ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 23.10.2024
Просмотров: 94
Скачиваний: 0
Эквивалентной статической нагрузкой на систему с одной сте пенью свободы, работающую в стадии упругих деформаций, назы вается статическая нагрузка, вызывающая в системе перемещения, равные максимальным перемещениям от действия заданной дина мической нагрузки.
Поясним это на примере простой невесомой балки с точечной массой посередине. Пусть при действии заданной динамической на грузки масса получила максимальное перемещение утах, равное прогибу балки в среднем сечении. Подберем затем такую величину сосредоточенной силы, приложенной к балке вертикально в месте расположения массы, чтобы при статическом действии она вызвала прогиб под силой, равный утах. Это значение силы и будет являться эквивалентной статической нагрузкой в данном примере.
Величина эквивалентной статической нагрузки в соответствии с определением находится по формуле
Р э к в ~ O 'm a x j |
|
( 7 . 1 ) |
где г — жесткость системы, т. е. нагрузка, |
вызывающая ее единич- |
|
п |
48£/ |
, т. е. равно |
ное перемещение. В рассмотренном примере г= — |
||
значению сосредоточенной силы, приложенной в середине балки, которая вызывает под силой единичный прогиб.
Из формулы (7.1) следует, что эквивалентная статическая на грузка равна максимальному значению восстанавливающей силы (см. § 5).
Необходимо иметь в виду, что замена действия динамической
нагрузки |
P(t) действием эквивалентной статической |
нагруз |
ки Р экв |
не характеризует весь процесс колебания системы, |
а лишь |
позволяет определять максимальные усилия и дёформации в эле ментах системы, что важно при расчетах элементов и системы в целом на прочность и жесткость.
Формулой (7.1), как правило, пользуются в теоретических и экспериментальных исследованиях при определении эквивалент ной статической нагрузки. Порядок теоретического исследования при этом следующий: из решения дифференциального уравнения находится функция y( t ) , характеризующая перемещение системы;
определяется максимальное значение этой функции у шах; |
по фор |
муле (7.1) определяется эквивалентная статическая |
нагрузка. |
В дальнейшем при изучении действия конкретных видов нагрузок на системы с одной степенью свободы мы будем придерживаться этого порядка.
Как показывают вычисления по формуле (7.1) для различных видов динамических воздестви, отношение эквивалентной стати ческой нагрузки к максимальному значению возмущающей силы может быть как больше, так и меньше единицы. Это отношение
вдинамике сооружений называют динамическим коэффициентом
иобозначают kA\
(7.2)
128
Значение динамического коэффициента для многих случаев на грузок получено либо теоретически, либо экспериментально в за висимости от параметров нагрузки и свойств конструкции, опреде ляемых ее частотой колебаний. В соответствующих справочных пособиях приводятся таблицы, графики и формулы для определе ния динамического коэффициента. Если задана динамическая на грузка и известен динамический коэффициент, то в соответствии с формулой (7.2) эквивалентная статическая нагрузка может быть определена следующим образом:
Р*«* = К Р т- |
(7.3) |
Этой формулой, как правило, пользуются при расчетах и проек тировании сооружений.
Далее в этой главе будут получены формулы для определе ния Рэ„и и &д в случае действия различных видов кратковремен ных нагрузок.
§27. Действие мгновенного импульса на систему
содной степенью свободы
Если уменьшать длительность действия нагрузки т, одновремен но увеличивая максимальное значение нагрузки Рт так, чтобы величина импульса S оставалась по
стоянной, то в пределе при т->0 при ходим к понятию мгновенного импульса. В действительности длительность дей ствия нагрузки всегда имеет конечное значение. В случае если т мало по срав нению с периодом собственных колеба ний конструкции (как будет показано ниже, если оно составляет не более 30%), то действие нагрузки может быть заме нено действием ее импульса, который принимается мгновенным.
