|
|
|
|
|||||||||
Для определения 6ц воспользуемся формулой, |
известной |
из |
||||||||||
курса сопротивления материалов, |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
s |
= |
J L |
J L |
• |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
11 |
768 ' ЕІ |
|
|
|
|
|
||
Тогда по формуле (6.4) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
»= Y |
768ЕІ |
315 |
|
15,079 |
ЕІ |
|
|
|
|||
|
7/8 |
|
152ml |
/ а |
/ |
m |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
122
Т о ч н о е |
зн а ч е н и е ч а ст о ты о сн о в н о г о |
т о н а (§ |
16) |
|
|
|||||||
|
|
|
|
15,418 |
, |
ГЁІ |
|
|
|
|
||
|
|
|
0)1 |
|
/2 |
У т |
|
|
|
|
|
|
Ошибка составляет 2,3%. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
4. |
Консоль |
|
|
|
|
|
||
Приведем |
распределенную |
массу т в точку на конце консоли |
||||||||||
(а = /). Начало координат примем в защемлении |
(рис. 57). |
|||||||||||
Задаемся |
уравнением |
для |
|
|
|
|
|
|
/ и |
|||
формы колебаний: |
кх |
|
|
|
|
|
|
|
||||
X (л) = |
|
|
п) |
< г т т т т т г т т г п т т п |
||||||||
1 — cos 21 ’ |
|
/ |
X1 |
|
|
|
' |
*~£1 |
||||
|
|
|
|
|
||||||||
В п. 3 § 19 было показано, |
|
'4 |
|
|
/ |
|
__ ___ |
|||||
что принятая функция не пол |
|
|
|
|
|
|
|
м ^1 |
||||
ностью удовлетворяет гранич 5) |
|
|
|
|
|
* -Е І W |
||||||
ным условиям, а именно: |
иІ |
!_____ |
|
|
|
|
||||||
третья производная прих = /не |
|
1 |
|
|
— |
^ |
— |
- 4 |
||||
равна нулю. Тем не менее вос |
|
|
|
|
|
Рис. |
57 |
|||||
пользуемся |
этой функцией. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Найдем |
значения |
величин, |
входящих |
в формулу |
(6.2): |
|||||||
|
|
|
Х (а ) = Х(1) = 1, |
|
|
|
|
|||||
J ЛГ2 (х) d x = J |
1 |
cos |
\ |
dx |
|
I |
|
|
|
■0,2271. |
||
|
|
|
|
|
21 J |
|
|
|
|
|
|
|
Тогда |
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M = |
|
|
|
|
|
|
|
(г) |
|
|
|
|
^ -0,2271= 0,227ml. |
|
|
|||||||
Перемещение от единичной силы, как известно, |
равно |
|||||||||||
?= J -
"s e i •
Зная М и öi1, по формуле (6.4) находим частоту
■ V |
SEI |
1 |
3,637 |
ЕІ |
/3 |
' “ 0,227ml |
/2 |
т |
Точное значение частоты основного тона (см. § 16)
3,515 / ЕІ
/2 / іт
Здесь ошибка незначительна и составляет 3,5%.
123
§ 25. Метод приведения массы при исследовании свободных колебаний рам
Полученная в § 23 формула для определения приведенной массы прямолинейного стержня может быть использована для определения приведенной массы рамы, только в числителе фор мулы (6.1) интеграл нужно вычислять по всем стержням рамы, т. е. взять сумму интегралов, охватывающих все стержни рамы:
|
Л J mk (х) Х \ (х) dx |
|
|
М |
k=\ о |
(6.5) |
|
XJ(a) |
|||
|
|
||
где п — количество стержней рамы; |
|
||
k — порядковый номер стержня; |
массы. |
||
і ■— номер стержня, где находится точка приведения |
|||
Функция X k{x) характеризует форму изгиба в каждом стержне рамы. Для ее аналитического определения может быть использо вана аналитическая зависимость
d2X k (л;) |
M k |
(а) |
|
d x 2 |
EIk ’ |
||
|
где М к — аналитическое выражение эпюры изгибающих моментов для каждого стержня, построенной для принятой формы изгиба рамы. Форма изгиба так же, как и в энергетическом методе, может быть получена от действия какой-либо подходящей нагрузки.
Путем двухкратного интегрирования (а) получим (см. § 21)
Х А х ) = - |
dx dx + С,х + С. |
(б) |
Постоянные Сх и Сг определятся из условий по концам стержней.
Масса рамы приводится к какому-то сечению x t =а вполне определенного і'-го стержня. Поэтому знаменатель формулы (6.5) находится путем подстановки абсциссы х { = а в аналитическое вы ражение формы изгиба для і-го стержня и возведения в квадрат полученного числа.