Отметим также, что понятие мгновен
ного |
импульса оказывается |
полезным |
при |
рассмотрении действия |
любой про |
извольным образом меняющейся во вре мени нагрузки, так как последняя мо жет быть представлена как совокупность бесконечно большого числа элементар ных мгновенных импульсов.
Рассмотрим колебание подвешенной на пружине массы шь вызванное воз действием на нее в момент времени ^ = 0
мгновенного импульса S. Кроме восстанавливающей силы будем учитывать также диссипативную силу, пропорциональную скорости перемещения массы. Составим дифференциальное уравнение дви-
9 Основы динамики сооружений |
129 |
жения массы из положения статического равновесия (рис. 61):
тd*y dt2
или |
|
d'-y |
|
dy |
|
|
т |
г у ~ ? |
|
||
|
W ' |
dt ’ |
|
||
или |
d2y |
|
|
|
|
|
2* § |
4 ^ = 0, |
(7.4) |
||
|
dt2 |
||||
|
|
|
|
|
|
где п- 2т1 |
коэффициент затухания; |
|
|
||
= — — квадрат круговой |
частоты |
собственных |
колебаний |
||
т\ |
без учета затухания. |
|
|
||
Уравнение (7.4), как известно (см. § 4), является дифферен циальным уравнением свободных затухающих колебаний системы с одной степенью свободы. Будем рассматривать случай малых сопротивлений: п<ш. Решение уравнения (7.4) в этом случае бу дет иметь вид (2.11)
у (t) = e~nt (А cos tyt + ß sin tyt), |
(7.5) |
где ф =Ѵ ш2—п2 — круговая частота свободных затухающих коле баний;
А и В — постоянные интегрирования, определяемые из начальных условий.
В исследуемой задаче начальными условиями являются: на чальное перемещение у0, которое отсутствует, и начальная ско рость ÜQ, которая определится из закона об изменении количества движения:
5 = тгѵ0.
Аналитически указанные начальные условия записываются сле дующим образом:
при ^ = 0
|
У(0) = Уо= 0; |
S_ |
2. |
dy (0) |
|
|
dt |
mx ‘ |
Подчиним этим условиям решение (7.5). Из первого условия имеем А —0.
Определим первую производную выражения (7.5), имея в виду, что А = 0:
dy |
= e~ntB (— п sin + ф cos $t). |
dt |
130
Тогда из второго усло вия
ФД = — или В = — - .
тх
Подставив найденные значения А и В в решение (7.5), получим уравнение движения массы после воз действия на нее в мо мент t = 0 мгновенного им пульса 5:
у it) ==^ |
і е~ы ^ ¥ - |
(7-6) |
|
|
Таким |
образом, |
закон |
Рис. |
62 |
движения массы во времени |
||||
представляет собой |
зату |
|
в который масса |
|
хающую синусоиду (рис. 62). Момент времени tm, |
||||
получит максимальное перемещение, |
определится из уравнения |
|||
|
|
dy |
|
|
Тогда |
|
dt = 0. |
|
|
|
|
‘в * '» “ |
« |
|
|
< „ ■ = ! a r c tg | |
|||
Отсюда |
|
|
|
|
sin tytm= |
t g K |
|
||
V l + |
tg2 ¥m |
V ¥ + n* |
||
|
||||
Подставим эти значения в (7.6): |
||||
|
|
5 |
п |
|
|
|
_ JL arctg _Ф. |
||
|
Ушах — |
т хѵ>■е |
Ф |
|
(7.7)
1
О)
(7.8)
Если мгновенный импульс подействовал на массу не в началь |
|
ный |
момент, а в какой-то момент времени t = u (рис. 63), то гра |
фик |
вызванных им перемещений массы, очевидно, будет аналоги |
ч ен |
предыдущему, но сдвинут вправо на величину и. Действитель |
но, |
перенесем начало отсчета времени к моменту t = u, т. е. перей |
дем к новой переменной t — t—и. В этом случае в формуле (7.6)
9* |
131 |