После определения приведенной массы частота колебаний мо жет быть определена, как для системы с одной степенью свободы, по формуле (2.8):
1
|
“> = У Ж , |
’ |
где 6ц — перемещения |
точки приведения массы от единичной |
|
силы, приложенной в |
сечении x t = а |
по направлению движения |
массы. |
|
|
L24
Р а с с м о т р и м о п р е д е л е н и е |
ч а сто ты к о л еб а н и й |
р ам ы на |
п р и м ер е . |
Пример 10. Определить частоту первого тона симметричных колебаний пор |
|||
тальной бесшарнирной рамы (рис. |
43). Будем считать, |
что форма |
изгиба при |
симметричных колебаниях совпадает с эпюрой прогибов от действия сплошной нагрузки q, равномерно распределенной по ригелю рамы.
Определение приведенной массы.
Заметим, что числитель формулы (6.5) совпадает со знаменателем форму лы (5.11) для определения частоты энергетическим методом. В § 21 был рас смотрен пример, условия которого совпадают с условиями настоящего примера. Поэтому можно воспользоваться вычислениями примера 9.
зik
V |
Г |
, о |
|
23 |
/ |
<7/2 |
2j |
I mkXk (■*’) dx = |
2 i q |
ml° ( 72EI |
|||
k~\ |
0 |
|
|
|
|
|
Приведем массу к центру ригеля. В соответствии с тем же примером анали |
||||||
тическое выражение изогнутой |
оси |
ригеля следующее [формула (е) § 2 1 ]: |
||||
у , |
qP I |
lx |
X 2 |
X3 x l \ |
||
CD (х) == — | 2 ß / t - -Q — 3 - + - J — 2 p J . |
||||||
Подставим значение x=a = |
1 |
и получим |
|
|
||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
X CD |
11Л |
L |
sJl |
|
|
|
2 = 24' 48 • |
|
||||
По формуле (6.5) находим приведенную массу: |
|
|||||
23/210/м/5 (ql2l72EI)2 |
23 |
128 |
|
|||
М = |
(7/24- <7/2/48)2 |
= 49'105 |
= 0,572т/' |
|||
Определение бц.
Для определения бц необходимо построить эпюры изгибающих моментов для
заданной рамы от единичной силы, приложенной в сечении x-t = -L .
Такое построение может быть выполнено в результате расчета рамы методом перемещений. На рис. 58 показаны эпюры изгибающих моментов в нулевом и единичных состояниях. Составляем каноническое уравнение метода перемеще
ний:
Лі-^і + Pip = 0-
125
Коэффициенты канонического |
уравнения |
определяем из равновесия узлов |
|
рамы в элементарных состояниях: |
|
|
PL |
|
С ■ П |
|
|
Г\1= 6<, Rlp = — — . |
|||
Отсюда |
|
|
|
- |
R i P |
|
{ Ч |
71 |
гп |
- |
48г |
Методом наложения строим окончательную эпюру М (рис. 59, я). Далее бц определяем по формуле
k=\ о
іде М \ — эпюра от единичной силы, построенная для любой статически опреде лимой рамы, образованной из заданной путем отбрасывания связей (рис. 59,6).
Вычисление интеграла производим по правилу Верещагина:
8и —£/ ‘2 |
/2 I |
/з |
3 |
96ЕІ |
Определение частоты симметричных колебаний рамы. Подставляем значения М и бц в формулу (в) и получаем
|
12,96 |
VB- |
Ѵ т п /о .:572ml /з |
/2 |
|
96E l |
|
|
Точное значение частоты для этого случая
(6.6)
Как видим, ошибка составляет 2,5% в сторону завышения.
Глава 7. ДЕЙСТВИЕ НЕПЕРИОДИЧЕСКОЙ
ДИНАМИЧЕСКОЙ НАГРУЗКИ НА СИСТЕМУ
СОДНОЙ СТЕПЕНЬЮ СВОБОДЫ
§26. Кратковременные нагрузки. Понятие об эквивалентной
статической нагрузке
Действие кратковременных нагрузок определяется рядом пара метров, которые характеризуют их свойства. К числу таких пара метров относятся (рис. 60): время нарастания нагрузки до ее максимального значения, которое будем обозначать через п , и длительность действия нагрузки, которую будем обозначать т. Важ ным параметром, опреде ляющим нагрузку, является ее максимальное значение, которое в случае сосредото ченных нагрузок будем обозначать Рт, а в случае распределенных р т.
Действие некоторых ви дов кратковременных на грузок может быть опреде
лено их интегральной характеристикой — импульсом нагрузки S, который равен
X
5 - \ p ( t ) dt.
о
Очевидно, что величина импульса определяется площадью между осью t и графиком изменения нагрузки.
В практике расчета конструкций на кратковременную нагрузку принят расчет на действие так называемой эквивалентной стати ческой нагрузки.
127